\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
%\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Merci pour le sujet à Florence Vigne
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-all,pst-node,pstricks-add}%,pst-bezier
%\usepackage{pst-infixplot} 
%\usepackage{twoopt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.5cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 26 octobre 2022 sujet 1},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{3pt}

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Jour 1}}
\rfoot{\small{26 octobre 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\[7pt] 26 octobre 2022  Jour 1 \\[7pt]ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ }}

\bigskip

Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}

%\medskip
%
%L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé
%
%\medskip
%
%Le sujet propose 4 exercices
%
%Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 7 points\hfill probabilités}

\medskip

%\textbf{Principaux domaines abordés :} fonctions, fonction logarithme; convexité.
%
%\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x^2 - 6x + 4\ln (x).\]

%On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
%
%On note $f$' sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
%
%On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. 
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = \displaystyle\lim_{x \to 0} - 6x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} - 4\ln x = - \infty$ et par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
	
%Interpréter graphiquement ce résultat.
Graphiquement ce résultat montre que la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées est asymptotoe verticale à $\mathcal{C}_f$  au voisinage de 0.
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
On a puisque $x > 0$, \: $x^2 - 6x = x^2\left(1 - \dfrac{6}{x}\right)$.

$\bullet~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{6}{x} = 0$, donc 

$\bullet~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \dfrac{6}{x} = 1$ (par somme de limites), puis

$\bullet~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$, d'où

$\bullet~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2\left(1 - \dfrac{6}{x}\right) = + \infty$ (par produit de limites) ; enfin 

$\bullet~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln (x) = + \infty$, donc finalement :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$ (par somme de limites).
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.
Sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $f$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = 2x - 6 + 4 \times \dfrac1x = \dfrac{2x^2 - 6x + 4}{x}$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Comme $x > 0$, le signe du quotient est celui du numérateur, donc du trinôme $2x^2 - 6x + 4$ ou plus simplement du trinôme $x^2 - 3x + 2$.

Celui-ci a une racine évidente : 1 et l'autre 2 (puisque le produit des racines est 2).

On alors que $f'(x)$ est positif sauf sur l'intervalle ]1~;~2[ où $f'(x) < 0$
		
%En déduire le tableau de variations de $f$.
La fonction $f$ est donc croissante sauf sur l'intervalle ]1~;~2[ où elle est décroissante.

On a $f(1) = 1 - 6 + 4\ln 1 = 0 - 5 = - 5$ et $f(2) = 4 - 12 + 4\ln 2 = 4\ln 2 - 8 \approx - 5,23$.

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)
\psline(1,0)(1,3)\psline(4,2)(4,2.5)\psline(7,2)(7,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$1$} \uput[u](7,2.4){$2$} \uput[u](9.5,2.4){$+ \infty$} 
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\uput[u](2.5,1.9){$+$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](5.5,1.9){$-$}\uput[u](7,1.9){$0$}\uput[u](8.5,1.9){$+$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5)
\rput(0.5,1){$f$}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$-5$}\uput[u](7,0){$\ln (2) - 8$}\uput[d](9.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle [4~;~5].
$\bullet~~$On a $f(4) = 16 - 24 + 4\ln 4 = - 8 + 8\ln 2 \approx - 2,45$ et $f(5) = 25 - 30 + 4\ln 25 = 4\ln 5 - 5 \approx 1,44$ ;

$\bullet~~$Sur l'intervalle [4~;~5], la fonction est continue car dérivable et strictement croissante de $f(4) < 0$ à $f(5) > 0$, donc :

d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha \in ]4~;~5[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
\item %On admet que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on a : 

$f''(x) = \dfrac{2x^2 - 4}{x^2}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		
%On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
On a $2x^2 - 4 = 0 \iff 2\left(x^2 - 2 \right) = 0 \iff x^2 - 2 = 0 \iff \left(x + \sqrt 2 \right)\left(x - \sqrt 2 \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l}x + \sqrt 2 = 0\\x - \sqrt 2= 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}x  = -  \sqrt 2\\x = \sqrt 2
\end{array}\right.$

