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\title{Brevet, Métropole -- La Réunion -- Mayotte}
\date{29 juin 2010}
%Correction : Michel Fréchet

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\begin{document}
 
\maketitle

\vspace*{1cm}

\section*{Activités numériques\hfill 12 points}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item Fonctionnement de l'algorithme:

\begin{multicols}{2}	
\begin{enumerate}

		\item \fbox{\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{itemize}
\item choisir un nombre de départ :\hfill $\textcolor{green}{2}$
\item multiplier ce nombre par $(-2)$:\hfill $(-2)\times 2=-4$
\item ajouter $5$ au produit :\hfill $-4+5=1$
\item multiplier le résultat par $5$ :\hfill $1\times 5=5$
\item écrire le résultat obtenu :\hfill $\textcolor{red}{5}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
}

		\noindent\item \fbox{\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{itemize}
\item choisir un nombre de départ:\hfill $\textcolor{green}{3}$
\item multiplier ce nombre par $(-2)$:\hfill $(-2)\times 3=-6$
\item ajouter $5$ au produit:\hfill $-6+5=-1$
\item multiplier le résultat par $5$:\hfill $-1\times 5=-5$
\item écrire le résultat obtenu:\hfill $\textcolor{red}{-5}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
 	\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Le résultat obtenu soit $0$:

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{itemize}
\item choisir un nombre de départ:\hfill $\textcolor{green}{\dfrac{5}{2}}$
\item multiplier ce nombre par $(-2)$:\hfill $(-2)\times\dfrac{5}{2}=-5$
\item ajouter $5$ au produit:\hfill $-5+5=0$
\item multiplier le résultat par $5$:\hfill $0\times 5=0$
\item écrire le résultat obtenu:\hfill $\textcolor{red}{0}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
} \end{center}

\item $x$ est le nombre de départ:

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{itemize}
\item choisir un nombre de départ:\hfill $\textcolor{green}{x}$
\item multiplier ce nombre par $(-2)$:\hfill $(-2)\times x=-2x$
\item ajouter $5$ au produit:\hfill $-2x+5$
\item multiplier le résultat par $5$:\hfill $(-2x+5)\times 5=-10x+25$
\item écrire le résultat obtenu:\hfill $-10x+25=x^2-10x+25+x^2=\textcolor{red}{(x-5)^2-x^2}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
} \end{center}
	
Arthur a raison.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 }


L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litres) obtenu à partir d'un volume d'eau liquide (en litres).


\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique:
	\begin{enumerate}
		\item Le volume de glace obtenu à partir de $6$~litres de liquide est d'environ \textcolor{red}{6,5 litres}.
		\item Le volume d'eau liquide à mettre à geler pour obtenir 10~litres de glace est d'environ \textcolor{blue}{9,3~litres}.
 	\end{enumerate}
\item Le volume de glace est proportionnel au volume d'eau liquide, car la représentation graphique est une droite contenant l'origine.
\item Si $10$~litres d'eau donnent $10,8$~litres de glace, alors 100~litres d'eau donnent 108~litres de glace. Soit une augmentation de 8 litres pour 100 litres, autrement dit, une augmentation de 8\%.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1cm,y=0.4cm]
\shorthandoff{:};
%\clip(-1.5,-3) rectangle (11.5,16);
\draw[->] (0,0) -- (1,0);\draw (1,0) -- (11.5,0);
\foreach \x in {0,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->] (0,0) -- (0,1);\draw (0,1) -- (0,13.5);
\foreach \y in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[very thin,gray] (0,0) grid[step=1cm,ystep=0.4cm] (11.5,13.5);
\draw (5.5,15) node {\textbf{Volume de la glace en litre en fonction du volume d'eau liquide en litre}};
\draw (5.75,-3) node {volume de l'eau liquide (en L)};
\draw (-1.7,7) node[rotate=90] {volume de la glace (en L)};
\draw[smooth,samples=100,domain=0:11.5] plot(\x,{1.08*\x});
\draw[->,dashed,thick,color=red] (6,0) -- (6,6.54) -- (0,6.54);
\draw (6,0) node[below, color=red] {$6$};
\draw (-1,6.54) node[color=red] {$\simeq 6,5$};
\draw[->,color=red] (-.5,6.54) -- (0,6.54);
\draw[->,dashed,thick,color=blue] (0,10) -- (9.259259,10) -- (9.259259,0);
\draw (0,10) node[left, color=blue] {$10$};
\draw (9.259259,-1) node[color=blue,rotate=-90] {$\simeq 9,3$};
%\draw[->,color=red] (-.5,6.54) -- (0,6.54);

\end{tikzpicture}\end{center}





\section*{Activités géométriques\hfill  12 points}%
%
\subsection*{Exercice 1}%
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Dans la figure ci-contre:
\begin{itemize}
\item $ABCD$ est un carré de côté 9~cm ;
\item les segments de même longueur
sont codés.
\end{itemize}

