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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\tikzset{math3d/.style={x={(1cm,0cm)},y={(0cm,1cm)},z={(-.5cm,-.5cm)}}}
%Corrigé et tapuscrit Michel Fréchet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat S La Réunion~\decofourright\\[4pt]29 juin 2010}}
\end{center}
%\usepackage{fancybox}
% Tapuscrit Michel Fréchet
%% et Isabelle Faure pour l'exercice de spécialité
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{29 juin 2010}}

\section*{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 + \ln (1 + x).\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthononnal \Oij. 

On note $D$ la droite d'équation $y = x$.
 
\subsection*{Partie A}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sens de variation de la fonction $f$:
\[
 f'(x)=\frac{1}{1+x}>0\ \text{sur}\ ]-1~;~+ \infty[
\]
 La fonction $f$ est donc croissante sur \Oij.
		\item Limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition:
\[
 \lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to -1^+}1+x=0^+\text{et}\ \lim_{x\to -1^+}\ln(1+x)=-\infty
\]
\[
 \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}1+x=+\infty\ \text{et}\ \lim_{x\to+\infty}\ln(1+x)=+\infty
\]
Tableau de variations de $f$:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit%
{$x$ /.5, $f'(x)$ /.5, $f(x)$ /1}%
{$-1$,$+\infty$}%
\tkzTabLine{,+,}%
\tkzTabVar{-/ $-\infty$,+/ $+\infty$}
\end{tikzpicture}                 \end{center}
	\end{enumerate} 
\item On désigne par g la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par \mbox{$g(x) = f(x) - x$.} 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to -1} g(x)=-\infty$:
\[
 \lim_{x\to -1}g(x)=\lim_{x\to -1}1-x+\ln(1+x)=-\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to -1^+}1+x=0^+,\  \lim_{x\to -1^+}\ln(1+x)=-\infty\ \text{et}\ \lim_{x\to-1}1-x=2
\]
 
\item
\[
\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}=0\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}1+x=+\infty\ \text{et}\ \lim_{X \to + \infty} \frac{\ln X}{X}=0
\]

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to+\infty}= \displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x)\left(\frac{1-x}{1+x}+\frac{\ln(1+x)}{1+x}\right)=-\infty\ \text{car}\ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(1 + x)}{1 + x} = 0$
 
$\text{et} \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1-x}{1+x}= - 1$.

\item Sens de variation de la fonction $g$
\[
 g'(x)=f'(x)-1=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}\ \text{du signe de $-x$ sur}\ ]-1~;~+ \infty[
\]
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-1;0[$ et strictement décroissante sur $]0;~+ \infty[$.

Elle possède une tange,nte horizonate au point d'abscisse $0$.

Tableau de variations de la fonction $g$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit%
{$x$ /.5, $f'(x)$ /1, $f(x)$ /1.5}%
{$-1$,$0$,$+\infty$}%
\tkzTabLine{,+,z,-,}%
\tkzTabVar{-/ $-\infty$,+/ $1$,-/ $-\infty$}
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{.6}{$\alpha$}{$0$}
\tkzTabVal[draw]{2}{3}{.4}{$\beta$}{$0$}
\end{tikzpicture}                 \end{center}
 
\item Sur l'intervalle $]-1~;~0[$, la fonction $g$ est continue, comme somme et composée de fonctions continues, et strictement croissante. Elle réalise donc une bijection de $]-1~;~0[$ sur $]-\infty~;~1[$. Or $0$ appartient à l'ensemble d'arrivée $]-\infty~;~1[$. Donc, $0$ possède un unique antécédent, noté $\alpha$ dans $]-1~;~0[$.

Sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, la fonction $g$ est continue, comme somme et composée de fonctions continues, et strictement décroissante. Elle réalise donc une bijection de $]0~;~+\infty[$ sur $]-\infty~;~1[$. Or $0$ appartient à l'ensemble d'arrivée $]-\infty~;~1[$. Donc, $0$ possède un unique antécédent, noté $\beta$ dans $]0~;~+\infty[$.

