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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Métropole}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat S Métropole juin  2002~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  4 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement leur produit scalaire (le repère est orthonormal) est nul. D'où 
$\vect{U} \cdot \vect{V} = 0 \iff a(1 + b) - 5 +  b(1 - a) = 0 \iff a + b - 5 = 0 \iff   $\boldmath $a + b = 5.$ \unboldmath

Les tirages $(a~;~b)$ favorables sont : (1~;~4), (2~;~3), (3~;~2), 
et  (4~;~1) sur $4 \times 4$ tirages possibles.

$p\left(\vect{U} \cdot \vect{V}\right)$ orthogonaux 
$\iff \dfrac{4}{16} =$\boldmath $ \dfrac{1}{4}$ \unboldmath.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  D'après la question \textbf{1.} A et B ont chacun 1 chance sur 4 d'obtenir des vecteurs orthogonaux et donc 3  chances sur 4 de ne pas obtenir des vecteurs orthogonaux.

Au premier jeu on a donc si A obtient une somme égale à 5 et 
B non (ou le contraire), $p(\text{A}_{1}) = \dfrac{1}{4} \times 
\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{16} = p(\text{B}_{1})$.

D'après la loi des probabilités totales, on a 
$p\left(\text{A}_{1}\right) + p\left(\text{B}_{1}\right) + p\left(\text{C}_{1}\right) = 1 \iff 
p\left(\text{C}_{1}\right) = 1 - \dfrac{6}{16} = \dfrac{10}{16}$ ~$\left(\text{ou encore}\: 
p(\text{C}_{1}) = \dfrac{5}{8}\right)$.

		\item  À chaque nouveau jeu les probabilités de gagner pour A, 
gagner pour B et rejouer sont respectivement $\dfrac{3}{16}, 
\:\dfrac{3}{16}$ et $\dfrac{10}{16}$.

On a donc $p\left(\text{C}_{n+1}\right) = p\left(C_{n}\right) =  \dfrac{10}{16}$. On reconnait une suite géométrique de raison $\dfrac{10}{16}$. On a donc 
$p\left(\text{C}_{n}\right) =  \left(\dfrac{10}{16}\right)^n = 
\left(\dfrac{5}{8}\right)^n$.

De même $p\left(\text{A}_{n+1}\right) = p\left(C_{n}\right) \times 
\dfrac{3}{16} = \left(\dfrac{5}{8}\right)^n \times \dfrac{3}{16}$, 
soit en décalant l'indice de 1 : $p\left(\text{A}_{n}\right) = 
\dfrac{3}{16} \times \left(\dfrac{5}{8}\right)^{n-1}$.
	\end{enumerate}
\item  On a $-1 < \dfrac{5}{8} < 1$, donc 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(\dfrac{5}{8}\right)^{n-1} =  0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p\left(\text{A}_{n}\right) = 0.$

$p\left(\text{A}_{n}\right) < 0,01 \iff \dfrac{3}{16} \times 
\left(\dfrac{5}{8}\right)^{n-1} < 10^{-2} \iff \ln \dfrac{3}{16} + 
(n - 1) \ln \dfrac{5}{8} < - 2 \ln 10 \iff n - 1 \geqslant  \dfrac{-2 \ln 10 - 
\ln \dfrac{3}{16}}{\ln \dfrac{5}{8}}$ (ATTENTION : $\dfrac{5}{8} < 
1$, donc $\ln \dfrac{5}{8} < 0$, l'ordre CHANGE) $ \approx 6,2 \iff 
n > 7,2$. 

Conclusion le plus petit naturel est $n = 8$. (la 
calculatrice donne bien pour $n = 7$ une probabilité de $0,011$ et 
pour $n = 8$ une probabilité de \np{0,00698}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\:\: \Delta = 12 - 16 = - 
4 = (2\text{i})^2$. D'où les deux solutions qui sont justement $a = 
\sqrt{3} + \text{i}$ et $b = \overline{a} = \sqrt{3} - \text{i}$.