Le trinôme, donc $f''(x)$ est positif sauf sur l'intervalle $\left]-\sqrt 2~;~\sqrt{2}\right[$ ou ici puisque $x > 0, \: f''(x)$ est positif sauf sur l'intervalle $\left]0~;~\sqrt{2}\right[$. Conclusion :

$\bullet~~$ Sur l'intervalle $\left]0~;~\sqrt 2\right]$, $f''(x) < 0$, la fonction $f$ est concave ;

$\bullet~~$ Sur l'intervalle $\left]\sqrt 2~;~+ \infty\right]$, $f''(x) > 0$, la fonction $f$ est convexe ;

$\bullet~~$$f''\left(\sqrt 2\right) = 0$ : le point d'abscisse $\sqrt 2$, donc d'ordonnée $f\left( \right) = 2 - 6\sqrt 2 + 4 \ln \sqrt 2 = 2 - 6\sqrt 2 + 4 \times \dfrac12\ln 2 = 2 - 6\sqrt 2 + 2\ln 2$ est le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$, car en ce point la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
		\item %On note A le point de coordonnées $\left(\sqrt 2~;~f\left(\sqrt 2~\right)\right)$.
		
%Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t \ne \sqrt 2$. Soit $M$ le point de coordonnées $(t~;~ f(t))$.

%En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment [A$M$] et de la courbe $\mathcal{C}_f$.
$\bullet~~$Pour $k \in  ]0~;~\sqrt 2[$, [A$M_k]$ est une corde de la courbe d'une fonction concave donc [A$M_k$] est en dessous de $\mathcal{C}_f$.

$\bullet~~$Pour $k \in ]\sqrt 2~;~ +\infty[$, [A$M_k$] est une corde de la courbe d'une fonction convexe donc [A$M_k$] est au-dessus de $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 7 points\hfill probabilités}

\medskip

%\textbf{Principaux domaines abordés :}
%suites ;
%fonctions, fonction exponentielle.
%
%\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x^3\e^x.\]

%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_1$  puis $u_2$.
$\bullet~~$$u_1 = (- 1)^3 \e^{-1} = - \e^{-1} = - \dfrac{1}{\e} \approx - 0,368 $ ;

$\bullet~~$$u_2 = f\left(u_1\right) = \left(- \e^{-1}\right)^3\left(\e^{-\e^{-1}}\right) = - \e^{-3} \times \left(\e^{-\e^{-1}}\right) = - \e^{- 3 - \e^{-1}} \approx - 0,034$.
		
%On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
		\item %On considère la fonction \texttt{fonc}, écrite en langage Python ci-dessous.

\smallskip

%\begin{minipage}{0.524\linewidth}
%On rappelle qu'en langage Python, 
%
%\og \texttt{i in range (n)}\fg{} signifie que 
%
%\texttt{i} varie de 0 à \texttt{n -1}.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.40\linewidth}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline
%\texttt{def}& \texttt{fonc (n)}\\
%&\texttt{u =- 1}\\
%&\texttt{for i in range(n):}\\
%&\quad \texttt{u=u**3*exp(u)}\\
%&\texttt{return u}\\\hline
%\end{tabular}
%\end{minipage}
%
%Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par \texttt{fonc (2)} arrondie à $10^{-3}$.
On a \texttt{fonc(2)}$ = u_2 \approx - 0,034$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x + 3)$.
En dérivant $f(x)$ comme un produit on obtient :
		
$f'(x) = 3x^2 \e^x + x^3\e^x = x^2\e^x(3 + x)$.
		\item ~%Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté
%ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)
\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.2,1.9){$- \infty$} \uput[u](4,1.9){$-3$} \uput[u](6.5,1.9){$+ \infty$} 
\rput(0.5,1){$f$}\uput[d](1.2,2){0}\uput[u](4,0){$- 27\e^{-3}$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.52)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