De plus:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
 g(2)\simeq \np{0,098\,6} > 0\\
g(3)\simeq -0,614<0
\end{array}\right.\Longrightarrow 2 \leqslant \beta \leqslant 3
\]


\item Signe de $g(x)$:
\begin{itemize}
 \item $-1 < x \leqslant \alpha \Longrightarrow g(x) \leqslant g(\alpha)=0$.\hfill (La fonction $g$ est croissante sur $[-1;\alpha[$).
\item $\alpha \leqslant x \leqslant 0 \Longrightarrow g(\alpha)=0 \leqslant g(x)$.\hfill (La fonction $g$ est croissante sur $[\alpha;0]$).
\item $0 \leqslant x \leqslant \beta \Longrightarrow g(x) \geqslant 0=g(\beta)$.\hfill (La fonction $g$ est décroissante sur $[0;\beta[$).
\item $x\geqslant \beta \Longrightarrow g(x) \leqslant 0=g(\beta)$.\hfill (La fonction $g$ est décroissante sur $[\beta;+\infty[$).
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\shorthandoff{:};
\tkzTabInit[lgt=5]{$x$ / .7, Signe\ de $g(x)$ /.7, Position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $D$/ .7}%
{$-1$, $\alpha$, $\beta$ , $+\infty$}%
\tkzTabLine{, - , z , + , z , - , }%
\tkzTabLine{ , \mathcal{C}_{f} \prec (D) ,  A, \mathcal{C}_{f} \succ (D) , B, \mathcal{C}_{f} \prec (D) , }
\end{tikzpicture}
\end{center}



Position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$:
\begin{itemize}
 \item $\mathcal{C}_{f}$ est située au dessus de la droite $D$ pour $x\in ]\alpha\,;\,\beta[$.
\item $\mathcal{C}_{f}$ est située en dessous de la droite $D$ pour $x\in ]-1\,;\,\alpha[\cup]\beta\,;\,+\infty[$.
\end{itemize}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=2.0cm,y=2.0cm]
\shorthandoff{:};
\draw[->] (-1.2,0) -- (5.2,0);
\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->] (0,-2.2) -- (0,3.5);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-1.2,-2.2) rectangle (5.2,3.5);
\draw[smooth,samples=100,domain=-0.99:5.2] plot(\x,{1+ln(1+\x)});
\draw[smooth,samples=100,domain=-1.2:5.2] plot(\x,{\x});
\draw [dashed] (2.15,2.15)-- (2.15,0);
\draw [dashed] (-0.84,-0.84)-- (-0.84,0);
\fill  (2.15,2.15) circle (1.5pt);
\draw (2.15,2.15) node[above] {$B$};
\fill  (-0.84,-0.84) circle (1.5pt);
\draw (-0.84,-0.84) node[below right] {$A$};
\fill  (2.15,0) circle (1.5pt);
\draw (2.15,0) node[below] {$\beta$};
\fill  (-0.84,0) circle (1.5pt);
\draw (-0.84,0) node[above] {$\alpha$};
\end{tikzpicture}\end{center}
\subsection*{Partie B}

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&2\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.$
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n,~ 2 \leqslant  u_{n} \leqslant  \beta$. Démonstration par récurrence:
\begin{itemize}
\item On a $2\leqslant u_0=2 \leqslant \beta$
\item Supposons que, pour un $n$ donné, on ait: $2 \leqslant u_n \leqslant \beta$, alors, la fonction $f$ étant croissante sur $[2\,;\,\beta]$:
\[
2 \leqslant u_n \leqslant \beta \Longrightarrow \boxed{2} \leqslant 2,09861228867 \simeq f(2) \leqslant f(u_n)=\boxed{u_{n+1}} \leqslant f(\beta)=\boxed{\beta}
\]

\item Ainsi, $\forall n,\ n\in\mathbbm{N},\ 2 \leqslant u_n \leqslant \beta$.
\end{itemize}

\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante (\textit{en utilisant le signe de $g(x)$ étudié plus haut}):
\[
 u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=g(u_n)\geqslant 0\ \text{sur}\ [2\,;\,\beta]
\]
 Donc, $(u_n)$ étant une suite croissante et majorée par $\beta$, elle est convergente.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\subsection*{Partie I}

On dispose d'un dé cubique $A$ parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.

