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%Corrigé : Hélène Brion
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{3 juin 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban 3 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants :
ROC: On suppose connus les résultats : $\text{e}^0 = 1$ et pour tous réels $x$ et $y,~\text{e}^{x} \times  \text{e}^{y} =  \text{e}^{x + y}$.
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $\text{e}^0 = 1$.
%\item[$\bullet~$] Pour tous réels $x$ et $y,~ \text{e}^{x} \times  \text{e}^{y} =  \text{e}^{x + y}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que pour tout réel $x,~\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$.
Pour tout réel $x$, $\text e^x\times \text e^{-x}=\text e^{x-x}=\text e^0=1$ donc $\text e^{-x}=\dfrac 1{\text e^{x}}$.
\item  %Démontrer que pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n,~ \left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$.
Pour tout réel $x$, on démontre par récurrence la propriété $P(n):\left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$.
\begin{itemize}
  \item $\left(\text{e}^{x}\right)^0 = 1=\text{e}^{0\times x}$. Donc $P(0)$ est vraie.
  \item Soit $n$, un entier, on démontre que la propriété se transmet de $n$ à $n+1$. On suppose que 
  
 $\left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$ alors $\left(\text{e}^{x}\right)^{n+1}= \left(\text{e}^{x}\right)^n \times \text{e}^{x}= \text{e}^{nx}\times \text{e}^{x} = \text{e}^{nx+x}=\text{e}^{(n+1)x}$.
  \item La propriété est vraie pour $n=0$ et se transmet, pour tout $n$, de $n$ à $n+1$, donc la propriété est vraie pour tout $n$ : pour tout entier naturel $n,~ \left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$.
$u_0+u_1=\displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x+ \displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$\\
Par linéarité de l'intégrale, $u_0+u_1=\displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x=\displaystyle{\int_{0}^1} 1\:\text{d}x=[x]_0^1=1$.
		\item  %Calculer $u_{1}$. En déduire $u_{0}$.
$u_1=\displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$. On pose $f(x)=\dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}$, on remarque que $f=-\dfrac {u'}u$ où $u(x)=1+ \text{e}^{-x} >0$. 

$f$ a pour primitive $F=-\ln(u)$.
$u_1=\left[-\ln(1+ \text{e}^{-x})\right]_0^1 = \ln(2)-\ln(1+\text{e}^{-1})$.

D'après la question 1.a., $u_0=1-u_1=1-\ln(2)+\ln(1+\text{e}^{-1}) = \ln(\text e+1)-\ln(2)$

	\end{enumerate}
	
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n, u_{n} \geqslant  0$.
Pour tout entier naturel $n$, et pour tout réel $x$, $\text e^{-nx} > 0$ et $1+\text e^{-x}>0$ donc $\dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} >0$. L'intégrale sur l'intervalle $[0~;~1]$ d'une fonction positive est positive donc $u_n$ est positive ou nulle.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$.
Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} + u_n=\displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{\text{e}^{-(n+1)x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x + \displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$\\
$u_{n+1}+u_n=\displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{\text{e}^{-(n + 1)x}+ \text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x= \displaystyle{\int_{0}^1} \dfrac{\text{e}^{-nx}(\text{e}^{-x}+ 1)}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$\\
$u_{n+1}+u_n=\displaystyle{\int_{0}^1}\text{e}^{-nx}\:\text{d}x = \left[-\dfrac 1n \text{e}^{-nx}\right]_0^1 = \dfrac {1-\text{e}^{-n}}n$
		\item  %En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \leqslant  \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$.
Pour tout entier naturel $n$, d'après la question 2.,  $u_n \geqslant 0$ donc $u_{n+1} \geqslant 0$ or, d'après la question 3., $u_n=\dfrac {1-\text{e}^{-n}}n - u_{n+1} $ donc $u_n \leqslant \dfrac {1-\text{e}^{-n}}n$.
	\end{enumerate}
	
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac {1-\text{e}^{-n}}n$. Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1-\text{e}^{-n}}n = 0$ (car $\text{e}^{-n}$ tend vers $0$ ainsi que $\dfrac 1n$). Selon le théorème des gendarmes, la suite $u_n$ converge aussi vers zéro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$.
\begin{enumerate}
\item  %Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=& 1 + 2t\\
%y&=& - 2 - 3t\\
%z&=&- 1 - t
%\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ t \in \R.\]
La droite (D) passe par A$(1~;~- 2~;~-1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\text{AB}}(2~;~- 3~;~-1)$. Elle a donc pour représentation paramétrique : $$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 1 + 2t\\
y&=& - 2 - 3t\\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ t \in \R.$$
\item  On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique :
$$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2 - k\\
y&=&1 + 2k\\
z&=&k
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ k \in \R.$$

%Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires.
La droite (D$'$) a pour vecteur directeur $\vec u(-1~;~ 2~;~1)$. Les vecteurs $\vec u$ et $\overrightarrow{\text{AB}}$ ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles), donc les droites (D) et (D$'$) ne sont pas parallèles.

Les droites (D) et (D$'$) ont un point en commun si et seulement si il existe deux réels $t$ et $k$ tels que $\left\{\begin{array}{l c r}
1+2t&=&2 - k\quad (l_1)\\
-2-3t&=&1 + 2k\quad (l_2)\\
-1-t&=&k\quad(l_3)
\end{array}\right.$. Or $(l_1)+(l_2)-(l_3) \iff 0 = 3$ (impossible). Les trois équations sont incompatibles et les droites n'ont pas de point commun. Les droites (D) et (D$'$) ne sont ni sécantes ni parallèles, elles  sont donc non coplanaires.
\item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le plan (P) contient la droite (D).
Pour tout réel $t$, on a $4(1+2t) + (-2-3t) + 5(-1-t) + 3 = 0$, donc tout point de (D) appartient au plan (P). La droite (D) est donc incluse dans le plan (P).
		\item %Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
$M(x~;~y~;~z)\in (\text P)\cap (\text D') \iff$ il existe un réel $k$ tel que

$\left\{\begin{array}{r c r}
x&=&2 - k\\
y&=&1 + 2k\\
z&=&k\\
4x + y + 5z + 3 &=& 0\quad (\text e)
\end{array}\right.$

$(e) \iff 4(2-k)+(1+2k)+5k+3=0 \iff k=-4$

$M(x~;~y~;~z)\in (\text P)\cap (\text D' \iff\left\{\begin{array}{r c r c r}
x&=&2 +4&=&6\\
y&=&1 -8&=&-7\\
z&=&-4	&=&-4
\end{array}\right.$ Le point C a pour coordonnées $(6~;~-7~;~-4)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur 

$\vect{w}(1~;~1~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires.
$\vect u~\cdot~\vect w=(-1)\times (1) + (2) \times (1) + (1) \times (-1) = 0$ donc les vecteurs $\vect u$ et $\vect w$ directeurs de $(\Delta)$ et (D$'$) sont orthogonaux. Les deux droites sont donc orthogonales. Elles possèdent le point C en commun, elles sont donc perpendiculaires.
		\item %Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.

De même, $\vect w\cdot \vect{\text{AB}}=0$ donc les droites $(\Delta)$ et (D) sont orthogonales. La droite $(\Delta)$ a  pour représentation paramétrique : $$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 6 + \lambda\\
y&=& - 7 +\lambda\\
z&=&-4-\lambda
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ \lambda \in \R.$$

Les droites (D) et $\Delta)$ ont un point en commun si et seulement si il existe deux réels $t$ et $\lambda$ tels que $(s)\left\{\begin{array}{l c r}
1+2t	&=&6 + \lambda\\
-2-3t	&=&- 7 +\lambda)\\
-1-t	&=&-4-\lambda
\end{array}\right.$

$s \iff \left\{\begin{array}{l c r}
2t-\lambda&=&5 \quad(l_1)\\
3t+ \lambda&=&5\quad(l_2)\\
t-\lambda&=&3\quad(l_3)
\end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l c r}
2t-\lambda&=&5 \quad(l_1)\\
5t&=&10\quad(l_2+l_1)\\
-t&=&-2\quad(l_3-l_1)
\end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l c r}
\lambda&=&-1 \\
t&=&2
\end{array}\right.$

Les deux droites se coupent perpendiculairement en un point E$(x~;~y~;~z)$ tel que 

$\left\{\begin{array}{r c r c r c r}
x&=&1 +4&=&6-1&=&5\\
y&=&-2-6&=&-7-1&=&-8\\
z&=&-1-2&=&-4+1&=&-3
\end{array}\right.$.
Le point E a pour coordonnées $(5~;~-8~;~-3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.}

\medskip

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne
et on recommence).

