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%Sujet : merci à l'académie de la Martinique
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STD2A~\decofourright\\Antilles-Guyane 12 septembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

%\parbox{0.35\linewidth}{Le dessin ci-contre représente en perspective parallèle le clocher d'une abbaye constitué d'un pavé droit surmonté d'une pyramide à base carrée.
%
%\bigskip 
%
%Il est décoré d'une frise en forme de quadrillage régulier. 
%
%\bigskip
% 
%Les faces ABCD et EFGH sont horizontales et la face ABFE est située dans le plan frontal.}\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{ 
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(3.5,9.3)
%\pspolygon(0,0)(2,0)(3.1,1.1)(3.1,7.2)(1.55,8.7)(0,6.2)%ABCGSE
%\psline(0,6.2)(3.1,6.2)(3.1,7.2)%EFG
%\psline(1.55,8.7)(2,6.2)(2,0)%SFB
%\psline[linestyle=dashed](0,6.2)(1,7.2)(3.1,7.2)%EHG
%\psline[linestyle=dashed](1.55,8.7)(1,7.2)(1,1.1)%SHD
%\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.1)(3.1,1.1)%ADC
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,5.9)(0.5,6.2)
%\psframe(0.5,5.9)(1,6.2)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,5.9)(1.5,6.2)
%\psframe(1.5,5.9)(2,6.2)
%\psframe(0,5.6)(0.5,5.9)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,5.6)(1,5.9)
%\psframe(1,5.6)(1.5,5.9)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,5.6)(2,5.9)
%
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,6.2)(2.275,6.45)(2.275,6.15)(2,5.9)
%\pspolygon(2.275,6.45)(2.55,6.7)(2.55,6.4)(2.275,6.15)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.55,6.7)(2.825,6.95)(2.825,6.65)(2.55,6.4)
%\pspolygon(2.825,6.95)(3.1,7.2)(3.1,6.9)(2.825,6.65)
%
%\pspolygon(2,5.9)(2.275,6.15)(2.275,5.85)(2,5.6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.275,6.15)(2.55,6.4)(2.55,6.1)(2.275,5.85)
%\pspolygon(2.55,6.4)(2.825,6.65)(2.825,6.35)(2.55,6.1)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.825,6.65)(3.1,6.9)(3.1,6.6)(2.825,6.35)
%
%\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} \uput[ur](3.1,1.1){C} \uput[ur](1,1.1){D} 
%\uput[l](0,6.2){E}\uput[ur](1.9,6.28){F}\uput[ur](3.1,7.2){G} \uput[ur](1,7.2){H} 
%\uput[ur](1.55,8.7){S} \uput[l](0,5.6){K} \uput[l](0,5.9){L}
%\end{pspicture}\end{center}}
%
%
%\emph{Un dessin est donné en annexe (page 6). IL est à compléter au fur et à mesure de la résolution de l'exercice et à rendre avec la copie. Les candidats sont invités à laisser apparents les traits de construction.}
%
%\medskip
% 
%Le but de cet exercice est de représenter en perspective centrale l'assemblage décrit ci-dessus. Les images des points A , B , C , ... sont notées $a, b , c , ...$ sur le dessin en perspective centrale.
% 
%La droite $(\Delta)$ est la ligne d'horizon.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi les droites $(fg)$ et $(bc)$ se coupent sur la ligne d'horizon et justifier que leur point d'intersection est le point de fuite principal.
Les côtés [BC] et [FG] sont opposés dans le rectangle BCGF : les droites (BC) et (FG) sont donc parallèles  ; leurs images dans la perspective $(bc)$ et $(fg)$ sont donc sécantes sur la ligne d'horizon en $w$ point de fuite principal. 
\item %Sur le document annexe , placer le point de fuite principal $w$ et compléter la représentation du parallélépipède rectangle ABCDEFGH. 
\item %La hauteur de la pyramide SEFGH a une longueur égale au tiers de la longueur AE. Dessiner cette pyramide dans la représentation en perspective centrale sur le document annexe. 
Voir l'annexe.
\item %Le haut du clocher est décoré d'une frise en damier. Représenter cette frise sur le document annexe.
Voir l'annexe. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