On note $V_1$, $N_1$ et $R_1$ (respectivement $V_2$, $N_2$ et $R_2$) la couleur obtenue au premier (respectivement second) jet.
 
\begin{enumerate}
\item Probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires:
\[
 \text{Les deux jets étant indépendants, nous pouvons écrire:}\ p(N_1\cap N_2)=p(N_1)\times p(N_2)=\frac{2}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{9}
\]
 
\item Soit l'év\`enement C : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg.
\[
 p(C)= p(V_1\cap V_2)+ p(N_1\cap N_2)+ p(R_1\cap R_2)=p(V_1)\times p(V_2)+p(N_1)\times p(N_2)+p(R_1)\times p(R_2)=\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2+\left(\frac{3}{6}\right)^2=\frac{7}{18}
\]
 
\item Probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes:
\[
 p(\overline{C})=1-p(C)=1-\frac{7}{18}=\frac{11}{18}
\]
 
\item À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes:
\[
V\subset C \Longrightarrow C\cap V=V  \Longrightarrow p_C(V)=\frac{p(C\cap V)}{p(C)}=\frac{p(V)}{p(C)}=\cfrac{\left(\cfrac{1}{6}\right)^2}{\cfrac{7}{18}}=\frac{1}{36}\times\frac{36}{14}=\frac{1}{14}
\]

\end{enumerate}

\subsection*{Partie II}

On dispose d'un second dé cubique $B$ équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé $B$ ;

\begin{itemize}
\item si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé $B$ et on note la couleur de la face obtenue; 
\item si la face obtenue est noire, on lance le dé $A$ et on note la couleur de la face obtenue.
\end{itemize}

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Arbre de probabilités traduisant cette situation.:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \tikzstyle{level 1}=[level distance=2cm, sibling distance=2cm]
    \tikzstyle{level 2}=[level distance=2cm, sibling distance=0.85cm]
    \node{}[grow=right]
    child{node{$V$}
      child{node{$V$}                     edge from parent node[below]{\textcolor{red}{\scriptsize{$2/3$}}}}
      child{node{$N$}           	edge from parent node[above]{\scriptsize{$1/3$}}}
     edge from parent node[below]{$\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}$}}
    child{node{$N$}
      child{node{$V$}           edge from parent node[above]{\scriptsize{$1/6$}}}
      child{node{$N$} edge from parent node[above]{\scriptsize{$2/6$}}}
      child{node{$R$}           edge from parent node[above]{\scriptsize{$3/6$}}}
      edge from parent node[above]{$\frac{1}{3}$}};
\end{tikzpicture}                 \end{center} 
		\item Probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer:
\[
 \textcolor{red}{p_{V_1}(V_2)=\frac{2}{3}}
\]

	\end{enumerate} 
\item Probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$:
\[
 p(V_1\cap V_2)=\textcolor{red}{p_{V_1}(V_2)}\times \textcolor{blue}{p(V_1)}=\textcolor{red}{\frac{2}{3}}\times \textcolor{blue}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}
\]

\item Probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer :
\[
p(V_2)=p(N_1\cap V_2)+p(V_1\cap V_2)=p_{N_1}(V_2)\times p(V_1)+p_{V_1}(V_2)\times p(V_1)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}
\]
\end{enumerate}
 
\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\subsection*{Partie A}

On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions $f$, définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifiant la condition (E) : $\text{pour tout nombre réel $x$ strictement positif,}~ xf'(x) - f(x) = x^2\text{e}^{2x}$.
 
\begin{enumerate}
\item Une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifie la condition (E), alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ vérifie, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$: 

\[
g'(x)=\left(\frac{f(x)}{x}\right)'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\frac{x^2\text{e}^{2x}}{x^2}=\text{e}^{2x}
\]

\item Ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ qui vérifient la condition (E):
\[
f\ \text{vérifie}\ E \Longrightarrow g'(x)= \text{e}^{2x}\Longrightarrow g(x)=\frac{1}{2}\text{e}^{2x}+k=\frac{f(x)}{x}\Longrightarrow f(x)=\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}+kx\ \text{avec}\ k\in\mathbbm{R}
\]
Réciproquement: 
\[
f(x)=\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}+kx\Longrightarrow f'(x) = \frac{1}{2}\text{e}^{2x}+x\text{e}^{2x}+k\Longrightarrow xf'(x) - f(x)=\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}+x^2\text{e}^{2x}+kx-\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}-kx=x^2\text{e}^{2x}
\]


