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%Tapuscrit : J. C. Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{C. G. R. H.}
\lfoot{\small{ Corrigé Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG CGRH  Polynésie \decofourright\\ corrigé}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les dépenses, en millions d'euros, des ménages en France de 2000  à 2009 pour les programmes audio-visuels.

\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&\footnotesize Dépenses en cinéma&\footnotesize Dépenses en redevance audio-visuelle &\footnotesize Dépenses en abonnements Canal+, c\^able et satellite&\footnotesize Dépenses en achats et location de vidéos&\footnotesize Total des dépenses 
en programmes audio- visuels \\ \hline
2000 &894&\np{1572}& \np{2551} &\np{1051} &\np{6068}\\ \hline 
2001 &\np{1021} &\np{1573} &\np{2691} &\np{1245} &\np{6530}\\ \hline 
2002 &\np{1030} &\np{1572} &\np{2801} &\np{1478} &\np{6881}\\ \hline 
2003 &996 		&\np{1603} &\np{2841} &\np{1772} &\np{7212}\\ \hline 
2004 &\np{1139} &\np{1677} &\np{2895} &\np{2049} &\np{7760} \\ \hline
2005 &\np{1031} &\np{1734} &\np{2990} &\np{1889} &\np{7644}\\ \hline 
2006 &\np{1121} &\np{1763} &\np{3157} &\np{1751} &\np{7792}\\ \hline 
2007 &\np{1060} &\np{1764} &\np{3245} &\np{1572} &\np{7641}\\ \hline 
2008 &\np{1142} &\np{1863} &\np{3351} &\np{1467} &\np{7823}\\ \hline 
2009 &\np{1233} &\np{1892} &\np{3308} &\np{1493} &\np{7927}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Extrait des Tableaux de l'Économie Française de l'Insee - édition 2010 }}
\end{tabularx}
}
\medskip
 
\textbf{Partie A} 

\medskip

\emph{Les pourcentages seront arrondis au centième près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons le montant des dépenses en achats et locations de vidéos en 1999. Elles ont diminué de 19,22\,\% entre 1999 et 2000 , par conséquent entre 1999 et 2000 elles ont été multipliées par  $1-\frac{\np{19.22}}{100}=\np{0.8078}$. Le montant des dépenses en achats et locations de vidéos en 1999 est :\framebox{$\frac{\np{1051}}{\np{0.8078}}=\np{1301}$} en millions d'euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le taux d'évolution exprimé en pourcentage, des dépenses en programmes audio-visuels entre 2000 et 2009 est :
		\[\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}=\frac{\np{7927}-\np{6068}}{\np{6068}}=\framebox{\np{30.64}~\%}\]
		
		\item Déterminons le taux moyen annuel d'évolution, exprimé en pourcentage, des dépenses en programmes audio-visuels entre 2000 et 2009. Durant cette période les dépenses ont subi 9 évolutions. Si $t_m$ est le taux d'évolution, nous pouvons dire que les dépenses de 2000 ont été multipliées par $(1+t_m)^9$. Le taux moyen est alors : $t_m=\np{1,3064}^{\frac{1}{9}}-1=\framebox{\np{3,01}~\%}$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Complétons le tableau de l'\textbf{annexe 1} par les proportions, exprimé en pourcentage, de chaque dépense par rapport à la dépense totale, pour les années 2000 et 2009. 
		\item La dépense dont la part, exprimée en pourcentage, par rapport au montant total, a le plus augmenté entre 2000 et 2009 est la dépense en achats et location de vidéos. Calculons le taux d'évolution de la part de chacune des dépenses qui ont augmenté entre 2000 et 2009. 
		\begin{spacing}{1.4}

\begin{itemize} 
\item [$\bullet$]Dépenses en cinéma \dotfill $\frac{\np{15,55}-\np{14,73}}{\np{14,73}}=\np{5,57}~\%$ 
\item [$\bullet$]Dépenses en achats et location de vidéos \dotfill $\frac{\np{18,83}-\np{17,32}}{\np{17,32}}=\np{8,71}~\%$
\end{itemize}

\end{spacing}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} 

\medskip

On s'intéresse maintenant uniquement au montant des dépenses des ménages en France de 2000 à 2009 pour 
les abonnements Canal+, câble et satellite.

\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 						&2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$	&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
Montant des dépenses en millions d'euros: $y_{i}$&\np{2551} &\np{2691} &\np{2801} &\np{2841} &\np{2895} &\np{2990} &\np{3157} &\np{3245} &\np{3351} &\np{3308}\\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip 


Le nuage de points représentant cette série statistique dans un repère est donné en \textbf{annexe 2}.
 