%Une \textbf{volute} est un motif d'ornementation, constitué par un enroulement en forme de spirale et utilisé notamment dans les chapiteaux de colonnes ioniques.
% 
%Le but de cet exercice est de déterminer une fonction! dont la courbe Cf restreinte à l'intervalle [0~;~4] permet de raccorder le segment [RO] à une spirale au point I en respectant les trois contraintes suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item La fonction $f$ est une fonction polynôme de degré 3 
%\item Au point O, les tangentes à la courbe $C_{f}$ et au segment [RO] sont communes. 
%\item Au point I, les tangentes à la courbe $C_{f}$ et à la spirale sont communes.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Sur la figure ci-dessous, le repère est orthonormé. Les points R, O , I et C ont pour coordonnées :
% 
%\[\text{R}(-1~;~0),\quad \text{O}( 0~;~0),\quad  \text{I}(4~;~3) \quad \text{et} \quad  \text{C}( 6~;~2).\] 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.5)(7.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(7.5,6.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{0}{4}{x 3 exp 32 div x dup mul 16 div add}
\psarc[linecolor=blue](6,2){2.236}{90}{152}
\psarc[linecolor=blue](6,2.9836){1.236}{0}{90}
\psarc[linecolor=blue](6.236,3){1}{-90}{0}
\psarc[linecolor=blue](6.236,2.236){0.236}{-180}{-90}
\psdots[dotscale=1.1](-1,0)(0,0)(4,3)(6,2)(6,4.236)
\uput[u](2.6,1){$C_{f}$}
\uput[ur](-1,0){R}\uput[ur](0,0){O}\uput[r](4,3){I}\uput[u](6,4.236){B}\uput[dl](6,2){C}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$.
$\bullet~~$$C_{f}$ a une tangente en O, donc O appartient à $C_{f}$ et donc $f(0) = 0$ ;

$\bullet~~$La tangente en O est horizontale, donc $f'(0) = 0$. 
\item %Soit $(T)$ la tangente en I à l'arc de cercle BI de centre C. Soit le point A de coordonnées A(5~;~5). 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{IA}}$ et $\vect{\text{IC}}$. Calculer $\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{IC}}$  et en déduire que la droite (IA) et la tangente $(T)$ sont confondues.
On a $\vect{\text{IA}}(1~;~2)$ et $\vect{\text{IC}}(2~;~- 1)$, d'où $\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{IC}} = 2 - 2 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux donc les droites (IA) et (IC) sont perpendiculaires. Donc la perpendiculaire en I au rayon [CI] est la tangente au cercle de centre C de rayon [CI], c'est-à-dire la tangente $(T)$.
		\item %Quel est le coefficient directeur de $(T)$ ? 
Le coefficient directeur de $(T)$ est $\dfrac{2}{1} = 2$.
		\item %En déduire que $f(4) = 3$ et $f'(4) = 2$. 




-- I appartient à $C_{f}$, donc$f(4) = 3$ ;

--Le nombre dérivé $f'(4)$ est égal au coefficient directeur de la tangent e $T$ soit $f'(4) = 2$. 
	\end{enumerate}
\item %La fonction $f$ cherchée est une fonction polynôme de degré 3, et s'écrit 

%\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad \text{où }\: a, b, c \text{et}\: d \text{sont des nombres réels}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item De $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ on déduit  $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.		%Déterminer l'expression de $f'(x)$. 
		\item %En utilisant la question 1, montrer que $c = d = 0$. 
-- $f(0) = 0 \iff d = 0$ ;

--$f'(0) = 0 \iff c = 0$.
		\item %On admet que $f$ est définie par 
		
\[f(x) = \dfrac{1}{32}x^3 + \dfrac{1}{16}x^2.\]
		
%Vérifier les quatre conditions de raccordement: $f(0) = 0,\, f'(0) = 0,$ $f(4) = 3$,\: \:f'(4) = 2$.
On a bien avec $f'(x) = \dfrac{3}{32}x^2 + \dfrac{1}{8}x$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$f(0) = 0$ ;
\item[$\bullet~~$]$f'(0) = 0$ ;
\item[$\bullet~~$]$f(4) = \dfrac{1}{32}\times 64 + \dfrac{1}{16}\times16 = 2 + 1 = 3$ ;
\item[$\bullet~~$]$f'(4) =  \dfrac{3}{32}\times 16 + \dfrac{1}{8}\times 4 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$.
\end{itemize} 
	\end{enumerate}
\item %Montrer que $f'(x) = \dfrac{x(3x + 4)}{32}$ 	et en déduire  le tableau de variation de $f$ sur [0~;~4]. 
$f'(x) = \dfrac{3}{32}x^2 + \dfrac{1}{8}x =  \dfrac{3}{32}x^2 + \dfrac{4}{32}x = \dfrac{3x^2 + 4x}{32} = \dfrac{x(3x + 4)}{32}$.

Le signe de $f'(x)$ est donc celui du trinôme $x(3x + 4)$. Il est positif sauf entre les racines $- \dfrac{4}{3}$ et $0$.

Donc $f'(0) = 0$ (tangente horizontale et $f'(x) > 0$ sur ]0~;~4].

