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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010~\decofourright\\[4pt]  Physique de laboratoire}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

%\begin{center}

%Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

%\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. L'unité graphique est égale à 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 

%\[z^2 - 4z + 16 = 0.\]
On a $\Delta = 4^2 - 4 \times 16
= - 3 \times 16 = \left(4\text{i}\sqrt{3}\right)^2 < 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{4 + 4\text{i}\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3} \quad \text{et}~z_{2} = \overline{z_{1}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}.\]
 
\item %On considère les points du plan A et B d'affixes respectives : 

%\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  	z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\]
 
%Déterminer le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
$z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3} \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right|^2 =  2^2 + \left(2\sqrt{3} \right)^2 = 4 + 12 = 16 = 4^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{A}} \right| = \text{OA} = 4$.

En factorisant ce module : $z_{\text{A}} = 4 \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)  =$

$4 \left(\cos \left(- \frac{\pi}{3} \right) + \text{i}\sin \left(- \frac{\pi}{3} \right)\right)$. Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $- \dfrac{\pi}{3}$.

Comme $z_{\text{B}}$ est le conjugué de $z_{\text{A}}$, on a $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} =  4$ et un argument de $z_{\text{B}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$.  
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Soit le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} - 2\text{i}$.
On a de même	$\left|z_{\text{C}} \right|^2 = \left(2\sqrt{3} \right)^2  + 2^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{C}} \right| = \text{OC} = 4$.	 
%Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.
On a donc montré que OA = OB = OC = 4 ce qui prouve que les points A, B et C appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 4. 
		\item  %Construire le cercle $\mathcal{C}$ et les points A, B, C. (On laissera apparaître les traits de construction)
$z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ ont une partie réelle égale à 2 : ils sont sur le cercle $\mathcal{C}$ et sur la droite d'équation $ x = 2$.

\emph{Autre méthode :} les triangles OEB et OEA sont équilatéraux (triangles isocèles ayant un angle au sommet de 60\degres) : donc EB = EA = 4.

A et B sont donc les points communs à $\mathcal{C}$ et au cercle de centre E et de rayon 4.

(E est le point de $\mathcal{C}$ d'affixe 4 : voir plus bas.)

$z_{\text{C}}$ a une partie imaginaire égale à $-2\text{i}$ : il appartient donc au cercle $\mathcal{C}$ et à la droite d'équation $y = -2$, sa partie réelle étant négative.
	\end{enumerate} 
\item %Soit le point D d'affixe $z_{\text{D}} = 4\text{i}$. Montrer que le point D a pour image le point C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
Par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$, un point $M$ d'affixe $z$ a pour image le point $M'$ d'affixe $z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$. 

L'image de  a donc pour image le point d'affixe $4\text{i}\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = - 2\text{i} - 2\sqrt{3} = z_{\text{C}}$

Par la rotation le point D a pour image le point C 
\item %Montrer que le point E, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$, appartient au cercle $\mathcal{C}$. Placer le point E sur le graphique.
Par définition de la translation on doit avoir : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{OB}}$ ce qui se traduit en termes d'affixe par $z_{\vect{\text{AE}}} = z_{\vect{\text{OB}}}$, soit $z_{\text{E}} - z_{\text{A}} = z_{\text{B}}$ ou encore $z_{\text{E}} - 2 + 2\text{i}\sqrt{3} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$, donc finalement :

$z_{\text{E}} = 4$.

Comme $\left|z_{\text{E}} \right| = 4$, le point  appartient au cercle $\mathcal{C}$.

\emph{Autre méthode :} on aurait pu aussi montrer facilement  avec le triangle équilatéral (OEB)  que OE = 4, car (OBEA) est un losange.
\end{enumerate}

\medskip

%\psset{treesep=0.5cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,5){$y$}
\pscircle(0,0){4}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](2,-5)(2,5)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](-5,-2)(5,-2)
\psdots(4,0)(2,-3.464)(2,3.464)(-3.464,-2)(0,0)(0,4)
\uput[dr](2,-3.464){A}\uput[ur](2,3.464){B}\uput[dl](-3.464,-2){C}
\uput[ur](4,0){E}\uput[ur](0,4){D}
\psarc(4,0){4cm}{115}{125}
\psarc(4,0){4cm}{-125}{-115}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 
 
%\emph{Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme de fraction.}

%\medskip

%Une urne contient des boules de couleur numérotées.
% 
%\medskip

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Une boule blanche numérotée \ding{'300}, que l'on notera B1, 
%\item[$\bullet~$] Deux boules rouges numérotées \ding{'301} et \ding{'302}, que l'on notera R2 et R3 
%\item[$\bullet~$] Trois boules vertes numérotées \ding{'300}, \ding{'301} et \ding{'302}, que l'on notera V1, V2 et V3.  
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On extrait une boule de l'urne, puis une deuxième, sans avoir remis la première dans l'urne. 

%On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage, et le second celle obtenue au second tirage.
 
%Par exemple (R2~;~V3) est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée \ding{'301} et que la deuxième boule est verte numérotée \ding{'302}.
 
%Pour répondre aux questions posées, on pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre de résultats possibles.
Au premier tirage on a le choix entre 6 boules et au second entre 5 boules : il y a donc en tout $6 \times 5 = 30$ résultats différents possibles.