On a $|a|^2  = |b|^2  = 3 + 1 = 4 = 2^2$. Donc $|a| = 
2.$\: En factorisant 2, on a   

$a = 2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}   + \dfrac{1}{2}\text{i}\right) = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. $b$ est le conjugué de $a$, donc 

$b =  2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Effectuer la rotation $r$ revient à multiplier l'affixe 
du point A par $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. On a donc $a' = 
2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times 
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = 
2\text{i}$.
		\item   Par définition de l'homothétie on a : 
$\vect{\text{OB}'} = - 
\dfrac{3}{2}\vect{\text{OB}}$ soit en termes d'affixes 
$b' = - \dfrac{3}{2}b = - \dfrac{3}{2} \times 2\text{e}^{- 
\text{i}\frac{\pi}{6}} = - 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$.

On a $- 3 = 3 \times (- 1) = 3 \times \text{e}^{\text{i}\pi}$. Donc 
$b' = 3\text{e}^{\text{i}\pi} \times \text{e}^{- 
\text{i}\frac{\pi}{6}} = 3 \text{e}^{ \text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

Le module de $b'$ est donc égal à  3 et B$'$ est aligné avec O et B.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Si C a pour affixe $z_{\text{C}} = c$, on a $|c|$ = OC = R.
Or si $c = x + y$, alors 

$c\overline{c} = (x + \text{i}y)(x - 
\text{i}y) = x^2 + y^2 = |c|^2 = \text{R}^2$.

$(c - 2\text{i})\left(\overline{c} + 2\text{i}\right) = \left(c - a'\right)(\overline{c} - 
\overline{c}') = \left(c - a'\right)\left(\overline{c - a'} \right)$.

Or on sait d'après le premier calcul que le produit de deux complexes 
conjugués est égal au carré de leur norme. Or $(c - 2\text{i})\left(\overline{c} + 2\text{i}\right) =
(c - 2\text{i})\left(\overline{c - 2\text{i}}\right) = |c - 2\text{i}|^2 = 
\left|\vect{\text{A}'\text{C}}\right|^2 = \text{A}'\text{C}^2 = R^2$.
 
(A$'$ est un point du cercle de centre C !)

De même $\left(c + \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}  \right) 
\left(\overline{c} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}  
\right) = \left(c - b'\right)\left(\overline{c} - \overline{b'}\right) = \left(c - b'\right)\left(\overline{c - 
b'}\right) = \left|c - b'\right|^2 = |\vect{\text{B}'\text{C}}|^2 = \text{B}'\text{C}^2 = R^2$.

(B$'$ est un point du cercle de centre C !)
		\item  En développant la deuxième égalité ci-dessus, on 
obtient : 

$\text{R}^2 + 2\text{i}(c - \overline{c}) + 4 = \text{R}^2 
\iff c - \overline{c} = - \dfrac{2}{\text{i}} = 2\text{i}$.

En développant la troisième $\text{R}^2 = c\overline{c} + \dfrac{3}{2}(c - 
\overline{c}) + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(c + \overline{c}\right) + 
\dfrac{27}{4} + \dfrac{9}{4} \iff  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(c + 
\overline{c}\right) = - 6 \iff c + \overline{c} = - \dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
		\item  On a donc le système $\left\{\begin{array}{l c r}
c - \overline{c} &=& 2\text{i}\\
c + \overline{c} &=&- \dfrac{4}{\sqrt{3}}
\end{array} \right. $ d'où par  addition 

$2c = - \dfrac{4\sqrt{3}}{3} + 2\text{i}$ et enfin $c = - 
\dfrac{2\sqrt{3}}{3} + \text{i}$.

Enfin $c\overline{c} = \text{R}^2 = \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} + 
\text{i}  \right)\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} - \text{i}  \right) = 
\dfrac{12}{9} + 1 = \dfrac{21}{9}$. Donc $\text{R} = \dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $(-1~;~1)$ est une solution évidente de $6u + 7v = 1$. En 
multipliant chaque membre par 57 on a $6 \times (-57) + 7 \times 57 = 
57~;~(-57~;~57)$ est donc une solution particulière de $6x + 7y = 57$.
		\item  Soit $(x~;~y)$ une solution particulière de $6x + 7y = 
57$. On vient de voir que $6 \times (-57) + 7 \times 57 = 
57~$, d'où par soustraction membre à membre $6(x +57) + 7(y - 57) = 
0 \iff 6(x + 57) = 7(57 - y) \quad (1)$. 6 divise $6(x + 57)$ donc aussi $7(57 - y)$ mais est premier avec 7 ; donc d'après le théorème de Gauss, il divise 
$57 - y$ ; il existe donc $k \in \Z$ tel que $57 - y = 6k \iff y = 57 - 
6k$. En reportant dans (1) $6(x +57) = 7 \times 6k \iff x + 57 = 7k 
\iff x  = 7k - 57$.

