\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STL 14 septembre 2010~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

%\begin{center}
%
%Calculatrice et formulaire autorisés 
%
%\vspace{0,4cm}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%On considère l'équation différentielle :
% 
%\[(\text{E}) :\quad  4 y'' + 25 y = 0,\]
% 
%dans laquelle $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ la fonction dérivée seconde de $y$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle (E).
$4 y'' + 25 y = 0 \iff y'' + \dfrac{25}{4}y = 0 \iff y'' + \left( \dfrac{5}{2}\right)^2y = 0$.
On sait que les solutions s'écrivent :

$f(t) = A \cos \dfrac{5t}{2} + B \sin  \dfrac{5t}{2},~A \in \R,~B \in \R$.
\item %Déterminer la fonction $f$, solution de (E) vérifiant : $f(0) = \sqrt{2}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$.
Soit une solution de l'équation (E) ; sa dérivée s'écrit $f'(t) = - \dfrac{5}{2}A \sin \dfrac{5t}{2} + \dfrac{5}{2}\cos \dfrac{5t}{2}$.

Or 
$\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=& \sqrt{2}\\
f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &=& 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&\sqrt{2}\\
- \dfrac{5}{2}A \sin \dfrac{5\pi}{4} + \dfrac{5}{2}B\cos \dfrac{5\pi}{4}&=&0
\end{array}\right. \iff$

 
$\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&\sqrt{2}\\
- \dfrac{5}{2}\sqrt{2} \times \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + \dfrac{5}{2}B\times \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)&=&0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&\sqrt{2}\\
B&=&\sqrt{2}
\end{array}\right.$

La solution de (E) vérifiant les deux conditions est donc la fonction définie sur $\R$ par :

$f(x) = \sqrt{2}\cos \dfrac{5t}{2} + \sqrt{2}\sin \dfrac{5t}{2}$.  
\item %Vérifier que, pour tout $t$ de $\R$, on a : $f(t) = 2\cos \left(\dfrac{5}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right).
On peut, en factorisant 2 écrire :

$f(x) = 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \dfrac{5t}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}  \sin \dfrac{5t}{2}\right) = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{4}\cos \dfrac{5t}{2} + \sin \dfrac{\pi}{4}  \sin \dfrac{5t}{2}\right) = 2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} -  \dfrac{5t}{2}\right)  =$

$ 2\cos \left(\dfrac{5}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right)$. (par utilisation de la formule $\cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos (a - b)$ et de la parité de la fonction cos  : $\cos (x) = \cos (- x)$)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
% 
%\[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}, \quad  z_{\text{C}} = -2\left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\]
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$.
On a $\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{A}}\right| = 2$.

Donc $z_{\text{A}} = 2 \left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 2 \left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc égal à $\dfrac{5\pi}{6}$.

On a  $z_{\text{C}} = 2(1 + \sqrt{3})(- \text{i})$. 

Le module de $z_{\text{C}}$ est donc égal à $2(1 + \sqrt{3})$ et un argument de $z_{\text{C}}$ est   $\dfrac{- \pi}{2}$.
\item  %Écrire les nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. Placer les points A, B et C sur une figure.
On a donc  $z_{\text{A}} = 2 \text{e}^{\frac{5\pi}{6}}$ et $z_{\text{C}} = 4 \text{e}^{\frac{- 2\pi}{3}}$.

$z_{\text{C}} = 2(1 + \sqrt{3})\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{2}}$.

$z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right)  = 2  + 2\text{i}$.

On place A et C grâce au  module et à l'argument de leurs affixes ; on place B grâce à son écriture algébrique.
\item  %Déterminer la nature du triangle ABC.
On a AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 = \left|2 + \sqrt{3} + \text{i}(2 - 1) \right|^2 = 4 + 3 + 4\sqrt{3} + 1 = 8 + 4\sqrt{3}$ ;

AC$^2 = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}} \right|^2 = \left|-2(1 + \sqrt{3})\text{i} + \sqrt{3} - \text{i} \right|^2 = \left|(-3 - 2 \sqrt{3})\text{i} + \sqrt{3}  \right|^2 = 9 +  12  + 12\sqrt{3} + 3 = 24 + 12\sqrt{3}$ ;

BC$^2  = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}} \right|^2 = \left|-2(1 + \sqrt{3})\text{i} - 2 - 2\text{i} \right|^2 = \left|(- 4   - 2\sqrt{3})\text{i} - 2 \right|^2 = 16 + 12 + 16\sqrt{3} + 4 = 32 + 16\sqrt{3}$.