$\bullet~~$Quel que soit le réel $x$, \: $x^2 \geqslant 0$ et $\e^x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $3 + x$ qui s'annule pour $x = - 3$, d'où les deux intervalles de variations ;

$3 + x < 0 \iff x <- 3$ : sur $]- \infty~;~-3[,\: f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est donc décroissante sur $]- \infty~;~- 3[$  ;

$3 + x > 0 \iff x >- 3$ : sur $]- 3~;~+\infty[,\: f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est donc croissante sur $]- 3~;~+\infty[$ ;

$f(- 3) = (- 3)^3 \times \e^{-3} = - 27\e^{-3} = - \dfrac{27}{\e^3} \approx - 1,344$ est le minimum de la fonction sur $\R$.

$\bullet~~$ On a $f(0) = 0^3 \times \text{e}^0 = 0 \times 1 = 0$ ;

$\bullet~~$ De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^3 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{x} = + \infty$, on a par produit de limites

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a :
		
%		\[- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0.\]
\emph{Initialisation} : avec $u_0 = - 1$ et $u_1 \approx - 0,368$, on a bien : $ - 1 \leqslant u_0 \leqslant u_1  \leqslant 0$ : l'encadrement est vrai au rang $0$.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que 	$- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0$.

On a vu que sur l'intervalle $]- 3~;~+\infty[$, donc a fortiori sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, la fonction est strictement croissante.

On a donc par croissance de $f$ : $f(- 1) \leqslant f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right)\leqslant f(0)$, ou encore :

$u_1\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant f(0)$	

et comme $u_1 \approx -0,338, \: \: - 1 \leqslant u_1$ et $f(0) = 0$, on a bien :

$- 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 0$.

La relation est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai au rang $n,\:\:n \in \N$, il est encore vrai au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a :
$1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0$.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		
La question précédente montre que :
		
$\bullet~~$la suite $\left(u_n\right)$ est croissante ;

$\bullet~~$la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $0$ ;

La suite $\left(u_n\right)$ est donc convergente vers une limite $\ell$, avec $\ell \leqslant 0$.
		\item %On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

%On rappelle que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.

%Déterminer $\ell$. Pour cela, on admettra que l'équation $x^2\e^x - 1 = 0$ possède une seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac12$).
On résout dans $]- 1~;~0[$, (car d'après la question précédente tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle) l'équation  :

$f(x) = x \iff x^3\e^x = x \iff x^3\e^x - x = 0 \iff x\left(x^2\e^x - 1 \right) = 0 \iff x = 0$, car on admet que l'équation $x^2\e^x - 1 = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $]- 1~;~0[$.

Conclusion $\ell = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 7 points\hfill }

\medskip

%\textbf{Principaux domaines abordés :} géométrie dans l'espace.
%
%\medskip
%
%Une maison est constituée d'un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d'un prisme EFIHGJ dont une base est le triangle EIF isocèle en I.
%
%Cette maison est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(12.2,6)
\pspolygon(0.4,3.4)(0.4,1.5)(1.9,0.4)(1.9,2.3)%HDAE
\psline(1.9,0.4)(7.9,0.8)(7.9,2.7)(1.9,2.3)%ABFE
\psline[linestyle=dashed](0.4,1.5)(6.4,1.9)(6.4,3.8)(0.4,3.4)%DCGH
\psline[linestyle=dashed](7.9,0.8)(6.4,1.9)%BC
\pspolygon(7.9,2.7)(6.4,3.8)(3.4,5.5)(4.9,4.4)%FGJI
\psline[linestyle=dashed](4.9,4.4)(4.9,2.5)%IL
\psline(4.9,4.4)(1.9,2.3)%IE
\psline(3.4,5.5)(0.4,3.4)%JH
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.9,0.4)(3.9,0.533)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.9,0.4)(1.15,0.95)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.9,0.4)(1.9,2.3)
\psline(11.6,0.3)(7.9,1.2)
\psline[linestyle=dashed](7.9,1.2)(7.15,1.35)
\uput[d](1.9,0.4){A} \uput[dr](7.9,0.8){B} \uput[r](6.4,1.9){C} \uput[l](0.4,1.5){D}
\uput[u](1.9,2.3){E} \uput[r](7.9,2.7){F} \uput[ur](6.4,3.8){G} \uput[ul](0.4,3.4){H}
\uput[l](4.9,4.4){I} \uput[u](3.4,5.5){J} \uput[r](11.6,0.3){R} \uput[dl](1.7,0.6){$\vect{\jmath}$}
\uput[dr](2.9,0.45){$\vect{\imath}$} \uput[r](1.9,1.35){$\vect{k}$}
\uput[d](4.9,2.5){L}
\psline(5.1,2.53)(5.1,2.75)(4.9,2.73)
\psdots(11.6,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