\medskip

\textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est

$3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg \quad \textbf{FAUX}

Il s'agit d'un schéma de Bernoulli : on renouvelle 10 fois de manière indépendante une expérience à deux issues consistant à tirer un boule dans une urne contenant 3 boules dont une blanche. La probabilité de tirer une blanche est de 1/3. On appelle X la variable aléatoire donnant  le nombre de boules blanches obtenues à l'issue des 10 expériences. X suit une loi binomiale de paramètres $(10;1/3)$. $p(X=3)=\displaystyle{10 \choose 3} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$ et $\displaystyle{10 \choose 3}\ne 3$.

\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda  (\lambda > 0$).

On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$.

\textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg \quad \textbf{VRAI}

Pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t=\left[\text e^{-\lambda t}\right]_0^a=1-\text e^{-\lambda a}$, \\$p(X > a)=1- p(X \leqslant a) = \text e^{-\lambda a} $.

L'équation $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est équivalente à :\\
 $1-\text e^{-\lambda a}=\text e^{-\lambda a} \iff \text e^{-\lambda a}=\dfrac 12 \iff -\lambda a=-\ln(2) \iff a=\dfrac{\ln(2)}{\lambda}$


\item  Soit le nombre complexe $z = 1- \text{i}\sqrt{3}$.

\textbf{Proposition 3 :} \og Si l'entier naturel $n$ est un multiple de 3 alors $z^n$ est un réel. \fg \textbf{VRAI}

On utilise la forme exponentielle : $z=1-\text i \sqrt 3 = r\text e^{\text i \theta}$ où $r=\sqrt{1+3}=2$ et $\theta$ est tel que $\cos(\theta)=\dfrac 12$ et $\sin(\theta)=-\dfrac{\sqrt 3}2$, $\theta = -\dfrac {\pi}{3}$. Donc $z=2\text e^{-i\frac{\pi}3}$ et pour tout entier naturel $n$, $z^n=2^n\text e^{-\text i\frac{n\pi}3}$. Si $n$ est multiple de 3, il s'écrit sous la forme $3k$ où $k$ est un entier naturel. On obtient alors $z^n=2^n\text e^{-\text i k\pi} = \pm 2^n \in \R$

\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $a = 2 - \text{i}$ et le point B d'affixe $b = \dfrac{1 + \text{i}}{2}a$.
    

\textbf{Proposition 4 :} \og Le triangle OAB est rectangle isocèle. \fg \quad \textbf{VRAI}
 
Soit $Z= \dfrac{a-b}{-b}$, on sait que $Arg(Z)=(\overrightarrow{\text{BO}},\overrightarrow{\text{BA}})$ et que $|Z|=\dfrac{\text{BA}}{\text{BO}}$.

$b = \dfrac{1 + \text{i}}{2}(2-\text i)=\dfrac 32 + \dfrac 12\text i$, donc $a-b=\dfrac 12- \dfrac32 \text i=\text i (-\dfrac 12\text i - \dfrac 32 \text i)=-\text ib$.

$Z = \dfrac{-\text i b}{-b}=\text i$ est de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Donc $(\overrightarrow{\text{BO}},\overrightarrow{\text{BA}}) = \dfrac{\pi}2$ et $\text{BA}=\text{BO}$. Le triangle ABO est donc isocèle rectangle de sommet B.

\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{- 10}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le  nombre conjugué de $z$.

\textbf{Proposition 5 :} \og Il existe un point $M$ tel que O, $M$ et $M'$ ne sont pas alignés. \fg \quad \textbf{FAUX}

Pour tout point M d'affixe $z$ non nulle, $z'=\dfrac{-10}{\overline z}=\dfrac{-10z}{z\overline z}$. Or $\dfrac{-10}{z\overline z}$ est réel, donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{OM}}$ et $\overrightarrow{\text{OM'}}$ sont colinéaires et les points O, M et M' sont alignés.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.}

\medskip

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

On note I le milieu du segment [AB].