La fonction est donc strictement croissante sur ]0~;~4] de $f(0) = 0$ à $f(4) = 3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}
 
\medskip

%Dans cet exercice, on s'intéresse à deux méthodes de construction d'une ellipse.
%
%\medskip
% 
%\emph{Les deux parties de cet exercice sont largement indépendantes.}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A : Construction d'une ellipse par la méthode du \og jardinier \fg.} 

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(12,5)
%%\psgrid
%\psellipse(2.4,2.5)(2.4,1.45)
%\psdots(0.5,2.5)(4.3,2.5)(1.1,3.7)
%\uput[d](0.5,2.5){A}\uput[d](4.3,2.5){B}\uput[u](1.1,3.7){M}
%\psline(0.5,2.5)(1.1,3.7)(4.3,2.5)
%\psellipse(8.9,2.5)(2.9,1.7)
%\psline(0.5,2.5)(0.5,2.8)\psline(4.3,2.5)(4.3,2.8)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6,2.5)(8.9,2.5)(11.8,2.5)(8.9,4.2)(8.9,0.8)(6.5,2.5)(11.3,2.5)(6.75,3.6)
%\psline(6.5,2.5)(6.75,3.6)(11.3,2.5)
%\psline(6,2.5)(11.8,2.5)
%\psline(8.9,4.2)(8.9,0.8)
%\uput[ur](6.5,2.5){A}  \uput[ur](11.3,2.5){B}  \uput[ul](6.75,3.6){M}  \uput[l](6,2.5){G}  
%\uput[u](8.9,4.2){F}  \uput[dr](8.9,2.5){O}  \uput[d](8.9,0.8){H}  \uput[r](11.8,2.5){E}
%\psframe(8.9,2.5)(9.2,2.8)  
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Pour tracer une ellipse, Paul plante deux piquets en A et B. Il fixe une extrémité d'une ficelle au piquet A et l'autre extrémité au piquet B. Il tend la ficelle avec un bâton, il déplace le bâton en maintenant la ficelle tendue et il contourne les deux piquets. Son bâton trace une ellipse sur le sol.
%
%\medskip
% 
%Paul a tracé une ellipse dont les axes mesurent respectivement 15~m et 9~m.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer la longueur $\ell$ de la ficelle en utilisant les points M, A et B.
		On a $\ell = \text{AM} + \text{MB}$. 
		\item %En considérant les cas où M est en G et en E, montrer que GA = BE puis que $\ell = 15$~mètres.
Si M est en G : $\ell = \text{AG} + \text{GB} \iff \text{GB} = \ell - \text{AG}$ ;
		
Si M est en E : $\ell = \text{AE} + \text{EB} \iff \text{AE} = \ell - \text{EB}$.
		
Comme AE = GB on en déduit $\ell - \text{AG} = \ell - \text{EB} \iff \text{AG} =  \text{EB}$.

On a donc $\ell = \text{AG} + \text{GB} = \text{EB} + \text{GB} = \text{GE} = 15$~(m).
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $\ell$ lorsque M est en F. Déterminer la longueur FA.
Si M est en F : $\text{AF} + \text{FB} = \ell = 15$. Comme AFB est un triangle isocèle en F ((FO) est la médiatrice de [GF]), on a $\text{AF} = \text{FB}$, donc AF = 7,5~(m).
		\item %Montrer que OA = 6 mètres.
		on a OF $= \dfrac{\text{FH}}{2} = \dfrac{9}{2} = 4,5$.
		
		Dans le triangle AOF rectangle en O le théorème de Pythagore s'écrit :
		
		$\text{AF}^2 = \text{AO}^2 + \text{OF}^2 \iff 7,5^2 =  \text{AO}^2 + 4,5^2 \iff \text{AO}^2 = 7,5^2 - 4,5^2 = (7,5 + 4,5)(7,5  - 4,5) = 12 \times 3 = 36 = 6^2$.
		
		Conclusion $\text{OA} = 6$~(m).
		\item %Quel est l'écartement entre les deux piquets A et B ? 
L'écartement entre les deux piquets A et B est égal à $\text{OA} + \text{OB} = 6 + 6 = 12$~(m).
	\end{enumerate}
\item L'ellipse est tracée dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$.

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.375cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(8,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-8,-5)(8,5)
\psellipse(0,0)(7.5,4.5)
\psline(-6,0)(6,2.74)(6,0)
\psdots(-6,0)(6,0)(0,0)(1,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\uput[dr](-7.5,0){G}\uput[dr](0,4.5){F}\uput[dl](7.5,0){E} \uput[ur](0,-4.5){H}
\uput[u](-6,0){A}\uput[ur](6,0){B}\uput[ur](6,2.74){M}
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{ 
	\begin{enumerate}
		\item %Lire les coordonnées des points A, B, E et F. 
		
		On lit A$(-6~;~0)$, \: B$(6~;~0)$, \: E$(7,5~;~0)$, \: F$(0~;~4,5)$.
		\item %Déterminer une équation cartésienne de l'ellipse.
		 