%On a AB $= 3$,\quad AD $= 2$,\quad AE $= 1$.
%
%On définit les vecteurs $\vect{\imath}= \dfrac13\vect{\text{AB}},\:\vect{\jmath}= \dfrac12\vect{\text{AD}}, \:\vect{k} = \vect{\text{AE}}$.
%
%On munit ainsi l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées du point G.
On a $\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}} = 3\vect{\imath} + 2\vect{\jmath} + \vect{k}$. Donc G(3~;~2~;~1).
\item %Le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~0~;~-3)$ est vecteur normal au plan (EHI).

%Déterminer une équation cartésienne du plan (EHI).
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (\text{EHI}) \iff 2x + 0y - 3z = d$, avec $d \in \R$.

Ainsi, par exemple  E$(0~;~0~;~1) \in (\text{EHI}) \iff 2\times 0 + 0\times 0 - 3\times 1 = d \iff d = -3$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{EHI}) \iff 2x  - 3z = -3$
\item %Déterminer les coordonnées du point I.
Puisque (EIF) est isocèle en I le projeté orthogonal de I sur [EF] est le milieu de [EF] ; ces deux points ont donc la même abscisse qui est aussi celle du milieu de [AB] soit $\dfrac32$.

L'ordonnée de I est aussi celle de E soit $0$, enfin 

I$\left(\dfrac32~;~0~;~z\right) \in (\text{EHI}) \iff 2 \times \dfrac32  - 3z = - 3\iff 3z = 3 + 3 \iff z = 2$. Donc I$\left(\dfrac32~;~0~;~2\right)$.
\item %Déterminer une mesure au degré près de l'angle $\widehat{\text{EIF}}$.
$\bullet~~$ Avec le produit scalaire : avec E(0~;~0~;~1) et F(3~;~0~;~1), on a $\vect{\text{IE}}\begin{pmatrix}-\dfrac32\\0\\- 1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{IF}}\begin{pmatrix}\dfrac32\\0\\- 1\end{pmatrix}$, donc :

IE$^2 = \dfrac94 + 0 + 1 = \dfrac{13}{4}$, d'où IE $ = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$ ;

IF$^2 = \dfrac94 + 0 + 1 = \dfrac{13}{4}$, d'où IF $ = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$ ;

Donc $\vect{\text{IE}} \cdot \vect{\text{IF}} = \text{IE} \times \text{IF} \times \cos \left(\vect{\text{IF}}~;~ \right)$, soit :

$- \dfrac94 + 0 + 1 = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \times \dfrac{\sqrt{13}}{2} \times \cos \left(\vect{\text{IE}}~;~ \vect{\text{IF}}\right) \iff \dfrac{-5}{4} = \dfrac{13}{4}\times \cos \left(\vect{\text{IE}}~;~ \vect{\text{IF}}\right) $.