Or $8 + 4\sqrt{3} + 24 + 12\sqrt{3} = 32 + 16\sqrt{3} \iff \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2 \iff $ ABC est un triangle rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\item  %Déterminer l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.
Il suffit que ABDC soit un parallélogramme (car un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle),  donc que

 $\vect{\text{AB}} =  \vect{\text{CD}} \iff z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = z_{\text{D}} - z_{\text{C}} \iff z_{\text{D}} = z_{\text{B}} - z_{\text{A}} + z_{\text{C}} = $
 
$2 + 2\text{i} - \left(- \sqrt{3} + \text{i} \right) - 2\left( 1 + \sqrt{3}\right)\text{i} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}\left(-1 - 2 \sqrt{3} \right)$
\end{enumerate}


\medskip

\psset{unit=0.8cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-6)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-6)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(-1.732,1)(2,2)(0,-5.464)(3.732,-4.4641)
\uput[ul](-1.732,1){A}\uput[ur](2,2){B}\uput[r](0,-5.464){C}
\pspolygon(-1.732,1)(2,2)(0,-5.464)\uput[dr](3.732,-4.4641){D}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
%
%\[f( x) = - \text{e}^{2x} + 6\text{e}^{x} - 4x - 5.\]
% 
%On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unité graphique 5~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Montrer, pour tout $x$ réel, l'égalité : $f(x) = \text{e}^{x}\left(- \text{e}^{x}  + 6 - 4x\text{e}^{-x} - 5\text{e}^{-x}\right)$.
Développons $\text{e}^{x}\left(- \text{e}^{x}  + 6 - 4x\text{e}^{-x} - 5\text{e}^{-x}\right) = - \text{e}^{2x} + 6\text{e}^{x} - 4x - 5 = f(x)$.
%En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0, $

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, donc par somme des limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \text{e}^{x}  + 6 - 4x\text{e}^{-x} - 5\text{e}^{-x} = - \infty$ et enfin comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$ par produit de limites, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.  
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la dérivée de la fonction $f$. 
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = - 2\text{e}^{2x} + 6\text{e}^{x} - 4$.
		\item %Montrer, pour tout $x$ réel, l'égalité:
		
%\[f'(x) = 2\left(\text{e}^{x} - 1 \right)\left(2 - \text{e}^{x} \right).\]
Développons $2\left(\text{e}^{x} - 1 \right)\left(2 - \text{e}^{x} \right) = 2\left(2\text{e}^{x} - \text{e}^{2x} - 2 + \text{e}^{x}  \right) = 2\left(- \text{e}^{2x} + 3\text{e}^{x} - 2 \right) = - 2\text{e}^{2x} + 6\text{e}^{x} - 4 = f'(x)$. 
		\item %Étudier le signe de $f'$.
D'après la question précédente le signe de $f'(x)$ dépend du signe de chacun des facteurs $\text{e}^{x} - 1 $ et $2 - \text{e}^{x}$.

Or  $\text{e}^{x} - 1 > 0 \iff \text{e}^{x}  > 1 \iff x > 0$ (par croissance de la fonction logarithme népérien)  ;

De m\^eme $\text{e}^{x} - 1 < 0 \iff x < 0$ :

$2 - \text{e}^{x} > 0 \iff 2 > \text{e}^{x} \iff \ln 2 > x \iff x < \ln 2$ ;

De m\^eme $2 - \text{e}^{x} < 0 \iff x > \ln 2$.

D'où le tableau de signes :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.5)
\psframe(9,3.5) \psline(0,1)(9,1) \psline(0,2)(9,2) \psline(0,3)(9,3)
\psline(3,0)(3,3.5)
\uput[u](1.5,3){$x$} \uput[u](3.4,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){$0$} \uput[u](7,3){$\ln 2$} \uput[u](8.5,3){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.5){$\text{e}^{x} - 1$}\rput(4,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$0$} 
\rput(6,2.5){$+$} \rput(8,2.5){$+$}
\rput(1.5,1.5){$2 - \text{e}^{x}$}\rput(4,1.5){$+$}\rput(6,1.5){$+$}\rput(7,1.5){$0$} \rput(8,1.5){$-$}
\rput(1.5,0.5){$\left(\text{e}^{x} - 1 \right)\left(2 - \text{e}^{x} \right)$} \rput(4,0.5){$-$} \rput(5,0.5){$0$} \rput(6,0.5){$+$} 
\rput(7,0.5){$0$} \rput(8,0.5){$-$}   
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Dresser le tableau de variation de $f$. On calculera les valeurs exactes de $f(\ln 2)$ et $f(0)$.
On en déduit le tableau de variations de $f$ suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,3.5)
\psframe(9,3.5) \psline(0,2)(9,2)\psline(0,3)(9,3)
\psline(3,0)(3,3.5)
\uput[u](1.5,3){$x$} \uput[u](3.4,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){$0$} \uput[u](7,3){$\ln 2$} \uput[u](8.5,3){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.5){$f'(x)$} \rput(4,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$0$} \rput(6,2.5){$+$} \rput(7,2.5){$0$} \rput(8,2.5){$-$}
\psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(6.5,1.5)
\psline{->}(7.5,1.5)(8.5,0.5) \rput(1.5,1){$f(x)$}
\uput[u](5,0){0}\uput[d](7,2){$3 - 4\ln 2$}
\uput[d](3.5,2){$+ \infty$} \uput[u](8.5,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