\item Fonction $h$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  vérifiant la condition (E) et s'annulant en $\dfrac{1}{2}$:
\[
h\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\text{e}^{1}+k\frac{1}{2}=0\Longleftrightarrow k=-\frac{\text{e}}{2}\Longrightarrow h(x) = \frac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \frac{\text{e}}{2}x
\]
 
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{\text{e}}{2}x=\frac{\text{e}}{2}x\left(\text{e}^{2x-1}-1\right)\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath})$. 
\begin{enumerate}
\item Signe de $h(x)$: $x$ étant positif, $h(x)$ est du signe de $\text{e}^{2x-1}-1$ et, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbbm{R}$:
\[
 \text{e}^{2x-1}-1\geqslant 0 \Longleftrightarrow \text{e}^{2x-1} \geqslant \text{e}^0 \Longleftrightarrow 2x-1 \geqslant 0 \Longleftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2}
\]
Ainsi:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\shorthandoff{:};
\tkzTabInit[lgt=5]{$x$ / .7, Signe\ de $h(x)$ /.7}%
{$0$, $\frac{1}{2}$,$+\infty$}%
\tkzTabLine{z, - , z , + , }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties :

on pose: $\begin{array}{l}
           u=x\\
	    v'(x)=\text{e}^{2x}
          \end{array}$, ainsi: 
$\begin{array}{l}
           u'=1\\
	    v(x)=\frac{1}{2}\text{e}^{2x}
          \end{array}$ et:
\[
 \int_{0}^{\frac{1}{2}}  x\text{e}^{2x}\text{d}x = \left\lbrack \frac{1}{2}x\text{e}^{2}\right\rbrack_0^{\frac{1}{2}}-\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}\text{e}^{2x}\text{d}x
  = \frac{1}{4}\text{e}-\left\lbrack\frac{1}{4}\text{e}^{2x}\right\rbrack_0^{\frac{1}{2}}
  = \frac{1}{4}\text{e}-\frac{1}{4}\text{e}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}
\]

Ainsi:
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}  h(x)\:\text{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}  x\text{e}^{2x}\text{d}x - 
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\text{e}}{2}x\text{d}x=\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}-\left\lbrack\frac{\text{e}}{2}\frac{x^2}{2}\right\rbrack_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}-\frac{\text{e}}{16}=\frac{2-\text{e}}{16}\simeq -0,04489
\] 
		\item La fonction $h$ étant négative sur l'intervalle $\left\rbrack 0\,;\,\frac{1}{2}\right\rbrack$, l'intégrale calculée plus haut est négative.

Ainsi, en unité d'aire, la valeur exacte $\mathcal{A}$ de l'aire de la partie du plan située en dessous de l'axe des abscisses et au dessus de la courbe $\mathcal{C}$ est:
\[
 \mathcal{A}=\left|\frac{2-\text{e}}{16}\right|=\frac{\text{e}-2}{16}
\]

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=10.0cm,y=10.0cm]
\shorthandoff{:};
\draw[color=red,fill=red,fill opacity=0.1, smooth,samples=50,domain=0.0:0.5] plot(\x,{0.5*\x*exp(2*\x)-exp(1)/2*\x}) -- (0.5,0) -- (0,0) -- cycle;
\draw (-0.1,0) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (1,0);\draw (1,0) -- (1.1,0);
\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw (0,-0.2) -- (0,0.7);
\foreach \y in {-0.2,-0.1,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\clip(-0.1,-0.2) rectangle (1.1,0.7);

\draw[smooth,samples=100,domain=0:1.1] plot(\x,{0.5*\x*exp(2*\x)-exp(1)/2*\x});
\fill  (0.5,0) circle (1.5pt);
\draw (0.5,0) node[above left] {$A$};
\fill  (0,0) circle (1.5pt);
\draw (0,0) node[below left] {$O$};
\draw (0.26,-0.07) node[fill=white] {$\mathcal{A}$};
\draw (0.72,0.5) node[right] {$\mathcal{C}$};
\end{tikzpicture}\end{center}
\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\noindent \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\subsection*{Partie I : Restitution organisée de connaissances}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$.
 
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. 

On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.

On rappelle que $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.

\begin{align*}
 \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right) &= \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}\right) = -\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}\right)\\
  &= -\text{arg}(b - a)+\text{arg}(c - a) = \text{arg}\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\qquad [2\pi]
\end{align*}

\subsection*{Partie II}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$. 