 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=3cm,y=3cm]
\shorthandoff{:};
%\clip(-1,-0.25) rectangle (3.25,3.25);
\coordinate (A) at (0,3);
\coordinate (B) at (3,3);
\coordinate (C) at (3,0);
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (N) at (1,0);
\coordinate (M) at (2,0);
\coordinate (L) at (3,1);
\coordinate (K) at (3,2);
\coordinate (J) at (2,3);
\coordinate (I) at (1,3);
\coordinate (P) at (0,2);
\coordinate (O) at (0,1);
\coordinate (S) at (1.5,1.5);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (A) -- (P) node[midway] {$\times$};
\draw (O) -- (P) node[midway] {$\times$};
\draw (O) -- (D) node[midway] {$\times$};
\draw (D) -- (N) node[midway] {$\times$};
\draw (N) -- (M) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (M) -- (C) node[midway] {$\times$};
\draw (C) -- (L) node[midway] {$\times$};
\draw (L) -- (K) node[midway] {$\times$};
\draw (K) -- (B) node[midway] {$\times$};
\draw (B) -- (J) node[midway] {$\times$};
\draw (J) -- (I) node[midway] {$\times$};
\draw (I) -- (A) node[midway] {$\times$};
\draw (O) -- (N);\draw (M) -- (L);\draw (K) -- (J);\draw (I) -- (P);
\draw (A) node[above left] {$A$};
\draw (B) node[above right] {$B$};
\draw (C) node[below right] {$C$};
\draw (D) node[below left] {$D$};
\draw (N) node[below] {$N$};
\draw (M) node[below] {$M$};
\draw (L) node[right] {$L$};
\draw (K) node[right] {$K$};
\draw (I) node[above] {$I$};
\draw (J) node[above] {$J$};
\draw (P) node[left] {$P$};
\draw (O) node[left] {$O$};
\draw[color=red] (A)--(C);\draw[color=red] (B) -- (D);
\draw (S) node[right,color=red] {$S$};
\draw[color=red] (S) circle (1.5);
\end{tikzpicture}\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item La figure est en vraie grandeur.
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après le théorème de Pythagore, on a: $JK^2=JB^2+BK^2=3^2+3^2=18\quad\text{d'où}\ JK=\sqrt{18}$
\end{enumerate}

		\item L'octogone $IJKLMNOP$ n'est pas un octogone régulier, car les côtés $[JK]$ et $[IJ]$ n'ont pas même longueur. 
		\item L'aire de l'octogone $IJKLMNOP$ est égale à l'aire du carré $ABCD$ moins celles des quatres triangles rectangles isocèles égaux $AIP$, $ODN$, $MCL$ et $KBJ$: 
$\mathcal{A}(IJKLMNOP) =\mathcal{A}(ABCD)-4\times \mathcal{A}(AIP)
  = 9^2-4\times \dfrac{3\times 3}{2}
  = 4,5~\text{cm}^2$

 	
\item Les diagonales du carré $ABCD$ se coupent en $S$.
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure.
		\item Aire du disque $\mathcal{D}$ de centre $S$ et de diamètre 9~cm: $ \mathcal{A}(\mathcal{D})=\pi\times r^5=\pi\times 4,5^5\simeq 63,6\text{cm}^2$

Le disque $\mathcal{D}$ a une aire inférieure à celle de l'octogone. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{minipage}{.4\textwidth}
$SABC$ est une pyramide de base triangulaire
$ABC$ telle que :

$AB = 2$~cm ; $AC = 4,8$~cm ; $BC = 5,2$~cm.

La hauteur $SA$ de cette pyramide est 3~cm.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{0.56\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1.6cm,y=1.6cm]
\shorthandoff{:};
%\clip (-1,-0.5) rectangle (5.5,5);
\coordinate (A) at (0,0,0);
\coordinate (B) at (0,0,2);
\coordinate (C) at (4.8,0,0);
\coordinate (S) at (0,3,0);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;\draw (B) -- (S) -- (C);\draw (S) -- (A);
\draw (A) node[below right] {$A$};
\draw (B) node[below left] {$B$};
\draw (S) node[above] {$S$};
\draw (C) node[right] {$C$};
\draw (0,.2,0)--(.2,.2,0)--(.2,0,0);
\draw (0,.2,0) -- (0,.2,.4) -- (0,0,.4);
\end{tikzpicture}\end{center}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Voir figure plus loin.
\item On a : 
\[
 BC^2 = 5,2^2 = 27,04 \quad ; AB^2+AC^2= 2^2 + 4,8^2= 27,04
\]

 d'o\`u $BC^2 = AB^2 + AC^2$, donc, en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en A
\item  Voir figure plus loin.
\item  Le volume d'une pyramide étant donné par la formule : $V = \dfrac{1}{3} \times b \times h$  où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée, l'aire du volume $SABC$ est: $4,8~\text{cm}^3$
\[
 b=\mathcal{A}(ABC)=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{2\times 4,8}{2}=4,8 \quad \text{donc} \quad\mathcal{A}(SABC)=\frac{b\times h}{3}=\frac{4,8\times 3}{3}=4,8
\]