\textbf{Proposition 1 :} \og La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe $z'= (1 + \text{i})z -1 - 2\text{i}$.\fg \quad \textbf{VRAI}

Puisque B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, le triangle OAB est rectangle isocèle direct de sommet O. Or I est le milieu de l'hypoténuse donc $\dfrac{\text {AO}}{\text {AI}}=\sqrt 2$ et $(\overrightarrow{\text{AI}},~\overrightarrow{\text{AO}}) = \dfrac{\pi}4$. La similitude de centre A qui transforme I en O a pour rapport $\sqrt 2$ et pour angle $\dfrac{\pi}4$. Son expression complexe est $z'=\sqrt{2}\text e^{\text i \pi/4}(z-z_A)+z_A=(1+\text i)(z-2+\text i)+2-\text i=(1+\text i)z-2-2\text i+\text i-1+2-\text i=(1+\text i)z-1-2\text i$

\item  On appelle S l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $(e):3x - 5y = 2$.

\textbf{Proposition 2 :} \og L'ensemble S est l'ensemble des couples $(5k - 1~;~3k -1)$ où $k$ est un entier relatif. \fg \quad \textbf{VRAI}


Soit $(x~;~y)$ un couple d'entiers vérifiant $(e)$. Alors $3x-5y= -3+5$ donc $(e'):3(x+1)=5(y+1)$. Le nombre 5 divise $3(x+1)$ et $5$ est premier avec 3. Selon le théorème de Gauss, 5 divise $x+1$ et il existe un entier relatif $k$ tel que $x+1=5k$ donc $x=-1+5k$ puis en remplaçant dans $(e')$, $5(y+1)=15k$ donc $y=3k-1$. On en déduit que, si $(x~;~y)$ est solution de (e) alors il existe un entier relatif $k$ tel que $(x~;~y)=(-1+5k~;~-1+3k)$.

Réciproquement, s'il existe un entier relatif $k$ tel que $(x~;~y) = (-1+5k~;~-1+3k)$, le couple  $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs vérifiant $(e)$. En effet, 

$3\times(-1+5k)-5\times (-1+3k)=2$.

L'ensemble S est l'ensemble des couples $(5k - 1~;~3k -1)$ où $k$ est un entier relatif.

\item On considère l'équation (E) : $x^2 + y^2 \equiv 0$\quad  modulo 3, où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.

\textbf{Proposition 3 :} \og Il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de $3$. \fg \quad \textbf{FAUX}

On construit le tableau des congruences modulo 3 de $x$ et de $x^2$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|X|X|X|}\hline
$x$ 	&0 	& 1 & 2 \\\hline
$x^2$	&0 	& 1 & $4\equiv 1 $\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Si $x$ ou $y$ n'est pas multiple de 3 alors $x^2$ ou $y^2$ est congru à 1 modulo 3 et la somme $x^2+y^2$ est congrue à 1 ou 2 modulo 3 et n'est jamais congrue à 0 modulo 3.
\item  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3.

\textbf{Proposition 4 :} \og Pour tout entier naturel $k~ (2 \leqslant  k \leqslant n)$, le nombre $n! + k$ n'est pas un nombre
premier. \fg \quad \textbf{VRAI}

Pour tout entier naturel $k$ tel que $2 \le k \le n$ on sait que $k$ divise $n!$ donc, par divisibilité de la somme, $k$ divise aussi $n!+k$, $k$ est donc un diviseur de $n! + k$ et $k$ est différent de 1 ($k \geqslant 2$) et différent de $k + n!$ (car $n!$ est non nul), $k$ est donc un diviseur propre de $k+n!$ qui n'est donc pas premier.

\item  On considère l'équation (E$'$) : $x^2 -52x + 480 = 0$, où $x$ est un entier naturel.

\textbf{Proposition 5 :} \og Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l'équation (E$'$). \fg \textbf{FAUX}

Les solutions de cette équation du second degré sont 12 et 40. Il n'existe aucun couple d'entiers naturels tels que le PGCD et le PPCM correspondent respectivement à 12 et 40 - en effet le PGCD de deux nombres divise toujours le PPCM de ces deux nombres et 12 ne divise pas 40. %(ni 40, 12).
%Mais on peut trouver deux entiers dont le PGCD et le PPCM vale 12 (prendre $a=b=12$). Si $a=b=12$ (ou $40$),  le PGCD de $a$ et $b$ vaut 12 (ou 40) et le PPCM de $a$ et $b$ vaut 12 (ou 40). PGCD et PPCM sont bien solutions de l'équation (E$'$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par

\[u(x) = x^2 - 2 + \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $u$ sur $]0~;~+\infty[$ et préciser ses limites en $0$ et en $+ \infty$.
La fonction $u$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables et pour tout réel $x$ strictement positif, $u'(x)=2x+\dfrac 1x$. Pour tout réel $x$ strictement positif, $u'(x) > 0$ comme somme de termes positifs (dont l'un est non nul), la fonction $u$ est donc strictement croissante.