%Le point M(6~;~2,7) appartient-il à l'ellipse ? 
On sait qu'une équation de l'ellipse est $\dfrac{x^2}{7,5^2} + \dfrac{y^2}{4,5^2} = 1$.

Il semble que M soit un point de l'ellipse.

		\item %Justifier par le calcul.
M(6~;~2,7) appartient à l'ellipse si :

$\dfrac{6^2}{7,5^2} + \dfrac{2,7^2}{4,5^2} = 1 \iff \left(\dfrac{2}{2,5}\right)^2 + \left(\dfrac{0,3}{0,5}\right)^2 = 1 \iff \left(\dfrac{8}{10} \right)^2  + 0,6^2 = 1 \iff 0,64 + 0,36 = 1$ : cette égalité est vraie. M est un un point de l'ellipse.
	\end{enumerate}}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Construction de cette ellipse à partir d'un cercle.}

\medskip
 
%\emph{Dans cette partie, on cherche à établir une autre méthode pour construire l'ellipse étudiée dans la partie A.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère le point N$(7,5 \cos(t)~;~7,5 \sin(t))$ où $t$ est un nombre réel fixé.
 
%Montrer que le point N appartient au cercle C de centre O et de rayon $7,5$.
On a $\text{ON}^2 = (7,5\cos t)^2 + (7,5\sin t)^2 = 7,5\cos ^2 t + 7,5^2 \sin ^2 t = 7,5^2\left(\cos ^2 t + \sin^2 t \right) = 7,5^2$.

Conclusion $\text{ON} = 7,5$ ;  N appartient au cercle C de centre O et de rayon $7,5$.
\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{ 
\item %On a placé un point N sur la figure ci-contre.
 
%La perpendiculaire à (O$x$) en N coupe l'axe des abscisses en K.
 
%On considère le point P du segment [NK] tel que $\vect{\text{KP}} = 0,6 \vect{\text{KN}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont, en fonction de $t$, les coordonnées du point K? du vecteur $\vect{\text{KN}}$ ?
On a K$(7,5\cos t~;~0)$.

On en déduit que  $\vect{\text{KN}}\begin{pmatrix}7,5\cos t - 7,5\cos t\\7,5\sin t - 0\end{pmatrix}$.

Donc $\vect{\text{KN}}\begin{pmatrix}0\\7,5\sin t\end{pmatrix}$ et donc 

$\vect{\text{KP}} = 0,6 \vect{\text{KN}}\begin{pmatrix}0\\4,5\sin t\end{pmatrix}$
		\item %Montrer que les coordonnées du point P sont $(7,5 \cos(t)~;~4,5 \sin(t))$. 
L'abscisse de P est celle de N soit $7,5\cos t $ et son ordonnée est $4,5 \sin(t)$.
		\item %En déduire, par le calcul, que le point P appartient à l'ellipse. 
P appartient à l'ellipse si :
		 
$\dfrac{(7,5\cos t)^2}{7,5^2} + \dfrac{(4,5\sin t)^2}{4,5^2} = 1  \iff (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1$ qui est une égalité vraie.
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-6)(5,6)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,subticks=1](0,0)(-5,-6)(5,6)
\psellipse(0,0)(3.75,2.25)
\pscircle(0,0){3.75}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.2](0,0)(0.5,0)(0,0.5)(-3.75,0)(3.75,0)(0,2.25)(0,-2.25)(-3,0)(3,0)(2.2,3)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\uput[ur](-3.75,0){G} \uput[ur](-3,0){A}
\uput[ur](3.75,0){E} \uput[ur](3,0){B}
\uput[ur](0,2.25){F} \uput[ur](0,-2.25){H}
\uput[ul](-2,3){$(C)$}\uput[ur](2.2,3){N}
\end{pspicture}}  	
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document Annexe - À rendre avec la copie}

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(16,15)
%\psgrid
\psline(0,15)(16,15)
\psline(3.7,6.3)(2.8,5.4)(1,5.4)(1,11.6)
\uput[r](3.7,6.3){$c$}\uput[dr](2.8,5.4){$b$}\uput[dl](1,5.4){$a$}
\uput[l](1,10.7){$k$}\uput[l](1,11.1){$l$}  \uput[l](1,11.5){$e$}
\uput[d](0.5,15){$\Delta$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.2](1,10.7)(1,11.1)(1,11.5)(3.7,6.3)(2.8,5.4)(1,5.4)
\psline(1,11.5)(2.8,11.5)(2.8,5.4)
\psline(2.8,5.4)(3.7,6.3)(12.4,15)
\uput[u](12.4,15){$w$}\uput[dr](2.8,11.5){$f$}
\psline(12.4,15)(2.8,11.5)
\psline(12.4,15)(1,11.5)
\psline(12.4,15)(1,5.4)
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