Conclusion : S = $\{(7k - 57~;~57 - 6k),~k \in \Z\}$
	\end{enumerate}
\item Les points de P qui appartiennent au plan 
$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ 
vérifient la système 

$\left\{\begin{array}{l c l}
6x + 7y + 8z 	& = & 57\\
z 				& = & 0
\end{array}\right. \Rightarrow 6x + 7y = 57$ (E). D'après 1. b. \\$x = 
7k - 57$ et $y = 57 - 6k$.

$x,~y  \in \N \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l c l}
7k - 57 & \geqslant  	& 0\\
57 - 6k & \geqslant		& 0
\end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c l}
x  	& \geqslant & 9\\
k 	& \leqslant  & 9
\end{array}\right.$ Conclusion $k = 9$. Il existe donc un seul point 
du plan P de cote nulle, le point de coordonnées (6 ; 3 ; 0) 

\item $x,~y~,~z \in \N$.
	\begin{enumerate}
		\item  Si $y$ est pair, $7y,~6x$ et $8z$ sont tous pairs et leur 
somme est paire, donc ne peut être égale à un impair : 57. Donc $y$ 
est impair et s'écrit :
		\item  $y = 2p +1$ avec $p \in \N$. l'équation devient $6x + 
7(2p +1) + 8z = 57 \iff 6x + 14p + 8z = 50 \iff 3x + 7p + 4z = 25 
\iff 3x + 3p + 4p + 4z =  25 \iff  3(x + p) + 4(p + z) = 25$. (2)

Dans la division euclidienne de $(p + z)$ par 3 on a : $\left\{  \begin{array}{l c l}
p + z  	& = 			& 3q + r \\
0 		& \leqslant  	& r <3
\end{array} \right.$ En reportant dans l'équation au-dessus on 
obtient : 

$3(p + q) + 12q + 4r = 25 \iff 3(p + 5q) + 4r = 25$  ;

$r = 0$, donne $3(p + 5q) = 25$ qui est impossible car 3 ne divise pas 25 ;

$r = 2$ donne $3(p +q)  = 17$ qui est aussi impossible.

Conclusion $r = 1$.
		\item  On a donc $p + z = 3q + 1$ avec $q \in \N$. l'équation 
(2) devient $3(x + p) + 4(3q + 1) = 25 \iff $

$3(x + p + 5q) = 21 \iff x + p + 
5q = 7$. Or si $q > 2,~5q > 10$ (impossible). Donc $q = 0$ ou $1$.
		\item  Finalement les triplets $(x~;~y~;~z)$ avec $x,~y,~z \in 
\N$ qui vérifient l'équation $6x + 7y + 8z = 57$ vérifient :

$x = 7 - p - 4q,~y = 2p + 1,~z = 3q + 1 - p$

Si $q = 0,~x = 7 - p,~y = 2p + 1,~z = 1 - p $~;~cette dernière 
écriture impose $p < 1$, soit p = 0 qui donne le triplet (7,~1,~1) 
soit p = 1 qui donne le triplet (6, 3, 0) (déjà trouvé).

Si $q = 1,\:x = 3 - p,\:y = 2p + 1~; \:z = 4 - p$. La première écriture 
impose $p \leqslant 3$, donc quatre solutions : soit $p = 0$, solution (3, 1, 
4), soit $p = 1$, solution (2,~3,~3), soit 
$p = 2$, solution (1,~5,~2), soit 
$p = 3$ solution (0,~7,~1).

Il y a donc six points de P dont les cordonnées sont des naturels :
(7,~1,~1), (6,~3,~0), (3,~1,~4),~(2,~3,~3),~(1,~5,~2),~(0,~7,~1).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  $f(x) = \dfrac{1}{2}\left[ x + (1 -  x)\text{e}^{2x} \right]$
	\begin{enumerate}
		\item  On a (croissance comparée) $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 
x\text{e}^{2x} = 0$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.

