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%Corrigé : J.-C. Souque
%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\def\psvlabel#1{\numprint{#1}}%
%\makeatletter
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%\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
%\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{ correction Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole~\decofourright\\ septembre 2011 correction}} 

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)
 
%Pour chaque question, parmi les trois réponses proposées, \textbf{une seule est correcte}. 

%Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. 

%\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On place 250 euros au taux annuel de 3\,\%. Le tableau suivant donne l'évolution du capital arrondi au dixième. 

\medskip
\begin{center}
{\scriptsize{
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C\\ \hline
1&Année $n$&Capital&Taux\\ \hline 
2&0&250&3\\ \hline 
3&1&257,5&\\ \cline{1-3}  
4&2&265,2&\\ \cline{1-3} 
5&3&273,2&\\ \cline{1-3} 
6&4&281,4&\\ \cline{1-3}
7&5&289,8&\\ \hline
\end{tabularx}
}}
\end{center}
\medskip
 
La formule entrée dans la cellule B3 et recopiée pour obtenir le contenu des cellules de la plage B3~:~B7 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet$~~}X}}  
\ovalbox{= B2*(1 + \$C\$ 2/100)}& $ \cancel{= B\$2*(1 +C2/100)}$ & $ \cancel{=\$B\$2 *(1 + \$C\$2/100)}$ \\ 
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\item Au cours des trois dernières années, le prix d'un produit a successivement augmenté de 10\,\% la première année, puis de 6\,\% la deuxième année et de 5\,\% la dernière année.
 
Le taux d'évolution global sur ces trois ans est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet$~~}X}} 
$\cancel{7\,\% }$& $\cancel{21\,\% }$& \ovalbox{22,43\,\%}\\
\end{tabularx}
Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution $t$ est $1+t$ soit respectivement $1+\frac{10}{100}$, $1+\frac{6}{100}$, $1+\frac{5}{100}$.
 Les hausses étant successives, le produit des coefficients multiplicateurs est $\np{1.1}\times \np{1,06}\times \np{1,05}=\np{1,2243}$ et le taux d'augmentation $\np{1.2243}-1=\np{0,2243}=\frac{\np{22,43}}{100}$
 
\medskip
 
\item Un prix a subi une baisse de 16\,\% un mois puis une nouvelle baisse de 4\,\% le mois suivant. Le taux de baisse mensuel moyen de ce prix sur ces deux mois, arrondi à 0,1\,\%, est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet$~~}X}} 
$\cancel{10\,\%}$ &$\cancel{21\,\%}$ &\ovalbox{10,2\,\% }\\
\end{tabularx}
Le coefficient multiplicateur global est $\np{0.84}\times \np{0.96}=\np{0,8064}$. Puisqu'il y a eu deux baisses consécutives, si $t$ est le taux moyen
 le coefficient multiplicateur global est $(1+t)^2$ d'où $t=\sqrt{(1+t)^2}-1$. On a $t=\sqrt{0,8064} - 1 = -\np{10,2}$ soit une baisse moyenne de \np{10,2}~\%
\medskip
 
\item On considère la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de terme initial $u_{0} =  0,5$ et de raison $2$.
 
Le quinzième terme de la suite $\left(u_{n}\right)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet$~~}X}} 
$\cancel{u_{14} = 28,5}$&\ovalbox{$u_{14}  = \np{8192}$}& $\cancel{u_{15} = \np{16384}}$\\
\end{tabularx}
  Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. Le quinzième terme de la suite est $u_{14}$
En appliquant $u_{14}=\np{0.5}\times 2^{14}= \np{8192}$  
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip
 
Un magasin offre un choix de téléviseurs ayant des écrans de deux types: LCD ou plasma.
 
30\,\% des écrans proposés sont de type plasma. 60\,\% des écrans plasma et 50\,\% des écrans LCD sont soldés. 

Un téléviseur est choisi au hasard dans le catalogue du magasin. On admet que tous les téléviseurs ont la même probabilité d'être choisis. On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $P$ l'évènement : \og l'écran est de type plasma \fg{}, a pour probabilité \np{0.3} lecture du texte 
\item $L$ l'évènement : \og l'écran est de type LCD \fg{}, a pour probabilité \np{0.7} évènement complémentaire du précédent.
\item $S$ l'évènement : \og le téléviseur est soldé \fg{}.  
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item   L'évènement $\overline{S}$ est l'évènement \og le téléviseur n'est pas soldé \fg. 
\item  Complétons l'arbre de probabilités. 
\vspace{0.5cm}

\psset{arrows=->}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$P$}\taput{$0,3$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,6$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,4$}
 		}
	\pstree{\TR{$L$}\tbput{$0,7$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,5$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,5$}
 		}
}

\vspace{0.5cm}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'évènement $P \cap S$ est l'évènement \og le téléviseur est à écran plasma et est soldé\fg . 
		\item Calculons \begin{itemize}
\item [$\bullet$] $p(P \cap S)$. La probabilité  de $P \cap S$ est le produit des probabilités selon les branches. \[p(P\cap S)=p(P)p_P(S)=\np{0,3}\times\np{0,6}=\np{0,18}.\] 
\item [$\bullet$] $p(L \cap S)$. De même ici \[p(L\cap S) = p(L)p_P(S) = \np{0,7}\times\np{0,5}=\np{0,35}.\] 
\end{itemize}
	\end{enumerate} 
\item Montrons que la probabilité qu'un téléviseur choisi au hasard soit soldé est égale à $0,53$.
 La probablité que le téléviseur choisi au hasard soit soldé est la somme des probabilités  de $P \cap S$ et de $L \cap S$.
 