\end{enumerate}


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip(-4.3,-6) rectangle (5.3,3.5);
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (0,-2);
\coordinate (C) at (4.8,0);
\coordinate (S) at (-3,0);
\coordinate (S'') at (2.06,-4.96);
\coordinate (S') at (0,3);
%\draw [decorate] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw  (B) -- (S) ;\draw  (C) -- (S') ;
\draw (0.2,0) -- (0.2,0.2) -- (0,0.2);
\draw (-0.2,0) -- (-0.2,-0.2) -- (0,-0.2);
\draw (A) node[above left] {$A$};
\draw (C) node[right] {$C$};
\draw (B) node[below] {$B$};
\draw (S) node[left] {$S$};
\draw (S') node[above left] {$S_1$};
\draw (S'') node[below] {$S_2$};


\draw  (A) -- (C) node[midway,above,sloped] {$4,8$};
\draw  (A) -- (B) node[midway,right] {$2$};
\draw  (B) -- (C) node[midway,above,sloped] {$5,2$};
\draw  (A) -- (S) node[midway,above] {$3$};
\draw  (A) -- (S') node[midway,left] {$3$};

\draw [dashed,color=red] (0,-2) circle (3.61cm);
\draw [dashed,color=red] (4.8,0) circle (5.66cm);
\draw[color=red] (C) -- (S'') -- (B);
\fill  (2.06,-4.96) circle (1.5pt);

\draw[color=red] (2.39,1.61) -- (2.29,1.46);
\draw[color=red] (2.45,1.58) -- (2.35,1.42);
\draw[color=red] (2.51,1.54) -- (2.41,1.39);

\draw[color=red] (3.55,-2.46) -- (3.39,-2.37);
\draw[color=red] (3.51,-2.52) -- (3.35,-2.43);
\draw[color=red] (3.48,-2.58) -- (3.32,-2.5);

\draw[color=red] (1.09,-3.4) -- (0.94,-3.5);
\draw[color=red] (1.13,-3.46) -- (0.98,-3.56);

\draw[color=red] (-1.48,-0.91) -- (-1.58,-1.06);
\draw[color=red] (-1.42,-0.94) -- (-1.52,-1.09);
\end{tikzpicture}\end{center}
\newpage
\section*{Probl\`eme\hfill  12 points}


Une entreprise doit rénover un local.

Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m
et la hauteur sous plafond est 2,80~m.

Il comporte une porte de 2~m de haut sur 0,80~m de large et trois baies vitrées de 2~m de haut sur 1,60~m de large.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1cm,y=1cm,math3d]
\shorthandoff{:};

\coordinate (A) at (0,0,0);
\coordinate (B) at (6.4,0,0);
\coordinate (C) at (6.4,0,-5.2);
\coordinate (D) at (0,0,-5.2);
\coordinate (E) at (0,2.8,-5.2);
\coordinate (F) at (0,2.8,0);
\coordinate (G) at (6.4,2.8,0);
\coordinate (H) at (6.4,2.8,-5.2);

\draw (A) -- (B);
\draw (B) -- (C);
\draw[dashed] (C) -- (D);
\draw[dashed] (A) -- (D);
\draw (A) -- (F);
\draw (F) -- (E) -- (H) --(G) --(F);
\draw[dashed] (E) -- (D);
\draw (B) -- (G);
\draw (H) -- (C);
\draw[<->] (0,-.4,0) -- (6.4,-.4,0) node[fill=white,midway] {6,40~m};
\draw[<->] (-.4,0,0) -- (-.4,2.8,0) node[fill=white,midway,sloped] {2,80~m};
\draw[<->] (6.8,0,0) -- (6.8,0,-5.2)  node[fill=white,midway,sloped] {5,20~m};

\draw (2.8,0,0,) -- (2.8,2,0) -- (3.6,2,0) -- (3.6,0,0);
\draw (6.4,0,-1.8) -- (6.4,2,-1.8) -- (6.4,2,-3.4) -- (6.4,0,-3.4);\draw (6.4,0,-2.6) -- (6.4,2,-2.6);
\draw[dashed] (0,0,-1.8) -- (0,2,-1.8) -- (0,2,-3.4) -- (0,0,-3.4);\draw[dashed] (0,0,-2.6) -- (0,2,-2.6);
\draw[dashed] (2.4,0,-5.2) -- (2.4,2,-5.2) -- (4,2,-5.2) -- (4,0,-5.2);\draw[dashed] (3.2,0,-5.2) -- (3.2,2,-5.2);
\end{tikzpicture}\end{center}