Finalement $\cos \left(\vect{\text{IE}}~;~ \vect{\text{IF}}\right) = \dfrac{\dfrac{-5}{4}}{\dfrac{13}{4}} = - \dfrac{5}{13}$. La calculatrice donne $\left(\vect{\text{IE}}~;~ \vect{\text{IF}}\right) \approx 112,6\degres$.

$\bullet~~$ Avec le triangle (IEL) rectangle en L (L projeté orthogonal de I sur (EF) :

On a L$\left(\dfrac32~;~0~;~1\right)$, donc IL$^2 = 0 + 0 + 1^2 = 1$, d'où IL $= 1$ ;

On a vu que EI$ = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$, d'où $\cos \left(\widehat{\text{EIL}} \right) = \dfrac{\text{IL}}{\text{IE}} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{13}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$ : la calculatrice donne 

$\left(\widehat{\text{EIL}} \right) \approx 56,30\degres$ ; donc 
$\widehat{\text{EIF}} = 2\widehat{\text{EIL}}\approx 2 \times 56,30$, soit finalement $\widehat{\text{EIF}} \approx 112,6\degres$.
\item %Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.

%Le relais est représenté par le point R de coordonnées $(6~;~-3~;~-1)$.

%La tranchée est assimilée à un segment d'une droite $\Delta$ passant par R et dirigée par le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(-3~;~4~;~1)$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l'arête [BC].
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \vect{\text{R}M} = t \vect{u} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 6&=&- 3t\\
y + 3&=&4t\\
z + 1&=&1t
\end{array}\right.,\:\:  (t \in \R)\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\phantom{-}6 - 3t\\
y &=&- 3 + 4t\\
z &=&- 1 + \phantom{3}t
\end{array}\right.,\quad  (t \in \R)$.
		\item %On admet qu'une équation du plan (BFG) est $x = 3$.
		
%Soit K le point d'intersection de la droite $\Delta$ avec le plan (BFG).

%Déterminer les coordonnées du point K.
K$(x~;~y~;~z)$ est commun à $\Delta$ et au plan (BFG) si ses coordonnées vérifient les équations paramétriques de $\Delta$ et l'équation cartésienne du plan (BFG) soit si le triplet de réels $(x~;~y~;~z)$ vérifie le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&6 - 3t\\
y &=&- 3 + 4t\\
z &=&- 1 + t\\
x &=& 3
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
3 &=&6 - 3t\\
y &=&- 3 + 4t\\
z &=&- 1 + t\\
x &=& 3
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
3t &=&3\\
y &=&- 3 + 4t\\
z &=&- 1 + t\\
x &=& 3
\end{array}\right.\iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
t &=&1\\
y &=&- 3 + 4\\
z &=&- 1 + 1\\
x &=& 3
\end{array}\right.\iff  \left\{\begin{array}{l c l}
t &=&1\\
y &=&1\\
z &=&0\\
x &=&3
\end{array}\right.$

Conclusion : K$(3~;~1~;~0)$.
		\item %Le point K appartient-il bien à l'arête [BC] ?
		Avec B(3~;~0~;~0) et C(3~;~2~;~0) on remarque que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et de C, donc que K est le milieu du segment [BC].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 7 points\hfill }

\medskip

\textbf{Principaux domaines abordés :} 
probabilités.

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
%
%On considère un système de communication binaire transmettant des $0$
%et des $1$.
%
%Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
%
%En raison d'interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission:
%
%un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
%
%Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

On peut compléter l'arbre pondéré :

\begin{minipage}{0.48\linewidth}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E_0$ : \og le bit envoyé est un $0$ \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $E_1$ : \og le bit envoyé est un 1 \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $R_0$ : \og le bit reçu est un $0$\fg{} 
\item[$\bullet~~$] $R_1$ : \og le bit reçu est un $1$ \fg.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E_0$~}\taput{0,4}}
{\TR{$R_0$}\taput{\blue 0,99}
\TR{$R_1$}\tbput{0,01}
}
\pstree{\TR{$E_1$~}\tbput{\blue 0,6}}
{\TR{$R_0$}\taput{0,02}
\TR{$R_1$}\tbput{\blue 0,98}
}}
\end{center}
\end{minipage}

On sait que:

$p\left(E_0\right) = 0,4 ;\quad  p_{R_0}\left(R_1\right) = 0,01 ;\quad p_{R_1}\left(R_0\right) = 0,02$.