$\limite x{+\infty}x^2-2=+\infty$ et $\limite x{+\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\limite x{+\infty}u(x)=+\infty$.

$\limite x{0}x^2-2=-2$ et $\limite x{0} \ln(x)=-\infty$ donc $\limite x{0}u(x)=-\infty$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0~;~+\infty[$.

La fonction $u$ est continue sur $]0~;~+\infty[$, elle prend des valeurs positives (car  $\limite x{+\infty}u(x) = +\infty$) et des valeurs négatives (car $\limite x{0}u(x)=-\infty$), selon le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction $u$ s'annule au moins une fois. Comme de plus, la fonction est strictement croissante, elle ne s'annule qu'une seule fois. Donc l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0~;~+\infty[$.
		
On note $\alpha$ cette solution.
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
À l'aide de la calculatrice on remarque que $u(1,31) < 0 < u(1,32)$ donc $1,31 < \alpha < 1,32$
	\end{enumerate}
\item %Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Puisque $u$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$, pour tout $x \in ]0~;~\alpha[$, $u(x) < u(\alpha)$ donc $u(x) < 0$ et pour tout $x > \alpha $, $u(x) > u(\alpha)$ donc $u(x) >0$
\item %Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$.

$u(\alpha)=0 \iff \alpha ^2 - 2 + \ln(\alpha)=0 \iff \ln(\alpha)=2-\alpha^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par

\[f(x) =  x^2 + (2 - \ln x)^2.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[,~f'(x)$ en fonction de $u(x)$.
Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x) = 2x + 2\times(2 - \ln x)\times \dfrac {-1}x = \dfrac 2x(x^2 - 2 + \ln x)=\dfrac 2x u(x)$
\item %En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
$\dfrac 2x$ étant toujours positif sur $]0~;~+\infty[$, $f'(x)$ est du signe de $u(x)$, donc est strictement négative sur $]0~;~\alpha[$, et strictement positive sur $]\alpha~;~+\infty[$ et s'annule en $\alpha$. la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$ et atteint un minimum en $\alpha$.

$\limite x{+\infty}x^2=+\infty$ et $\limite x{+\infty} (2-\ln x)^2=+\infty$ donc $\limite x{+\infty}f(x)=+\infty$.

$\limite x{0}x^2=02$ et $\limite x{0} (2-\ln x)^2 = +\infty$ donc $\limite x{0}u(x)=+\infty$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ;
\item[$\bullet~$] A le point de coordonnées $(0~;~2)$ ;
\item[$\bullet~$] $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la distance A$M$ est donnée par A$M = \sqrt{f(x)}$.
Le point A a pour coordonnées $(0~;~2)$ et le point $M(x~;~\ln x)$, donc

A$M = \sqrt{(x - 0)^2+(\ln x - 2)^2}=\sqrt{f(x)}$
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \sqrt{f(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0~;~+\infty[$.
La fonction $\sqrt{}$ étant strictement croissante sur son ensemble de définition, et la fonction $f$ prenant des valeurs toujours positives, les fonctions $f$ et $g=\sqrt f$ ont même sens de variation.
		\item %Montrer que la distance A$M$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté P, dont on précisera les coordonnées.
La fonction $g$ atteint donc son minimum en $\alpha$. La distance AM est donc minimale pour $x=\alpha$ soit au point P$(\alpha~;~\ln \alpha)$. Or $\ln \alpha = 2-\alpha^2$ donc $P$ a pour coordonnées $(\alpha~;~2-\alpha^2)$.
		\item %Montrer que AP $= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$.
AP $=\sqrt{(\alpha-0)^2+(2-\alpha^2-2)^2}= \sqrt{\alpha^2+\alpha^4}=\alpha\sqrt{1+\alpha^2}$ (car $\alpha > 0$).
	\end{enumerate}
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en P ?
La tangente à $\Gamma$ en P a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{\alpha}$ et la droite AP a pour coefficient directeur $\dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A}=\dfrac{2-\alpha^2 - 2}{\alpha -0} = -\alpha$. Le produit des deux coefficients directeurs donne $-1$, la tangente  $\Gamma$ en P et la droite (AP) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document} 