 $p(S)=\np{0.18}+\np{0.35}=\np{0.35}$. Elle  est bien égale à $0,53$.
 
\item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 On prélève au hasard un téléviseur parmi ceux qui sont soldés. Sachant que le téléviseur choisi au hasard est soldé, calculons la probabilité qu'il ait un écran LCD ce qui revient à calculer la probabilité de L sachant S. \[p_S(L) = \frac{p(L\cap S)}{p(S)} =\frac{\np{0,35}}{\np{0,53}}=\np{0,6604}\]. 

\item Les évènements $L$ et $S$ sont indépendants si et seulement si \makebox{$p(L\cap S)=p(L)\times p(S)$}.
\[p(L)\times p(S)=\np{0,7}\times \np{0,53}=\np{0,371}.\] Ceci est différent de $p(L\cap S)=\np{0,35}$. Par conséquent les évènements ne sont pas indépendants. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise commercialise une boisson énergisante depuis 2002.
 
Le tableau ci-dessous donne le nombre, exprimé en millions, de boissons vendues chaque année entre 2002 et 2011.

\medskip
\begin{center}
{\scriptsize
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{3,5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &\small 2002 &\small 2003 &\small 2004 &\small 2005 &\small 2006 &\small 2007 &\small 2008 &\small 2009 &\small 2010 &\small 2011\\ \hline%
Rang $x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline% 
Nombre $y_{i}$ de boissons vendues (en millions)&2,9 &3,5 &4,9 &6,5 &6,9 &7,2 &8,3 &8,7 &8,9 &9,3\\ \hline%
\end{tabularx}
}
\end{center}
\medskip 

 \textbf{PARTIE A : modélisation par un ajustement affine}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Construisons le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthonormal.   

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Une équation de la droite $\mathcal{D}$ déterminée à l'aide de la calculatrice qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ obtenu par la méthode des moindres carrés, est $y=\np{0.73}x+\np{2.71}$
		\item Traçons la droite $\mathcal{D}$ dans le repère défini à la question 1.
		 
En supposant que l'ajustement affine réalisé reste valable jusqu'en 2015, déterminons le nombre de boissons qui seront vendues en 2013.Pour 2013, le rang est 12. Remplaçons alors $x$ par 12 dans l'équation de la droite . $y==\np{0.73}\times 12+\np{2.71}=\np{11.47}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{flushleft}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(14,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-0.5)(14,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-0.5)(14,12)
\multido{\n=-0.25+0.50}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\uput[d](14.5,0){rang} \uput[r](0,11.8){boissons vendues en millions}
\psdots(1,2.9)(2,3.5)(3,4.9)(4,6.5)(5,6.9)(6,7.2)(7,8.3)(8,8.7)(9,8.9)(10,9.3)
\psplot[plotpoints=500, linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{0}{12.63}{0.73 x mul 2.71 add}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](12,0)(12,11.47)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.54pt](0,11.47)(12,11.47)
\rput(-0.5,11.47){\textcolor{red}{\np{11.47}}}
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : modélisation par une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] par : 

\[f(x) = 15 - 285 \times \dfrac{1}{ 3x + 20}\]
 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Complétons le tableau : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0		&1		&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 \\ \hline
$f(x)$ 	&0,75	&2,61	&\textcolor{red}{\np{4.04}}	&\textcolor{red}{\np{5.17}}	&\textcolor{red}{\np{6.09}}	&\textcolor{red}{\np{6.86}}	&\textcolor{red}{\np{7.5}}	&\textcolor{red}{\np{8.05}}&\textcolor{red}{\np{8.52}}	&\textcolor{red}{\np{8.94}}	& \textcolor{red}{\np{9.3}}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		
\item La conjecture  que l'on peut faire, par lecture graphique, concernant le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]  est qu'elle est croissante sur cet intervalle.
		\item Calculons la dérivée de $f$.

$f =g+h$ où $g(x)=15$ et $h(x)= - 285\times \dfrac{1}{ 3x + 20}$

$g^{\prime}(x)=0$ \hspace{1cm} $h= k\times \dfrac{1}{u}$\hspace{3mm} où $u(x) = 3x + 20)$ \hspace{5mm}$u'(x)=3$ et $h^{\prime}(x) = - 285\times \dfrac{-3}{(3x + 20)^2}$
 
 \[ f^{\prime}(x) =g^{\prime}(x) + h^{\prime}(x)= \dfrac{ (- 285)\times (-3)}{(3x + 20)^2} = \dfrac{855}{(3x + 20)^2}.\]
 
		\item Pour tout $x\in [0~;~20]\; f^{\prime}(x)>0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
	\end{enumerate} 
\item On admettra dans la suite de l'exercice que la fonction $f$ peut-être considérée comme une modélisation valable des ventes de boissons énergisantes jusqu'en 2020, l'année 2002 étant prise comme année de rang $0$. 
	\begin{enumerate}
		\item  L'année 2015 est l'année de rang 13. $f(13) = 15 - 285 \times \dfrac{1}{ 3\times 13 + 20}\approx \np{10.17}$
		\item  La quantité de boissons vendues est supérieure à $10,8$~millions à partir de 2018.

En effet $f(15)=\np{10.6}$ et $f(16) \approx \np{10.809}$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}
\begin{flushleft}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(14,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-0.5)(14,12)
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\rput(-0.5,11.47){\textcolor{red}{\np{11.47}}}
\end{pspicture}
\end{flushleft}

\newpage
\begin{center}

\emph{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
 
\textbf{EXERCICE 2}



\textbf{EXERCICE 3 - Partie B : Courbe représentative de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath 

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.5cm}
%\psset{arrows=none}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(23,14)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}