\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite D d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est \framebox{$y= 89x + \np{2493}$}.  Les coefficients étant arrondis à l'unité.
\item On admet que, pendant les années suivantes, l'évolution de la dépense pour les abonnements se poursuit selon le modèle donné par l'ajustement affine précédent. Calculons une estimation de la dépense au million d'euros près  en 2012. 
Le rang de l'année 2012 est 13, d'où  \[y = 89 \times 13 + \np{2493} =\np{3650}.\]   L'estimation de la  dépense est \np{3650} millions à un million près
\item
	\begin{enumerate}
		\item  La droite D est tracée sur l'\textbf{annexe 2}.
		\item Pour déterminer graphiquement à partir de quelle année ces dépenses dépasseront \np{3500}~millions d'euros, traçons la droite d'équation $y=\np{3500}$.
		
Nous lisons l'abscisse à valeur entière pour laquelle cette droite est \og en dessous \fg{} de  D.

Nous lisons $x=12$ ; par conséquent à partir de 2011.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip 

Une entreprise produit et commercialise chaque mois $q$ milliers d'objets, pour $q$ appartenant à l'intervalle [0~;~72]. On appelle $C(q)$ le coût total mensuel de production et $R(q)$ la recette mensuelle réalisée pour la vente de $q$ milliers d'objets, $C(q)$ et $R(q)$ étant exprimés en milliers d'euros.
 
On admettra que toute la production est vendue chaque mois.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $C$ et $\mathcal{R}$ celle de la fonction $R$ dans un repère du plan.
 
Ces représentations graphiques sont données ci-dessous.

\medskip

\psset{xunit=0.153cm,yunit=0.0153cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-25)(72,680)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(72,680)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{72}{x dup mul 0.1 mul x add 40 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{72}{x  11.2 mul x dup mul 0.05 mul sub}
\multido{\n=0+2}{37}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,680)}
\multido{\n=0+20}{35}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(72,\n)}
\uput[d](70,540){$\mathcal{R}$}\uput[u](70,600){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.445pt](59.8,0)(59.8,460)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.85pt](0,460)(60,460)
\rput(-1.5,460){\textcolor{red}{460}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.445pt](60.2,0)(60.2,490)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.85pt](0,490)(60,490)
\rput(-1.5,490){\textcolor{green}{490}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.85pt](4,0)(4,45.60)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.85pt](63.82,0)(63.82,511.12)
\rput(4,-25){\textcolor{cyan}{4}}
\rput(63.82,-25){\textcolor{cyan}{$\alpha$}}
\pnode(4,0){A}
\pnode(63.82,0){B}
\psbrace[braceWidthInner=0.75,rot=90,nodesepB=15pt,ref=bC](A)(B){ \fbox{bénéfice}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \newpage
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, on répondra aux questions à l'aide de lectures sur le graphique ci-dessus.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le coût total de production de 60~milliers d'objets en un mois est de 460~milliers d'euros.
(Ordonnée du point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $60$, tracé en rouge)
		\item  La recette mensuelle réalisée est alors de 490~milliers d'euros. ( Ordonnée du point de la courbe $\mathcal{R}$ d'abscisse $60$, tracé en vert)
		\item Il est rentable pour cette entreprise de produire 60 milliers d'objets mensuellement, puisque la courbe des recettes est \og au dessus\fg{} de la courbe des coûts.( ou $490>460$)

	\end{enumerate} 
\item Les productions mensuelles pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice positif sont les abscisses des points pour lesquels la courbe des recettes est \og au dessus\fg{} de la courbe des coûts. Nous lisons $q\in[4~;~\alpha]\quad \alpha \in[63,5~;~64]$
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $C$ est définie par $C(q) = 0,1q^2 + q + 40$ et le prix de vente unitaire 
$P(q)$ par $P(q) = 11,2 - 0,05q$, pour tout nombre $q$ de l'intervalle [0~;~72]. $C(q)$ et $P(q)$ sont exprimés en milliers d'euros.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la recette mensuelle pour la vente de 10~milliers d'objets. Le prix de vente unitaire (en milliers d'euros) s'élève à \[P(10)=\np{11.2}-\np{0.05}\times 10=\np{11.2}-\np{0.5}=\np{10.7},\] par conséquent $R(10)= \np{10.7}\times 10=107$.
La recette mensuelle pour la vente de 10~milliers d'objets est de 107~milliers d'euros.
		\item  la recette mensuelle $R(q)$ réalisée pour la vente de $q$ milliers d'objets est
 \[ R(q)=P(q)\times q =(\np{11.2}-\np{0.05}q)q= \np{11.2} q-\np{0.05}q^2.\] 
	\end{enumerate}
\item On admet que le bénéfice mensuel $B(q)$ exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $q$ objets est défini par $B(q) = -0, 15q^2 + 10,2q - 40$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $B'(q)$.  $B'(q)=-\np{0,15}\times 2q+\np{10,2}=-\np{0,3}q+\np{10,2}.$ 
		\item Déterminons  le signe de $B'(q)$ dans l'intervalle [0~;~72]. 
	\[	-\np{0,3}q+\np{10,2}>0 \iff q <\frac{\np{10,2}}{\np{0,3}}\iff q <34\]
	d'où si $q\in[0~;~34[\quad B^{\prime}(q)>0$,  si $q = 34\quad B^{\prime}(q) = 0$ et si $q\in ]34~;~72]\quad B^{\prime}(q) < 0$	
	
	étudions le sens de variations de $B$ dans l'intervalle [0~;~72].	
	
