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%Tapuscrit : Paul Duprat
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\setlength\arraycolsep{2pt}%pour reduire l'espacement dans les tableaux


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\cfoot{Page \thepage /\pageref{lastpage}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Correction TES Antilles--Guyane 18 juin 2010 \decofourright}} 
\end{center}    

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
{ \textbf{1\up{re} partie} \emph{Étude préliminaire de $f$}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite d'équation $y = -2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ donc \ovalbox{$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-2$.}

\item \ovalbox{L'équation $f(x) = 0$ a pour unique solution 3.}
\item $f(x)$ est strictement positif sur $[1~;~3[$ et $f(x)$ est strictement négative sur $]3~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

{\textbf{2\up{e} partie} \emph{Étude d'une fonction composée}}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[1~ ;~+ \infty[$ par $g(x)=\exp(f(x))$.
\begin{enumerate}
\item On sait que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-2$ donc \ovalbox{$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=\text{e}^{-2}$.}

\item L'équation $g(x) = 1$ équivaut à $f(x) = \ln 1$ c'est à dire  $f(x) = 0 $. Elle a donc pour unique solution 3 d'après la partie 1.
\end{enumerate}

\medskip

{\textbf{3\up{e} partie} }

La fonction $f$ est la dérivée d'une fonction $F$ définie sur $[1~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ a pour dérivée la fonction $f$ qui est positive sur $[1~;~3[$ et négative sur $]3~;~+ \infty[$. La fonction $F$ est donc croissante sur $[1~;~3]$ et décroissante sur $[3~;~+ \infty[$ c'est donc la courbe n°2.
\item On lit que \ovalbox{ $F(2)\approx 0,5$ et $F(3)\approx 2$}.

\item L'aire du domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$ est donnée par l'intégrale :
\[ \int_2^3 f(x)\!\text{d} x=\Big[ F(x) \big]_2^3 =F(3)-F(2)\approx 2-0,5=1,5\]
\begin{center}
\ovalbox{L'aire du domaine vaut environ 1,5 unité d'aire}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip
{\textbf{4\up{e} partie} }

On donne l'expression de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par :
\[
f(x)=2\text{e}^{-x+3}-2.
\]

Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=-2\text{e}^{-x+3}-2x$.

L'aire du domaine est donnée par l'intégrale :
\[ \int_2^3 f(x)\!\text{d} x=\Big[ -2\text{e}^{-x+3}-2x \big]_2^3 =(-2\text{e}^{0}-2\times 3)-(-2\text{e}^{1}-2\times 2)=2\text{e}-4 \approx 1,44\]
\begin{center}
\ovalbox{L'aire du domaine vaut $2\text{e}-4$ soit environ 1,44 unité d'aire}
\end{center}



\vspace{1cm}
%: Ex 2, 5 points, non-spé

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Tableau}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
& Sphérique & Équilibrée & Baroque & Total \\
\hline
Argentée &9~\% & 21~\% & 30~\% & 60~\%\\
\hline
Noire & 7~\% & 23~\% & 10~\% & 40~\%\\
\hline 
Total & 16~\% & 44~\% & 40~\% & 100~\%\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item D'après le tableau $p(B)=0,4$, 

\ovalbox{ La probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque~est de 0,4}
\item D'après le tableau $p(N\cap E)=0,23$, 

\ovalbox{ La probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée~est de 0,23}
\item D'après le tableau $p(A\cap B)=0,3$, 

\ovalbox{ La probabilité que le bijoutier choisisse une perle argentée de forme baroque~est de 0,3.}

\item On a $p_B(\overline{A})=\dfrac{p(\overline{A}\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,1}{0,4}=0,25$.\\
\ovalbox{\parbox{\linewidth}{Si le bijoutier a choisi une perle de forme baroque, la probabilité qu'elle ne soit pas argentée est de 0,1 }}
\end{enumerate}
\item Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles au hasard et de manière indépendante. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d'une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Les tirages étant indépendants, la probabilité que les quatre perles ne soient pas argentées est:
\begin{center}
$\left(p(\overline{A})\right)^4=0,4^4=0,0256$
\end{center}
\ovalbox{\parbox{\linewidth}{La probabilité qu'aucune des quatre perles choisies ne soit argentée est de 0,0256.}}
		\item L'évènement contraire de \og il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies \fg est \og Aucune des quatre perles choisies n'est sphérique\fg.
		\begin{center}
$1-\left(p(\overline{S})\right)^4=1-0,84^4\approx 0,502$
\end{center}
\ovalbox{\parbox{\linewidth}{La probabilité qu'il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies est de  0,502.}}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
%: Ex 2, 5 points, spé
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip

%M. et M\up{me} Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voyager. Ils prévoient toujours de partir pendant l'été, soit à l'étranger, soit de visiter une région en France.

%S'ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de \nombre{0,4}.

%Par contre, s'ils sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'années suivante est de \nombre{0,7}.

%En été 2009, ce couple est parti à l'étranger.

%Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $(a_n\quad b_n)$ traduisant l'état probabiliste l'année $(2009+n)$, où $a_n$ désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l'année $(2009+n)$ et $b_n$ la probabilité que ce couple soit parti à l'étranger l'année $(2009+n)$.