\subsection*{Première partie: Peinture des murs et du plafond}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'aire du plafond est: $6,40\times 5,20=33,28~\text{m}^2$.
		\item Sachant qu'il faut 1 litre pour 4~m$^2$, il faut $33,28 \div 4 = 8,32$ litres pour peindre le plafond.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calcul de la surface de mur à peindre:
\begin{itemize}
 \item Surface des murs avec porte et fenêtres: $(6,4+5,2)\times 2 \times 2.8 = 64,96~\text{m}^2$.
\item Surface des portes et fenêtres: $2\times 0,8 + 3\times (2\times 1,6)=11,2~\text{m}^2$
\item Surface à peindre: $64,96 - 11,2 = 53,76\text{m}^2 \simeq 54~\text{m}^2$
\end{itemize}

\item Sachant qu'il faut 1 litre pour 4~m$^2$, il faut $54 \div 4 = 13,5$ litres pour peindre les murs?
 	\end{enumerate}
\item Sachant que la contenance d'un pot est de 5 litres, il faut $(8,32+13,5)\div 5=4,364$, soit 5 pots de peinture pour ce chantier.
\end{enumerate}


\subsection*{Deuxi\`eme partie: Pose d'un dallage sur le sol}


\begin{enumerate}
\item  \textbf{P}lus \textbf{G}rand \textbf{C}ommun \textbf{D}iviseur de $640$ et $520$: $40$

On utilise l'algorithme d'Euclide:
\[
 \opidiv{640}{520}\quad\longrightarrow\quad \opidiv{520}{120}\quad\longrightarrow\quad \opidiv{120}{40}
\]


\item Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension.
L'entreprise a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20~cm, 30~cm, 35~cm, 40~cm ou 45~cm.
\begin{enumerate}
\item Pour que les dalles puissent être posées sans découpe, il faut que la longueur du côté soit un diviseur du PGCD de 640 et 520, soit 20 et 40.
\item Dans chacun des cas trouvés, il faut utiliser:
\begin{itemize}
\item $640 \div 40 =16$ dalles dans la longueur et $520 \div 40= 13$ dalles dans la largeur, soit $16\times 13 = 208$ dalles.
\item $640 \div 20 =32$ dalles dans la longueur et $520 \div 20= 26$ dalles dans la largeur, soit $32\times 26 = 832$ dalles.
\end{itemize}

\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\subsection*{Troisième partie : Coût du dallage}
\begin{description}
 \item[]
 \end{description}Pour l'ensemble de ses chantiers, l'entreprise se fournit auprès de deux grossistes. Les tarifs proposés pour des paquets de 10 dalles sont :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[Grossiste A :] 48~\eurologo{} le paquet, livraison gratuite.
\item[Grossiste B :] 42~\eurologo{} le paquet, livraison 45~\eurologo{} quel que soit le nombre de paquets.
 \end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Le prix pour une commande de 9 paquets :
	\begin{enumerate}
		\item avec le grossiste A est $48\times 9 = 432$ \eurologo,
		\item avec le grossiste B est $42\times 9 + 45 = 423$ \eurologo.
 	\end{enumerate}
\item Exprimer en fonction du nombre $n$ de paquets :
	\begin{enumerate}
		\item $PA=48n$;
		\item $PB=42n+45$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir plus loin.
		\item De 0 à 7 paquets, le grossiste A est le plus avantageux; pour plus de 8 paquets, il faut choisir le grossiste B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1cm,y=0.03cm]
\shorthandoff{:};
\clip(-1.5,-50) rectangle (10.2,510);
\draw[->] (0,0)  -- (10,0);
\foreach \x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->] (0,0) -- (0,500);
\foreach \y in {0,50,100,150,200,250,300,350,400,450,500}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[very thin,gray] (0,0) grid[step=0.5cm,ystep=0.15cm] (10,500);
\draw[smooth,samples=100,domain=0:10,color=red] plot(\x,{48*\x});
\draw[smooth,samples=100,domain=0:10,color=blue] plot(\x,{45+42*\x});

\draw (5.5,-20) node {Nombre de paquets};
\draw (3.5,-40) node {\textcolor{red}{\textemdash}: $y=48x$};
\draw (7.5,-40) node {\textcolor{blue}{\textemdash}: $y=42x+45$};
\draw[color=black,thick,dashed] (7.5,0) -- (7.5,360) -- (0,360);
\draw (-1,250) node[rotate=90] {Prix en euros};
\draw (7.5,0) node[below,color=red] {$7,5$};
\draw (0,360) node[left, color=red] {$360$};
\end{tikzpicture}\end{center}

\end{document}