On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

On peut ainsi représenter la situation par l'arbre de probabilités ci-dessus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
$p\left(E_0 \cap R_0\right) = p\left(E_0 \right) \times p_{E_0}\left(R_0 \right) = 0,4 \times 0,99 = 0,396$.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}0,99 &\textbf{b.~~}0,396 &\textbf{c.~~}0,01 &\textbf{d.~~} 0,4
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item %La probabilité  $p\left(R_0\right)$ est égale à :
On a aussi $p\left(E_1 \cap R_0\right) = p\left(E_1 \right) \times p_{E_1}\left(R_0 \right) = 0,6 \times 0,02 = 0,012$.

 D'après la loi des probabilités totales : $p\left(R_0\right) = p\left(E_0 \cap R_0\right) + p\left(E_1 \cap R_0\right) = 0,396 + 0,012 = 0,408$.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}0,99 &\textbf{b.~~}0,02 &\textbf{c.~~}0,408 &\textbf{d.~~}0,931
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item %Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}\left(R_0\right)$ est égale 

Avec $p\left(R_1 \right) = 1 - p\left(R_0\right) = 1 - 0,408 = 0,592$ ;

$p_{R_1}\left(E_0\right) = \dfrac{p\left(R_1 \cap E_0 \right)}{p\left(R_1\right)} = \dfrac{p\left(E_0 \cap R_1 \right)}{p\left(R_1\right)} = \dfrac{0,4 \times 0,01}{0,592} = \dfrac{0,004}{0,592} \approx \np{0,0067}$, soit environ 0,007 au millième près.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}0,004 &\textbf{b.~~}0,001 &\textbf{c.~~}0,007 &\textbf{d.~~}0,010
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item %La probabilité de l'évènement \og il y a une erreur de transmission \fg{} est égale à :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}0,03 &\textbf{b.~~}0,016 &\textbf{c.~~}0,16 &\textbf{d.~~}0,015
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $p(\text{erreur de transmission}) = p\left(E_0 \cap R_1\right) + p\left(E_1 \cap R_0\right) = 0,4 \times 0,01 + 0,6 \times 0,02 = 0,004 + 0,012 = 0,016$.
\end{enumerate}

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.

On admet que la probabilité qu'un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.

\begin{enumerate}[resume]
\item %On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

%La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}0,915 &\textbf{b.~~}0,109 &\textbf{c.~~}0,976 &\textbf{d.~~}0,085
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,88$. Si $x$ est la variable aléatoire égal au nombre d'octets transmis sans erreur, on a :

$p(X = 7) = \binom{10}{7}\times 0,88^7 \times (1 - 0,88)^{10-7} = \binom{10}{7}\times 0,88^7 \times (0,12)^{3} \approx \np{0,0847}$ soit 0,085 au millième près.
\item %On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

%La probabilité qu'au moins 1 octet soit transmis sans erreur est égale à :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $1 - 0,12^{10}$ &\textbf{b.~~}$0,12^{10}$ &\textbf{c.~~}$0,88^{10}$ &\textbf{d.~~} $1- 0,88^{10}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - \binom{10}{0}0,88^{0} \times 0,12^{10} = 1 - 0,12^{10}$.
\item %Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante. 

%Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.

%On peut affirmer que:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$N_0 = 17$ &\textbf{b.~~}$N_0 = 18$ &\textbf{c.~~}$N_0 = 19$ &\textbf{d.~~}$N_0 = 20$
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $p(X = 18) = 0,88^{18} \approx 0,109 > 0,1$. Donc $N_0 = 18$.
\end{enumerate}
\end{document}