%\medskip

%{\textbf{Partie A}}

%\smallskip

%\begin{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $F$ et $E$ ($F$ pour France et $E$ pour étranger).
%		\item En déduire la matrice de transition en prenant tout d'abord $F$ puis $E$ pour l'ordre des sommets. On notera $M$ cette matrice.
%	\end{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Donner $P_0$, l'état probabiliste initial, l'année 2009.
%		\item On donne les résultats suivants:
%\[
%M^2=\begin{pmatrix}
%\nombre{0,48} & \nombre{0,52}\\
%\nombre{0,39} & \nombre{0,61}
%\end{pmatrix};
%M^3=\begin{pmatrix}
%\nombre{0,444} & \nombre{0,556}\\
%\nombre{0,417} & \nombre{0,583}
%\end{pmatrix};
%M^4=\begin{pmatrix}
%\nombre{0,4332} & \nombre{0,5668}\\
%\nombre{0,4251} & \nombre{0,5749}
%\end{pmatrix}.
%\]
%En choisissant la bonne matrice, calculer $P_3$. En déduire la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2012 \emph{(On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième)}.
%	\end{enumerate}
%\item Soit $P$ la matrice ligne $(x\quad y)$ donnant l'état stable où $x$ et $y$ sont deux réels positifs tels que $x + y = 1$.

%Déterminer l'état stable puis interpréter le résultat.
%\end{enumerate}

%\medskip

%{\textbf{Partie B}}

%\smallskip

%\begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a: $a_{n+1} = \nombre{0,3}a_n+\nombre{0,3}$.
%\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - \dfrac37$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
%		\item En déduire l'expression de $u_n$, puis celle de $a_n$ en fonction de $n$.
%\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Que retrouve-t-on~?
%\end{enumerate}

%\end{enumerate}


\vspace{1cm}
%: Ex 3, 4 points, commun
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

{\textbf{Partie 1}}\\

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'augmentation du nombre de spectateurs de 1997 à 1999 est donné par le calcul suivant:
\begin{center}
 $\dfrac{\nombre{153,6}-\nombre{149,3}}{\nombre{149,3}} = \dfrac{153,6}{149,3} - 1$ 
\end{center}

\item En supposant que le nombre de spectateurs augmente de 1~\% tous les ans, à partir de 2007, le nombre de spectateurs en 2010 est donné par le calcul suivant:
\begin{center}
$\nombre{1,01}^3\times\nombre{177,9}$ 
\end{center}

\item Entre 1997 et 2007 , l'augmentation annuelle moyenne, en pourcentage, du nombre de spectateurs est, arrondie à \nombre{0,01}~\%:
\begin{center}
$\left( \dfrac{177,9}{149,3}\right)^{\frac{1}{10}}-1\approx0,0177=$\nombre{1,77}~\%
\end{center}

\item Sachant que de 1998 à 1999, le nombre de spectateurs (en millions) dans les cinémas en France a diminué de 10~\%, le nombre de spectateurs (en millions) en 1998 arrondi au dixième était:
\begin{center}
$\dfrac{153,6}{1-0,1}\approx$\nombre{170,7}

\end{center}

\item On considère un nuage de points $M_i(x_i~;~y_i)$, pour $1\leqslant i\leqslant 6$, construit à partir des données du tableau donné en début d'exercice. Les coordonnées du point moyen de ce nuage sont:
\begin{center}
$(5~;~\nombre{169,55})$ 
\end{center}
 
 
\item 
\begin{enumerate}
\item L'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ est $y=2,8x+155,6$\\
Le nombre de spectateurs sera d'environ 200 millions en :

\begin{center}
2013 
\end{center}

\setcounter{enumii}{1}
\item L'estimation (en millions) arrondi au dixième, du nombre de spectateurs en 2015 est:

\begin{center}
 \nombre{206}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
{\textbf{Partie 2}}\\
Justifier la réponse donnée à la question 3 de la partie 1.

Si on appelle $t_m$ le taux annuel moyen entre 1997 et 2007 et comme il s'est écoulé 10 années, on a :
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	(1+t_m)^{10}&=& \dfrac{177,9}{149,3}\\
	1+t_m&=& \left( \dfrac{177,9}{149,3}\right)^{\frac{1}{10}}\\
 t_m &=&	\left( \dfrac{177,9}{149,3}\right)^{\frac{1}{10}}-1\\
 t_m &\approx&0,0177=1,77\%
\end{array}$
\end{center}



\vspace{1cm}
%: Ex 4, 5 points, commun
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

{\textbf{Partie A}}\\
\begin{enumerate}
\item La $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~20]$ et pour tout réel $x\in[0~;~20]$ on a:

