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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\Métropole 12 septembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\text{i}$ est :

On a $|z|^2 = 5^2 + 5^2 = 2 \times 5^2 = \left(5\sqrt{2} \right)^2$, donc $|z| = 5\sqrt{2}$.

Donc $z = 5\sqrt{2}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5\sqrt{2}\left(\cos  3\frac{\pi}{4} + \text{i}\sin 3\frac{\pi}{4}\right) = 5\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ : réponse b.  
%	\begin{enumerate}
%		\item $z = 5\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
%		\item $z = 5\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
%		\item $z = 5\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$  
%		\item $z = 5\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
%	\end{enumerate} 
\item %Si $z_{1} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe : 
%	\begin{enumerate}
%		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$ 
%		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
%		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
%		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
%	\end{enumerate}
$z_{1} \times z_{2} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}} = 4\text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right)} = 4 \text{e}^{\frac{9\pi}{12} - \frac{4\pi}{12}} = 4 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$. Réponse c.		
\item %Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
%	\begin{enumerate}
%		\item 1 
%		\item i		 
%		\item $-1$
%		\item  $- \text{i}$
%	\end{enumerate}	
$\dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}} = \dfrac{\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)} = \dfrac{2 - 2 - 4\text{i}}{2 + 2} = - \text{i}$. Réponse d.	 
\item %Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$  a pour forme algébrique :
%	\begin{enumerate}
%		\item $\sqrt{3} - 3\text{i}$ 
%		\item $3 - \text{i}\sqrt{3}$ 
%		\item $- \sqrt{3} + 3\text{i}$ 
%		\item $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ 
%	\end{enumerate}
Ce complexe s'écrit :

$2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{2\pi}{3} +   \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) = 2\sqrt{3}\left(- \frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = - \sqrt{3} + 3\text{i}$. Réponse c.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip 

%Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de $125$~grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de $125$~grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de [124~;~127,5].
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.
Par lecture de la table : $p(X > 125,5) = 0,500$. 
		\item %Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.
$X$ doit être comprise entre 124 et 127,5 ces deux nombres compris.

Or $p(X < 124) = \np{0,0227501}$ et $p(X > 127,5)  = 1 - \np{0,9961696} = \np{0,0038304}$.

Donc $p(124 \leqslant X \leqslant 127,5) = 1 - \np{0,0227501} - \np{0,0038304} = \np{0,97342} \approx 0,973$. 
		\item %En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.

On a $p(X < 124) + p(X > 27,5) = \np{0,0038304} + \np{0,0227501} \approx \np{0,0266}$.		
		\medskip
		 
%\emph{On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.}


%{\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.5cm}|X|p{0.01mm}|p{0.5cm}|X|p{0.05cm}|p{0.5cm}|X|p{0.01mm}|p{0.5cm}|X|}\cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
%$a$& \tiny $p(X \leqslant a)$&~&$a$&{\tiny $p(X\leqslant a)$}&~&$a$&\tiny $p(X \leqslant a)$&~&$a$&\tiny $p(X \leqslant a)$\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
%122,00&\np{0,0000015}&&123,50 &\np{0,0038304}&&125,00& \np{0,2524925}&&126,50 &\np{0,9087888}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
%122,25&\np{0,0000073}&&123,75 &\np{0,0098153}&&125,25 &\np{0,3694413}&&126,75 &\np{0,9522096}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
%122,50&\np{0,0000317}&&124,00 &\np{0,0227501}&&125,50 &\np{0,5000000}&&127,00 &\np{0,9772499}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}     
%122,75&\np{0,0001229}&&124,25 &\np{0,0477904}&&125,75 &\np{0,6305587}&&127,25 &\np{0,9901847}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
%123,00&\np{0,0004291}&&124,50 &\np{0,0912112}&&126,00 &\np{0,7475075}&&127,50 &\np{0,9961696}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
%123,25&\np{0,0013499}&& 124,75 &\np{0,1586553}&&126,25 &\np{0,8413447}&&127,75&\np{0,9986501}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}
%\end{tabularx}}

	\end{enumerate} 
\item %Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de $300$ barres de pâte d'amande dans la production et constate que $280$ barres de pâte d'amande sont conformes.
 
%On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97\,\%.
% 
%On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près).
On a $p = 0,97 ; q = 0,03 ; n = 300$.

D'une part $p - 1,96 \sqrt{\left(\frac{p(1 - p}{n} \right)} = 0,97 - 1,96\sqrt{\left(\frac{0,97(1 - 0,97}{300} \right)} = 0,97 - \np{0,0193} \approx 0,95$ ; d'autre part 

$p + 1,96 \sqrt{\left(\frac{p(1 - p}{n} \right)} = 0,97 + 1,96\sqrt{\left(\frac{0,97(1 - 0,97}{300} \right)} = 0,97 + \np{0,0193} \approx 0,996$.

D'o\`u l'intervalle de confiance [0,95~;~0,99]. 
		\item %Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine ?
		Sur 300 barres, 280 sont conformes, soit une fréquence de $\dfrac{280}{300} \approx 0,93$ : cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de confiance. La machine doit être réglée. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip
 
%Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à $635$~milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à $100$~milligrammes par kilomètre.
% 
%La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7\,\% par an.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
On a $635(1 - 0,117) = 560,705 \approx 571$~(milligrammes). 
		\item Un véhicule émettait $500$~milligrammes par kilomètre en 2002.
		 
%Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
Norme en 2002 : $561 \times (1 - 0,117) = 495,363 \approx 495$. Le véhicule ne respecte pas la norme en 2002.
	\end{enumerate} 
\item %Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 

%Louise a amorcé l'algorithme suivant :
~
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textbf{Variables}\\ 
\qquad $n$ : un nombre entier naturel \\
\qquad $p$ : un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\ 
\qquad Affecter à $n$ la valeur $0$\\
\qquad Affecter à $p$ la valeur $635$\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
\qquad Tant que $p > 100$\\ 
\qquad \qquad Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\qquad \qquad Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$\\
\qquad  Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie}\\ 
\qquad Afficher $2000 + n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ ».
Chaque année l'émission doit baisser de 11,7\,\%, ce qui revient à multiplier par $1 - 0,117 = 0,883$. 
		\item %Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
		Voir l'algorithme.
	\end{enumerate} 
\item %Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes  l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		On a de fa\c{c}on évidente :
		
$u_{1} = 0,883u_{0}$ ;  $u_{2} = 0,883u_{1} =  0,883^2 u_{0} $ ; 

$u_{3} = 0,883 u_{2} = 0883^3 u_{0}, \ldots,  \:u_{n} = 0,883^n \times u_{0} = 0,883^n \times 635$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $0,883$ de premier terme $u_{0} = 635$.
		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		On sait que $u_{n} = 635 \times 0,883^n$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.
Il faut résoudre dans $\N$, l'inéquation :

$635 \times 0,883^n < 100 \iff 0,883^n < \dfrac{100}{635} \iff n \ln 0,883 < \ln \left(\dfrac{100}{635} \right)$ soit à peu près $n > 14,8$. Il faudra attendre 15 ans, soit pas avant 2015. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

%Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. 
%
%La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.1cm} 
%\begin{pspicture}(-60,-4)(60,75)
%\multido{\n=-50+10}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,75)}
%\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-55,\n)(55,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-60,-4)(60,75)
%\uput[ur](0,60){S}\uput[dl](30,37.66){K}\uput[ur](30,0){H}\uput[d](-55,0){B}
%\uput[d](55,0){A}\uput[d](65,0){$x$}\uput[r](0,75){$y$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\psframe(30,0)(27,3)\psframe(0,0)(-3,3)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{55.45}{80 2.71828 0.025 x mul exp 20 mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-55.45}{0}{80 2.71828 0.025 x  mul neg exp 20 mul sub}
%\psline(30,0)(30,37.66)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH = 30~m. 
% 
%L'arc $\widearc{\text{SA}}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle [0~;~60], dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. 
%
%Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] OS $= 60$ ; 
%\item[$\bullet~~$] HK $ > 35$ ; 
%\item[$\bullet~~$] la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~60] ; 
%\item[$\bullet~~$] OA $ \leqslant  60$. 
%\end{itemize}
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A - Étude d'une fonction numérique}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~60] par 

%\[f(x) = 80 - 20\text{e}^{0,025x}\]
%
% vérifie les trois premières conditions du cahier des charges. 
$\bullet~~$OS $ = f(0) = 80 - 20\text{e}^{0}= 80 - 20 = 60$.

$\bullet~~$HK $ = f(30) = 80 - 20\text{e}^{0,025 \times 30} = 80 - 20\text{e}^{0,75} \approx 37,7 > 35$.

$\bullet~~$$f'(x) = - 20 \times 0,025 \text{e}^{0,025x} = - 0,5\text{e}^{0,025x}$. Comme $\text{e}^{0,025x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur [0~;~60]. 
\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. 
La calculatrice donne : $f(55) \approx 0,9 ; f(56) \approx -1$, donc $55 < a < 56$.

$f(55,4) \approx 0,1$ et $f(55,5) \approx - 0,1$, donc $55,4 < a < 55,5$.
%Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.

OA $ = a \approx 55,5$, donc la quatrième est remplie. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Calcul d'intégrale et application}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %La fonction $F$ est définie sur l'intervalle [0~;~60] par 
		
%\[F(x) = 80x - 800\text{e}^{0,025x}.\]
 
%Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~60].
On calcule sur  [0~;~60] $F'(x) = 80 - 800 \times 0,025\text{e}^{0,025x} = 80 - 20\text{e}^{0,025x} = f(x)$ : $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~60].
		\item %Calculer la valeur exacte de l'intégrale 
 
%\[J = \displaystyle\int_{0}^{55,5}	f(x)\:\text{d}x\]
$J = \displaystyle\int_{0}^{55,5}	f(x)\:\text{d}x  = \left[F(x) \right]_{0}^{55,5} = F(55,5) - F(0) = 80 \times 55,5 - 800\text{e}^{0,025 \times 55,5} - \left(80 \times 0 - 800\text{e}^{0,025\times 0} \right) = \np{4440} - 800\text{e}^{\np{1,3875}} + 800 = \np{5240} - 800\text{e}^{\np{1,3875}}$.
		\item %Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
$J \approx \np{2036,14}$.
	\end{enumerate} 
\item %On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
L'aire $\mathcal{A}$ de la surface à peindre est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en m$^2$.
$\mathcal{A} = 2 J \approx 2 \times \np{2036,14}$, soit  $\mathcal{A} \approx \np{4072,28}$~m$^2$. 
		\item %La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de $68$ litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de $0,2$ mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?
Un bidon permet de peindre $68 \times 0,2 = 13,6$~m$^2$.
		
Pour peindre $\np{4072,28}$~m$^2$ il faudra donc : $\dfrac{\np{4072,28}}{13,6} \approx 299,4$.

Il faudra donc 300~bidons de peinture.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}