On considère le point A d'affixe $1 + \text{i}$.
 
On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe
 
\[z' = \frac{z -1- \text{i}}{z}\]
 
Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Affixe du point $B'$, sous forme algébrique, image du point $B$ d'affixe  $\text{i}$:
\[
 z_{B'}=\frac{\text{i} -1- \text{i}}{\text{i}}=\frac{-1}{\text{i}}=\frac{-\text{i}}{\text{i}^2}=\text{i}
\]

		\item Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \not= 1$. En effet:
\[
 z'=1 \Longleftrightarrow \frac{z -1- \text{i}}{z}=1 \Longleftrightarrow z -1- \text{i}=z \Longleftrightarrow -1-\text{i}=0\quad\text{impossible}
\]
\end{enumerate} 
\item \textcolor{blue}{Ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z=x+\text{i}y$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $\left|z'\right| = 1$ est la droite d'équation $y=-x+1$:}
\begin{align*}
 \left|z'\right| = 1 &\Longleftrightarrow \left|\frac{z -1- \text{i}}{z}\right| = 1 \Longleftrightarrow \left|z -1- \text{i}\right|^2=\left|z\right|^2\Longleftrightarrow \left|x+\text{i}y-1-\text{i}\right|^2=\left|x+\text{i}y\right|^2\\
 &\Longleftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=x^2+y^2 \Longleftrightarrow x+y-1=0 \Longleftrightarrow y=-x+1
\end{align*}

\item \textcolor{red}{Ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel est la droite $(OB)$ privée de $O$:}
\[
 z'\in\mathbbm{R} \Longleftrightarrow \text{Arg}(z')=\text{Arg}\left(\frac{z -1- \text{i}}{z}\right)=k\pi\ (k\in\mathbbm{Z})\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AM}\right)=k\pi\ (k\in\mathbbm{Z})\Longleftrightarrow O,\, A\ \text{et}\,  M\ \text{alignés}
\]

L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$  non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel est donc la droite (AO), privée du point O.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=2.0cm,y=2.0cm]
\shorthandoff{:};
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\foreach \x in {-2,-1,1,2}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\foreach \y in {-2,-1,1,2}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\clip(-2,-2) rectangle (2,2);
\draw [domain=-2:2,color=red] plot(\x,{\x});
\draw[smooth,samples=100,domain=-2.0:2.0,color=blue] plot(\x,{0-(\x)+1});
\fill[color=red]  (0,1) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (0,1) node[above left] {$B$};
\draw[color=red] (1,1) node[above left] {$A$};
\fill[color=white]  (0,0) circle (1.8pt);\draw[color=red]  (0,0) circle (1.8pt);
\draw (0,0) node[above left] {$O$};
%\draw (-3.82193,-3.54726) node {$a$};
%\draw (-3.83342,4.81954) node {$f$};
\fill[color=blue]  (0,1) circle (1.5pt);
\fill[color=red]  (1,1) circle (1.5pt);
\draw[color=blue] (0,1) node[above right] {$B'$};
\end{tikzpicture}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité }

\medskip

\textbf{Partie 1 : Restitution organisée de connaissances}

Bien respecter les notations du sujet.

$s$ est une similitude directe du plan si, et seulement si, son écriture complexe est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe.

Notons $a, b, c $ et $d$ les affixes respectives des points $ A, B, C $et $D$.

$ \left\lbrace \begin{array}{l}
s(A) = B \\
s(C) = D
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}
b = \alpha a + \beta \\
d = \alpha c + \beta
\end{array} \right.  $

$s$ est une similitude directe du plan si, et seulement si, ce dernier système admet une unique solution pour $ (\alpha , \beta ) $. Or,

$ \left\lbrace \begin{array}{l}
b = \alpha a + \beta \\
d = \alpha c + \beta
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}
b = \alpha a + d - \alpha c \\
d - \alpha c = \beta
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}
b - d = \alpha (a  -c ) \\
d - \alpha c = \beta
\end{array} \right.   \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll}
 \alpha = \dfrac{b-d}{a -c} & \text{car}\:\: A \neq C \\
\beta = d - \dfrac{b-d}{a -c} \times c &
\end{array} \right.  $

Le système ayant une unique solution, il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $B$ et $C$ en $D$.

