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%Tapuscrit : Stéphan Grignon
%Relecture : François Hache
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\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
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\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL - corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé STL Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole 17 juin 2025}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice PCM \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}[start=7]
\item Pour vérifier que $C(t) = \e^{2,01} \times \e^{-0,154t}$, on utilise la propriété de l'exponentielle :
\[\ln(C(t)) = -0,154t + 2,01 \implies C(t) = \e^{-0,154t + 2,01} = \e^{2,01} \times \e^{-0,154t}.\]
Ainsi, la formule est vérifiée.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[start=10]
\item $\ds\lim_{t \to +\infty} -0,154t = -\infty$, donc $\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{-0,154t} = 0$.

\smallskip

Par conséquent :
\[\lim_{t \to +\infty} C(t) = 7,5 \times 0 = 0.\]

\item D'après la figure 1, la concentration en acide propanoïque diminue au cours du temps et se rapproche de 0. Ce résultat est cohérent avec le calcul de la limite, qui confirme que la concentration tend vers 0 lorsque le temps devient très grand. Cela indique que la réaction de synthèse du propanoate d'isoamyle consomme progressivement l'acide propanoïque jusqu'à épuisement.
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{\large Exercice Maths \hfill 4 points}

\medskip

%\textbf{Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.}
%
%\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

$f(1) = 5 \times 1^2 - 2 \times 1 + 8\ln(1) = 5 - 2 + 0 = 3.$

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

$f'(x) = 5 \times 2x - 2 + 8 \times \dfrac{1}{x} = 10x - 2 + \dfrac{8}{x}.$ 
 
\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

$A = \dfrac{\e^{-12}}{\e^3} = \e^{-12} \times \e^{-3} = \e^{-12 - 3} = \e^{-15}.$

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Calculons la dérivée de la fonction $f$ :
$f'(x) = 4 \times 3\e^{3x} + 0 = 12\e^{3x}.$

On a:
$\aligned[t]
3 \times f(x) - 12 
&= 3 \times (4\e^{3x} + 4) - 12 \\
&= 12\e^{3x} + 12 - 12 \\
&= 12\e^{3x}\\
&= f'(x)
\endaligned$

\smallskip

Donc $f'(x)=3f(x)-12$, et donc la fonction $f$ est bien solution de l'équation différentielle ($E$).

\end{document}