On a $f(\ln 2) = - \text{e}^{2\ln 2} + 6\text{e}^{\ln 2} - 4\ln 2 + 5 = - \text{e}^{\ln 2^2} + 6\text{e}^{\ln 2} - 4\ln 2 - 5 = - 4 + 12 - 4\ln 2 - 5 = 3 - 4\ln 2$.

$f(0) =  - \text{e}^{2\times 0} + 6\text{e}^{0} - 4\times 0 + 5 = - 1 + 6 + 5 = 0$.
	\end{enumerate}		 
\item %Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera les résultats arrondis au centième.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
$x$&$-1$ &$-0,8$ &$-0,6$&$-0,4$&$-0,2$& 0& 0,2 &0,4 &0,6 &0,8&1\\ \hline 
$f(x)$&1,07&0,69&0,39&0,17&0,04&0&0,04&0,13&0,21&0,20&$-0,08$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item %Représenter la courbe $\mathcal{C}_{f}$. On placera les tangentes horizontales.
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $\mathcal{D}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = -1$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer ce domaine sur la figure.
Voir la figure. 
\item %Montrer l'égalité : $\displaystyle\int_{-1}^0  f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^{-2}}{2} - 6\text{e}^{-1}  + \dfrac{5}{2}$.
Une primitive de $- \text{e}^{2x}$ est $- \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$ ;

Une primitive de $6 \text{e}^{x}$ est $6\text{e}^{x}$ ;

Une primitive de $- 4x$ est $- 2x^{2}$ ;

Donc une primitive de $f(x)$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + 6\text{e}^{x} - 2x^{2} - 5x$.

On a donc :

$\displaystyle\int_{-1}^0  f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)\right]_{-1}^0 = F(0) - F(- 1) =$
 
$- \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0} + 6\text{e}^{0} - 2\times 0^{2} - 5\times 0 - \left(- \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times (- 1)} + 6\text{e}^{- 1} - 2\times (- 1)^{2} - 5\times (- 1) \right) =$

$- \dfrac{1}{2} + 6 + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2} - 6\text{e}^{- 1} + 2  - 5 =  \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2} - 6\text{e}^{- 1}$
\item %Exprimer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera un arrondi au centième de ce nombre.
Le tableau de variations montre que sur l'intervalle $[-1~;~0],~f(x) \geqslant 0$, donc l'aire de la partie hachurée est égale en unité d'aire à l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^0  f(x)\:\text{d}x$ soit à  $\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2} - 6\text{e}^{- 1}$~(u. a.)

Comme une unité d'aire est égale à $5 \times 10 = 50$~cm$^2
$, on a :

$\mathcal{D} = 50\left(\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2} - 6\text{e}^{- 1} \right)  = 125 + 25\text{e}^{- 2} - 300\text{e}^{- 1} \approx 18,02$~cm$^2$. (ce que l'on contrôle approximativement sur la figure)
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=5cm,yunit=10cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.2,-0.5)(1.2,1.2)
\multido{\n=-1.0+0.2}{11}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,-0.5)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.5+0.1}{18}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](-1,\n)(1,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.2,-0.5)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](0.95,0.1){\blue$\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.49,0.227)(0.89,0.227)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.2,0)(0.2,0)
\psline[linestyle=dashed](0.69,0)(0.69,0.227)\uput[d](0.69,0){$\ln 2$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.}{1.}{2.71828 x exp 6 mul 2.71828 2 x mul exp sub 4 x mul sub 5 sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.}{0}{2.71828 x exp 6 mul 2.71828 2 x mul exp sub 4 x mul sub 5 sub}
\psline(0,0)(-1,0)(-1,1.08)}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}