\textbf{Partie II :}

\medskip
 
%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right)$ ;
%
%$\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.
% 
%On considère le point C tel que ABCD est un carré.
% 
%Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que 
%
%$\left(\vect{\text{ED}},~ \vect{\text{EF}}\right)= \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.63,-0.15)(1.16,1.18)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.63,-0.15)(1.16,1.18)
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.63,-0.15)(1.16,1.18)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(0,0.5)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0.5)(-0.5,0.5)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.5,0.5)(-0.5,1)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.5,1)(0,1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.02,0.03){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](1,0)
\rput[bl](1.02,0.03){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](1.02,1.03){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0,1)
\rput[bl](0.02,1.03){\xdxdff{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-0.5,0.5)
\rput[bl](-0.47,0.54){\blue{$F$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-0.5,1)
\rput[bl](-0.47,1.03){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0,0.5)
\rput[bl](0.02,0.54){\xdxdff{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-0.2,0.4)
\rput[bl](-0.3,0.39){\blue{$\Omega$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
		\item  $a = 0,\: b = 1,\: c = 1 + \text{i},\: d = \text{i},\: e = \dfrac{1}{2}\text{i},\: f = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i},\:  g = -\dfrac{1}{2} + \text{i}$. 
		\item Comme $ D \neq B $ et $ F \neq D $, d'après la première partie, il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que $s(D) = F$ et $s(B) = D$.
	\end{enumerate} 
\item Par définition $ \begin{array}[t]{ll}
s : & D \longmapsto F \\
 & B \longmapsto D
\end{array} $
	\begin{enumerate}
		\item Le rapport de $s$ est donc $k = \dfrac{FD}{DB}$ et l'angle $\theta = \left(\vect{DB},~\vect{FD}\right)$.
		
		$ k = \left| \dfrac{d-f}{d-b}\right| = \dfrac{\left| \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i} \right|}{| -1 + \text{i} |} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \times  \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{ \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{1}{2}$ .
		
$\theta = (\vect{DB}, \vect{FD}) = \pi + (\vect{DB}, \vect{DF}) = \pi - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \qquad [2 \pi] $ 	

\begin{center}
$s$ a pour rapport $ \dfrac{1}{2} $	 et pour angle $ \dfrac{\pi}{2} $.
\end{center}
		\item Avec les notations précédentes, on sait que $ \alpha = k \text{e}^{\text{i} \theta} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{2}i $.
		
		On détermine $\beta$ en écrivant que $ s(B) = D $ .
		
	$ s(B) = D  \Longleftrightarrow d = \dfrac{1}{2} \text{i}b + \beta \Longleftrightarrow \text{i} = \dfrac{1}{2}\text{i} + \beta \Longleftrightarrow \beta = \dfrac{1}{2}\text{i}$.
	
	Finalement, l'écriture complexe de $s$ est 
	
\[z' = \dfrac{1}{2}\text{i}z + \dfrac{1}{2}\text{i}.\]

		\item \textit{On peut remarquer que $s$ a bien un centre car $ \alpha \neq 1 $, donc cette similitude directe n'est pas une translation.}
		
Le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$ a pour affixe l'unique solution de l'équation $z = \dfrac{1}{2}\text{i}z + \dfrac{1}{2}i $.
		
On trouve sans difficulté que le centre a pour affixe $ -\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}\text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}


\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité }
\subsection*{Partie 1 : Restitution organisée de connaissances}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip
 
\textbf{Prérequis :}
 
On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe.
 
Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points A et C sont distincts et d'autre part que les points B et D sont distincts.
 
Démontrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s$(A) = B et $s$(C) = D.
\subsection*{Partie II}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}}\right)$ ;

$\left(\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.
 
On considère le point C tel que $ABCD$ est un carré.
 
Soit $E$ le milieu du segment $[AD]$, on considère le carré $EDGF$ tel que 

$\left(\overrightarrow{\text{ED}},~ \overrightarrow{\text{EF}}\right)= \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l'exercice. 
		\item Préciser les nombres complexes $a,~ b,~ c,~ d,~ e,~ f,~  g$, affixes respectives des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$. 
		\item Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que $s(D) = F$ et $s(B) = D$.
	\end{enumerate} 
\item On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe $s$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de la similitude directe $s$. 
		\item Donner l'écriture complexe de cette similitude. 
		\item Déterminer, le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}0

  
\end{document}