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%Corrigé et tapuscrit : Daniel Dray
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\newcommand{\vect}{\overrightarrow}

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\newcommand{\Oijk}{$\left(O,\vec i ,\vec j, \vec k \right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Correction du Baccalauréat avril 2013 TES}
\rfoot{Pondichéry}
\cfoot{Page \thepage /\pageref{lastpage}}
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\thispagestyle{empty}
\everymath{\displaystyle}
\let \ss=\subsection
\let \sss=\subsubsection
\let \ds=\displaystyle
\let \eq = \Longleftrightarrow
\let \imp = \Longrightarrow
\let \fl = \longrightarrow
\def\N{\hbox{I\hskip -2pt N}\ }
\def\C{\hbox{l\hskip-6pt C\/}\ }
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\bd
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\setcounter{com}{0}\textbf{Exercice \thenum}\ #1}

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\textbf{Partie \Alph{com}}#1}

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\begin{center}\large\textbf{Partie \Alph{numo} #1}\end{center}}

\bc
\fbox{\textbf{\textsc{Correction du Baccalauréat ES Pondichéry avril 2013}}}
\ec

\cex 
\be 

\item $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ si pour tout $x$ réel $F\, '(x) = f(x)$.

Il suffit donc de calculer la dérivée de la fonction $F$, soit $F(x) = \mathrm{e}^{u(x)}$ donc $f\,'(x) = u\,'(x)\times \mathrm{e}^{u(x)}$

donc \fbox{$f\,'(x) = - 2x\times \mathrm{e}^{-x^ 2}$} donc la bonne réponse est la réponse B.

\item $h(x) = 0 \eq (7x-23)\mathrm{e}^ x = 0$, or $ \mathrm{e}^x >0$ donc $h(x) = 0 \eq 7x-23=0 \eq 7x= 23 \eq x = \frac{23}{7}$

donc l'équation \fbox{a une solution sur $[0~;~+\infty[$} donc la bonne réponse est la réponse B.

\item On sait qu'une primitive de la fonction définie par $f_k(x) = k\mathrm{e}^ {kx}$ est la fonction définie par $F_k (x) = \mathrm{e}^ {kx}$.

$I = \left[ \mathrm{e}^ {3x} \right]_0^ 1 = \mathrm{e}^ {3\times 1} - \mathrm{e}^ {0}$ donc \fbox{$I = \mathrm{e}^ {3} - 1$}. 

La bonne réponse est la réponse A.

\item On peut pour cette question utiliser la calculatrice et tracer la courbe de la fonction $g$.

On peut aussi calculer la dérivée seconde de la fonction $g$ soit $g\, ''$.

$g\, '(x) = 3x^ 2-9$ et $g\, ''(x) = 6x$ donc on peut dresser le tableau de variation de la fonction $g\, '$

\bc 

$ \begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&-\infty&&0&&+\infty\\
\hline
g\, ''&&-&\barre{0}&+& \\
\hline
&&&\barre{}&&\\
g\, '&&\searrow&\barre{}&\nearrow& \\
&&&\barre{}&&\\
\hline
\end{array}$

\ec

On en déduit que :

la fonction $g\, '$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ donc la fonction $g$ est convexe sur $[0~;~+\infty[$ ;

la fonction $g\, '$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ donc la fonction $g$ est concave sur $]-\infty~;~0]$.

La bonne réponse est la réponse B.

\ee
\cex 
\be 

\item L'arbre est le suivant :

\bc 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.5cm]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$L$}\taput{$0,55$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{$0,95$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{$0,05$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{L}$}\tbput{$0,45$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{$0,1$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{$0,9$}
 		}
}
\end{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-0.33,-3.36)(5.92,3.62)
%\psline(0,0)(2,2)
%\psline(0,0)(2,-2)
%\psline(3,2)(5,3)
%\psline(3,2)(5,1)
%\psline(3,-2)(5,-1)
%\psline(3,-2)(5,-3)
%\rput[tl](2.34,2.2){$L$}
%\rput[tl](2.34,-1.8){$\overline{L}$}
%\rput[tl](5.2,1.2){$\overline{C}$}
%\rput[tl](5.2,3.2){$C$}
%\rput[tl](5.2,-2.8){$\overline{C}$}
%\rput[tl](5.2,-0.8){$C$}
%\rput[tl](0.6,1.6){0,55}
%\rput[tl](0.6,-1.3){0,45}
%\rput[tl](3.7,2.99){0,95}
%\rput[tl](3.7,1.23){0,25}
%\rput[tl](3.7,-0.98){0,1}
%\rput[tl](3.7,-2.73){0,9}
%\end{pspicture*}
\ec

\item $P(L \cap  C) = P(L)\times P_L(C) = 0,55 \times 0,95$ donc \fbox{$ P(L \cap  C) = 0,5225$}.

\item $P(C)= P(L \cap  C) + P\left(\overline{L} \cap  C\right) = 0,5225 + P\left(\overline{L}  \right)\times P_{\overline{L}}(  C) =  0,5225 + 0,45\times 0,1 $ 

donc \fbox{$P(C)= 0,5675$}.