$f(x) = \dfrac{1}{2}(x \text{e}^{- 2x} + 1 - x)$ ; la 
limite de $x \text{e}^{- 2x}$ en $+ \infty$ est égale à $0$ et 

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \text{e}^{- 2x} = - \infty$. 

Conclusion :  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
		\item  On calcule la différence $d(x) = f(x) - \dfrac{x}{2} = 
\dfrac{1}{2}(1 - x)\text{e}^{2x}$ et on a vu au \textbf{a)} que la 
limite de cette expression est égale à zéro au voisinage de $- \infty$. 
Ceci montre que la droite $(\Delta)$ est asymptote  $(\mathcal{C})$ au 
voisinage de $- \infty$.

De plus $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (1 - x) = + \infty$ et 
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0_{+}$. Conclusion 
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} d(x) = 0_{+}$, ce qui signifie que $(\mathcal{C})$
reste au-dessus de son asymptote.
	\end{enumerate}
\item
$x,~(1 - x)$ et $\text{e}^{2x}$ sont des fonctions dérivables sur 
$\R$, donc $f$ fonction obtenue par somme et produit de ces fonctions 
dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$. 

$f'(x) = \dfrac{1}{2}x + \left(\dfrac{1 - x}{2}  
\right)\text{e}^{2x}~;~f'(x) = \dfrac{1}{2} - 
\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + 2\text{e}^{2x}\left(\dfrac{1- x}{2}  
\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}(1 - 2x) = 
\dfrac{1}{2} \left[ 1 + (1 - 2x)\text{e}^{2x} \right]$.
\item $u(x) = 1 + (1 - 2x)\text{e}^{2x}$
	\begin{enumerate}
		\item $u'(x) - 2\text{e}^{2x} + 2(1 - x)\text{e}^{2x} = - 
4x\text{e}^{2x}$ qui est du signe de $- x$. D'où le tableau de 
variations :

\begin{center} 
\begin{pspicture}(8,4)
%\psgrid
\psline(2,0)(2,3.5)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){$0$} \uput[u](6.5,3){$\alpha$} 
\uput[u](8,3){$+ \infty$} 
\uput[u](1,2.2){$u'(x)$} \rput(1,1){$u(x)$}
\uput[u](3.5,2.2){$+$} \uput[u](6.5,2.2){$-$}  
\uput[u](2.1,0){$1$} \uput[d](5,2){$2$} \uput[u](8,0){$- \infty$} 
\uput[u](6.5,0.72){$0$} 
\end{pspicture}
\end{center}

		\item On a $u(0) = 1 + 1 = 2$ et $u(1) = 1 - \text{e} < 0$.
Donc sur l'intervalle [0~;~1], la fonction $u$ est :  dérivable ;  
monotone décroissante ;  $u(0) > 0$ et $u(1) < 0$.

Conclusion : il existe un réel unique $\alpha$ de l'intervalle [0 ; 1] 
tel que

$u(\alpha) = 0$.

La calculatrice livre : $u(0,63) \approx 0,08$ et $u(0,64) \approx - 
0,007.$ Donc d'après le théorème ci-dessus $0,63 < \alpha < 0,64$. 
Réponse $\alpha \approx 0,64$  $10^{-2}$ près par excès.
		\item  Le tableau donne donc 
le signe de $u$ : $x < \alpha \iff u(x) > 0$ et $x > \alpha \iff u(x) < 0$
	\end{enumerate}
\item On a $f'(x) = \dfrac{1}{2}u(x)$ : le signe de 
$f'$ est celui de $u$. On a donc le tableau de variations :