\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	f'(x)&=&0,3-\dfrac{0,9}{x+1}\\[3mm]
	f'(x)&=&\dfrac{0,3x-0,6}{x+1}\\[3mm]
	f'(x)&=&\dfrac{0,3(x-2)}{x+1}
\end{array}$
\end{center}
Sur $[0~;~20]$,$x+1$ est toujours positif donc $f'(x)$ a le même signe que $x-2$. On a donc le tableau de variation suivant: 
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.2)
\psframe(8,3.2)
\psline(2,0)(2,3.2) %trait vertical
%\psline(2.1,0)(2.1,2.5)
%\psline(2.16,0)(2.16,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[ur](2,2.55){$0$} \uput[u](5,2.5){ $2$}\uput[ul](8,2.5){$20$} 
\psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(0,1.8)(8,1.8) 
\uput[u](1,1.8){$f'(x)$}  \uput[u](3.5,1.9){$-$} \uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$+$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$}   \uput[u](5,0){$f(2)$} 
  \uput[dr](2.15,1.8){$1,5$}  \uput[dl](8,1.8){$f(20)$} 
\psline{->}(2.8,1.5)(4.5,0.4) \psline{->}(5.5,0.4)(7.2,1.4) 
\end{pspicture} 
\end{center}
$f(2)=2,1-0,9\ln 3\approx 1,11 $ et $f(20)=7,5-0,9\ln 21\approx 4,76 $

\item
\begin{enumerate}
\item $g$ est continue, strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~17]$ or $g(0)=-1,5$ et $g(17)=0,9\ln 18-2,35 \approx 0,25$ donc 0 appartient à l'intervalle image par conséquent, d'après le théorème des valeurs intermédiaires  il existe un unique réel $x_0$ dans l'intervalle $[0~;~17]$ tel que $g(x_0)=0$.

A l'aide de la calculatrice on trouve que:
$g(6,66)\approx -0,0006$ et $g(6,67)\approx 0,00008$ donc
\begin{center}
$6,66<x_0<6,67$
\end{center}
\item \emph{Tableau de variation de $g$}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.2)
\psframe(8,3.2)
\psline(2,0)(2,3.2) %trait vertical
%\psline(2.1,0)(2.1,2.5)
%\psline(2.16,0)(2.16,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[ur](2,2.55){$0$}\uput[u](3.5,2.5){ $x_0$} \uput[u](5,2.5){ $17$}\uput[ul](8,2.5){$20$} 
\psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(0,1.8)(8,1.8) 
\uput[u](1,1.8){$g'(x)$}  \uput[u](3.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$-$}
\uput[u](1,0.8){$g(x)$}   \uput[d](5,1.8){$g(17)$} 
  \uput[ur](2.15,0){$g(0)$} \uput[u](3.5,0.5){ $0$} \uput[ul](8,0){$g(20)$} 
\psline{->}(3,0.4)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.3,0.4) 
\end{pspicture} 
\end{center}
En utilisant le tableau de variation de $g$ et en remarquant que $g(20)$ est positif, on peut en déduire le signe de $g$:
\begin{center}
\begin{pspicture}(8.5,1.6)
\psframe(8.5,1.4)
\psline(2,0)(2,1.4) %trait vertical
\uput[u](1,0.7){$x$} \uput[ur](2,0.75){$0$} \uput[u](5,0.7){ $x_0$}\uput[u](8,0.7){ $20$}
\psline(0,0.7)(8.5,0.7)  
\uput[u](1,0){$g(x)$}  \uput[u](3.5,0.1){$-$} \uput[u](5,0.1){$0$}\uput[u](6.6,0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

{\textbf{Partie B}}\\
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a $C(0)=1,5$, les coûts fixes s'élèvent à 1,5 million d'euros.
\item Nous avons vu dans la partie A que la fonction $f$ admettait un minimum pour $x=2$. \\
 \ovalbox{\parbox{\linewidth}{Le promoteur doit prévoir de construire deux maisons pour que le coût de production soit minimal.}}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le bénéfice réalisé pour la fabrication de $n$ maisons est:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	B(n)&=& 0,25 n -C(n)\\
	&=& 0,25 n -(\nombre{0,3}n+\nombre{1,5}-\nombre{0,9}\ln(n+1))\\
	&=& -\nombre{0,05}n-\nombre{1,5}+\nombre{0,9}\ln(n+1)
\end{array}$
\end{center}
\item On remarque que la fonction $B$ n'est autre que la fonction $g$ de la partie A et nous avons vu qu'elle admet un maximum pour $x=17$.\\

\ovalbox{\parbox{\linewidth}{Le promoteur doit prévoir de construire 17 maisons pour que le bénéfice soit maximal.}}\\

Nous avons $g(17)\approx 0,2513$.
\ovalbox{Ce bénéfice sera de \nombre{251300}~\euro}
\item Le signe de $g$ étudié dans la partie A  nous permet de dire que 
\begin{center}
\ovalbox{\parbox{\linewidth}{Il faut construire au minimum 7 maisons  pour que le promoteur ne travaille pas à perte. }}
\end{center}

\item En utilisant la table de la calculatrice, on peut remarquer que $g(x)>0,2$ lorsque $x>11,6$.
\ovalbox{\parbox{\linewidth}{
À partir de 12 maisons construites le bénéfice du promoteur est  supérieur à \nombre{200000} euros.}}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{lastpage}
\end{document}