Si pour tout $x\in I$, $f^{\prime}(x)\geqslant 0,\quad f$ est croissante sur $I$. Pour $q\in[0~;~34[\quad B^{\prime}(q)>0$ donc $B$ est croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I$, $f^{\prime}(x)\leqslant 0,\quad f$ est décroissante sur $I$. Pour $q\in]34~;~72]\quad B^{\prime}(q)<0$ donc $B$ est  décroisssante sur cet intervalle.
		\item Le bénéfice est maximal lorsque $B$ admet un maximun. D'après le sens de variation, le maximum est obtenu pour $q=34$. La production mensuelle de l'entreprise qui correspond au bénéfice maximal est 34 milliers d'objets. \[
		B(34) =\np{0,15}\times 34^2+\np{10.2}\times 34 -40=\np{133.4}\]
	Le montant de ce bénéfice est	\np{133400} euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}

\medskip

\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.\\ 
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie, Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse juste apporte 1 point; une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
On place \np{20000}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de 1,8\,\%, On appelle $u_{n}$ le capital obtenu au bout de $n$ années de placement. Ainsi $u_{0} = \np{20000}$.
 
On a reproduit ci-dessous une feuille de calcul incomplète réalisée avec un tableur pour calculer les capitaux successifs et les intérêts perçus chaque année.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A			&B&C\\ \hline
1&Années	&Capital	&Intér\^ets\\ \hline \hline

2&0			&\np{20000}	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} \\ \hline
3&1			&\np{20360}	& \\ \hline
4&2			&			& \\ \hline
5&3			&			& \\ \hline
6&4			&			& \\ \hline
7&5			&			& \\ \hline
8&6			&			& \\ \hline
9&7			&			& \\ \hline
10&8		&			& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} \cancel{1,8}&\textbf{b.~~} \cancel{360}&\textbf{c.~~} \ovalbox{1,018}\\ [0.3 cm]
\end{tabularx}
Pour un taux d'augmentation de $t$ le coefficient multiplicateur est $1+t$ ($1+\frac{\np{1.8}}{100}=\np{1.018}$)
\medskip

\item  Le capital obtenu au bout de 8 ans de placement, arrondi au centime d'euro, est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} \cancel{\np{22660,24}~\euro}&\textbf{b.~~} \ovalbox{\np{23068,12}~\euro}&\textbf{c.~~}\cancel{ \np{22880}~\euro}\\ [0.3cm]
\end{tabularx}
$u_n=u_0q^n \quad u_8=\np{20000}\times (\np{1.018})^{8}$
\medskip

\item  Le capital dépassera \np{24000}~\euro{} au bout de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}\cancel{ 10 ans}&\textbf{b.~~} \ovalbox{11 ans}&\textbf{c.~~}\cancel{ 12 ans}\\ [0.24cm]
$u_{10}=\np{23906}$ &$u_{11}=\np{24336}$&\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item La formule que l'on peut saisir dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour calculer les intérêts de chaque année est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} \ovalbox{=B3 - B2}&\textbf{b.~~} \cancel{=B3/B2}&\textbf{c.~~} \cancel{=\$B\$3-\$B\$2}\\ [0.24cm]
&& valeur constante\\
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item  Le montant total des intérêts perçus en 8 ans de placement, arrondi au centime d'euro, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} \ovalbox{3068,12~\euro}&\textbf{b.~~} \cancel{407,88~\euro}&\textbf{c.~~} \cancel{\np{2880}~\euro}\\ [0.3cm]
&intérêt de la 8\ieme{} année&intérêts constants $8\times 360$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXES DE L'EXERCICE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE }

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 1} 
\end{flushleft}

Proportions, en pourcentage arrondi au centième, de chaque dépense par rapport à la dépense totale,.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Cinéma &Redevance audiovisuelle&Abonnements Canal+, câble et satellite&Achats et locations de vidéos\\ \hline 
En 2000&\np{14,73}&\np{25,91}&\np{42,04}&\np{17,32}\\ \hline 
En 2009&\np{15,55}&\np{23,87}&\np{41,73}&\np{18,83}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 2} 
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.004cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(14,2000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=2000,Dy=200]{->}(0,0)(14,2000)
\uput[r](0,2100){Montant des dépenses pour les abonnements}
\uput[r](0,2000){ en millions d'euros}
\uput[u](12.5,0){Rang de l'année}
\psdots(1,551)(2,691)(3,801)(4,841)(5,895)(6,990)(7,1157)(8,1245)(9,1351)(10,1308)
\multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2000)}
\multido{\n=0+100}{21}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\psline(0,493)(14,1739) \rput(13.5,1600){D}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.85pt](0,1500)(14,1500)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.85pt](11.315,1500)(11.315,-100)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}