\begin{center} 
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psline(2,0)(2,3.5)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\uput[u](2.2,3){$- \infty$} \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](5,3){$\alpha$}
\rput(5,2.5){$0$} 
\uput[u](6.5,3){$1$} \uput[u](8,3){$+ \infty$} 
\uput[u](1,2.25){$f'(x)$} \uput[u](1,1){$f(x)$}
\uput[u](3.5,2.25){$+$} \uput[u](6.5,2.25){$-$}  
\uput[u](2.3,0){$-\infty$} \uput[d](5,2){$f(\alpha)$} \uput[u](8,0){$- \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  On a $M_{t}\left(t~;~\text{e}^t\right)$ ; la 
tangente en $M_{t}$  $\Gamma$ a pour équation : $N(X~;~Y)  \in 
\Gamma \iff \dfrac{Y - \text{e}^t}{X - t} = \left(\text{e}^t  
\right)' = \text{e}^t  \iff Y = X\text{e}^t  + \text{e}^t (1 - t)$. 
Cette tangente coupe l'axe des ordonnées pour $X = 0$, d'o $Y = 
\text{e}^t (1 - t)$. Donc $N_{t}\left(0~;~\text{e}^t (1 - t) \right)$.
\item  On a $P_{t} (t~;~t)$. Par définition du 
barycentre $\vect{G_{t}M_{t}} + 
\vect{G_{t}\text{O}} + \vect{G_{t}M_{t}} + 
\vect{G_{t}P_{t}} + \vect{G_{t}N_{t}} = 
\vect{0} \iff \quad \text{(avec la relation de Chasles)} 
\quad \vect{\text{O}G_{t}} = 
\dfrac{1}{4}\left(\vect{\text{O}M_{t}} + 
\vect{\text{O}P_{t}} + \vect{\text{O}N_{t}}  
\right).$
	\begin{enumerate}
		\item  Pour $t = - 2$ on obtient $ \vect{\text{O}G_{-2}} = 
\dfrac{1}{4}\left(\vect{\text{O}M_{-2}} + 
\vect{\text{O}P_{- 2}} + \vect{\text{O}N_{-2}}\right)$ 
soit avec les coordonnées des points $M_{-2},~N_{-2},~P_{-2}$, on 
obtient $G_{-2}\left(- 1~;~\text{e}^{-2} - \dfrac{1}{2}  \right)$
		\item Avec la relation obtenue au début du \textbf{2.} on 
obtient de même

$G_{t}\left[\dfrac{t}{2}~;~\dfrac{1}{2}\left(2\text{e}^t + t - 
t\text{e}^t\right)\right]$
	\end{enumerate}
\item En posant $\dfrac{t}{2} = x \iff t = 2x$, \:on 
obtient $y = \dfrac{1}{2}\left(2\text{e}^{2x} + 2x - 2x\text{e}^{2x}  
\right) $~soit $y = f(x)$. Conclusion : tous les barycentres 
appartiennent  la courbe $(\mathcal{C})$, et comme  $t \in \R$ les 
barycentres parcourent toute cette courbe.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}
    
\begin{enumerate}
\item  cf. plus bas

\item  Sur l'intervalle [0~;~1], $1 - x \geqslant 0$ et 
$\text{e}^{2x} > 0$, donc $d(x) = \dfrac{1}{2}(1 - x)\text{e}^{2x} \geqslant  
0$, donc $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\Delta$. 

On a donc \[\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{2}(1 - 
x)\text{e}^{2x}\: \text{d}x.\]

En posant : $\left\{ \begin{array}{l c l l  c l}
u & = & (1 - x) &\quad  v' &=& \text{e}^{2x}\\
u' &=& - 1 &  \quad v &=& \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} 
\end{array} \right.$

Donc $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\left[(1 - x) \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}  
\right]_{0}^1 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}\:\text{d}x = 
\left[(1 - x) \dfrac{\text{e}^{2x}}{4} + \dfrac{\text{e}^{2x}}{8}  \right]_{0}^1 = 
\dfrac{\text{e}^2}{8} - \dfrac{1}{4} - 
\dfrac{1}{8} = \dfrac{\text{e}^2 - 3}{8}$~u.a. Or l'unité d'aire 
vaut $2 \times 2 = 4$~cm$^2$. Donc $\mathcal{A} = \dfrac{\text{e}^2 - 
3}{8} \times 4 = \dfrac{\text{e}^2 - 3}{2}$~cm$^2$.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center} \textbf{Annexe problème}
\vspace{0.8cm}
    
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-5)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psline(-4,-4)(3,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.60944}{ 2.71828 x exp}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.52}{0.5 x 1 x sub 2.71828 2 x mul exp mul 
 add mul}
\psline[linecolor=red]{<->}(0.2,0.9674)(1.08,0.9674)
\psline[linecolor=green](-4,-2)(3,1.5)
\rput(-3,3.5){\large \blue$y =  \dfrac{1}{2}\left[ x + (1 - 
x)\text{e}^{2x}  \right]$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 x 1 x sub 2.71828 2 x mul exp mul  add mul}
\psline(1,0.5)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}