\item $P_C(L) = \frac{P(C~\cap~ L)}{P(C)} = \frac{0,5225}{0,5675} $ donc \fbox{$ P_C(L) \approx 0,9207$}.

\item 

\be 


\item On sait que $ P(C)= 0,5675$ et on choisit 4 élèves au hasard donc X suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,5675$.

\item Pour $k$ entier naturel tel que $ 0 \leqslant k \leqslant 4$, on sait que $n=4$, $p=0,5675$ et $1-p = 0,4325$ donc :

$ p (X=k)= \left( 4 \atop k \right) \times 0,5675^ k \times  0,4325^{4-k}$.

\fbox{$p(X=0) \approx 0,0350$}.

\item \fbox{$p(X=2)\approx 0,3615$}.

\ee

\ee
\newpage
\cex 

\be 

\item On note $C_0 = \np{3000}$ donc $C_1 = \left( 1 + \frac{2,5}{100} \right) \times C_0 = 1,025\times \np{3000}$ donc \fbox{$ C_1 = \np{3075}$}.

De même $C_2 = \left( 1 + \frac{2,5}{100} \right) \times C_1 = 1,025\times \np{3075}$ donc \fbox{$ C_2 = \np{3151,88}$}.

\item $C_{n+1} = \left( 1 + \frac{2,5}{100} \right) \times C_n $ donc \fbox{$ C_{n+1} = 1,025\times C_n$}.

$(C_n)$ est donc une suite géométrique de raison $1,025$ et de premier terme $C_0 = \np{3000}$.

Pour tout entier naturel $n$ donc $C_n = 1,025^n \times C_0$ soit \fbox{$  \np{3000} \times 1,025^n$}.

\item 
\be 
\item 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\hline 
Valeur de $n$& $0$& $1$&2&3&4 \\ 
\hline 
Valeur de $U$& \np{3000}&\np{3075}&\np{3152}& \np{3231}& \np{3311}\\ 
\hline
Condition $U \leqslant S$ &vrai&vrai&vrai&vrai&faux \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Le nombre affiché est donc $2000+n=2004$ donc l'affichage obtenu est \fbox{2004}.

\item Le nombre obtenu est l'année où le capital obtenu dépassera la somme $S$.



\ee

\item Au 1\up{er} janvier 2013, le capital est $C_{13} = 1,025^{13} \times \np{3000}$ donc $ C_{13} \approx \np{4135,53}$ qui est donc plus petit que $\np{5000}$.

On note que $ C_{93} \approx \np{29815,41} $ et $ C_{94} \approx \np{30560,79} $ donc le 1\up{er} janvier 2094 son capital de $\np{3000}$ a été multiplié par 10.
\ee
\cex 

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip

\be 

\item Notons que la dérivée de la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est la fonction $x \mapsto -\, \mathrm{e}^{-x}$.

$ f\, '(x) = 0 - \left( 1 \times \mathrm{e}^{-x} + (x+1)\left( - \mathrm{e}^{-x} \right)\right)  = -\mathrm{e}^{-x} + x\, \mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}$ donc \fbox{$ f\, '(x) = x\, \mathrm{e}^{-x}$}.

\item $\mathrm{e}^{-x} >0$ donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x$.
On peut dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\bc 

$ \begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&0&&&&6\\
\hline
f\, '&&&+&&\\
\hline
&&&&&\approx 0,98\\
f&&&\nearrow&&\\
&0&&&&\\
\hline
\end{array}$

\ec

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0~;~6]$ avec $ \begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&0&&\alpha&&6\\
\hline
&&&\barre{}&\nearrow&\approx 0,98\\
f&&&0,5&&\\
&0&\nearrow&\barre{}&&\\
\hline
\end{array}$

donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0~;~6]$. De $f(1,678) \approx \np{0,4999}$ et $f(1,679) \approx \np{0,5002}$ on en déduit qu'à $10^{-2}$ près 

\fbox{$\alpha \approx 1,68$}.

\item $ I = \left[ F(x) \right]_0^6 = F(6)-F(0) = 6+8\mathrm{e}^{-6} - 2 $ donc \fbox{$I=4+8\mathrm{e}^{-6} \approx 4,020$}.

\ee

\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

\be 

\item On cherche donc $x$ tel que $f(x) = 0,5$, en utilisant la question \textbf{A. 2.} on sait que la solution est $\alpha \approx 1,68$ donc au bout de $1,68$ mois, soit $1,68\times 30 \approx 50$ jours, la production atteindra 500 unités.

\item La valeur moyenne de la production, exprimée en milliers, est donnée par $ \frac{1}{6 - 0}\times \displaystyle\int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x = \frac{I}{6} \approx 0,670$ soit 670 unités.

\ee

\medskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip

\be 

\item $p \left( X \leqslant 160 \right) = 0,5 - p\left(  160 \leqslant X \leqslant 200 \right)$ donc \fbox{$p \left( X \leqslant 160 \right) \approx 0,16$}.

\item $p \left( X \geqslant 320 \right) = 0,5 - p\left(  200 \leqslant X \leqslant 320 \right)$ donc \fbox{$p \left( X \geqslant 320 \right) \approx \np{0,0013}$}.

Non la probabilité n'est pas supérieur à $0,01$.
\ee

\label{lastpage}

\ed