\medskip
{\small
\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{B$_{1}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{3}$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{R$_{2}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{B$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{3}$}
 		}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{R$_{3}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{B$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{3}$}
 		}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{V$_{1}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{B$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{3}$}
 		}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{V$_{2}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{B$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{3}$}
 		}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{V$_{3}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{B$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{R$_{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{1}$}
\Tdot~[tnpos=r]{V$_{2}$}
 		}
}
		
		 \end{center} }
		\item %On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]	A : %\og Les deux boules sont de la même couleur.\fg 
Chaque tirage a une probabilité de sortie de $\dfrac{1}{30}$. Il y a 8 tirages de boules de même couleur, donc $p(\text{A}) = 8 \times \dfrac{1}{30} = \dfrac{4}{15}$.
\item[] B : %\og Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. \fg
On a $6 = 2 \times 3 = 3 \times 2$ : il y a 6 tirages donnant un produit égal à 6, donc 

$p(\text{B}) = 6 \times \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{5}$.
\item[] C : %\og Il y a au moins une boule blanche. \fg
On compte les tirages contenant au moins une fois la lettre B : il y a 10 tirages, donc $p(\text{C}) = 10 \times \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{3}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\end{enumerate}

\item %Un jeu consiste à tirer 2 boules de l'urne, selon la méthode décrite dans la question 1.
 
%On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque résultat, le produit des numéros inscrits sur les deux boules.
 
%Exemple : on associe au tirage (B1 ; V2) le nombre 2 car $1 \times 2 = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$.
$X$ peut prendre les valeurs : 1~;~2~;~3~;~4~;~6~;~9. 
		\item %Montrer que la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur 9 est égale à $\dfrac{1}{15}$.
Il y a deux tirages conduisant à un produit égal à 9 : (R3~ ;~V3) et (V3~;~R3).

Donc $p(X = 9) = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$. 
		\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ sous forme de tableau
Tableau de la loi de probabilité de $X$ : 
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.75}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = x_{i}$&1&2&3&4&6&9\\ \hline		
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{1}{15}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
On a $\text{E}(X) = 1 \times \dfrac{1}{15} + 2 \times \dfrac{4}{15} + 3 \times \dfrac{4}{15} + 4 \times \dfrac{1}{15} + 6 \times \dfrac{4}{15} + 9 \times \dfrac{1}{15} = \dfrac{1 + 8 + 12 + 4 + 24 + 9}{15} = \dfrac{58}{15}.$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip 

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip 
 
%Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

%\[g(x) = x^2 + 3 - 2\ln x.\]
 
%On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide du tableau de signes de la fonction $g'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, indiquer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ : 

%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(6.5,2)
%\psframe(6.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,2)\psline(1.65,0)(1.65,1)\psline(1.75,0)(1.75,1)\psline(0,1)(6.5,1)
%\uput[u](0.75,1.2){$x$} \uput[u](1.7,1.2){$0$} \uput[u](4,1.2){$1$} \uput[u](6.2,1.2){$+ \infty$}
%\rput(0.75,0.5){$g'(x)$}\rput(2.75,0.5){$-$} \rput(4,0.5){0} \rput(5.25,0.5){$+$}  
%\end{pspicture}
%\end{center}
$\bullet~$ Sur ]0~ ;~1[, $g^{\prime}(x) < 0 \Rightarrow g$ est décroissante ;

$\bullet~$ Sur $]1~ ;~+\infty[,~g^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow g$ est croissante.
 
\item %Calculer $g(1)$ puis en déduire le signe de $g(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.
On a $g(1) = 1^2 + 3 - 2\ln 1 = 4$.

Le minimum de la fonction est supérieur à zéro, donc quel que soit $x \in ]0~;~+ \infty[,~g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
%Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2~cm.

%\medskip 

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

%\[f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{\ln x}{x}.\] 

%et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le repère \Oij. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{2}x = 0,~\displaystyle\lim_{x \to 0} - \dfrac{1}{2x} = - \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ ; ceci signifie que la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2}x = + \infty$, 
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} - \dfrac{1}{2x} = 0$ et 
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc par somme des limites :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
 	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par :
		
%\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}.\] 
La fonction $f$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ est dérivable sur cet intervalle.

Or $\left(\dfrac{\ln x}{x} \right)^{\prime} = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ ;

$\left(-\dfrac{1}{2x} \right)^{\prime} = \dfrac{2}{(2x)^2} = \dfrac{1}{2x^2}$.

Donc $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 + 1 + 2 - 2\ln x}{2x^2} = \dfrac{x^2 + 3 - 2\ln x}{2x^2}$.

On remarque que $f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ ; or sur $]0~;~+\infty[$ on a vu que $g(x) > 0$ et $x^2 > 0$, donc le quotient $f^{\prime}(x) > 0$.

Conclusion : sur $]0~;~+\infty[$ la fonction $f$ est croissante (strictement).
%En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.

 		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
On a donc le tableau de variations suivant :
		
\medskip
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(1,1){$f(x)$}
\uput[u](4.5,2){$+$} \uput[u](2.4,0){$- \infty$} 
\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.7,0.4)(6.3,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ une solution unique notée $\alpha$.
Sur $]0~;~+\infty[$, la fonction $f$ est dérivable et strictement croissante de $- \infty$ à $+ \infty$.

Il existe donc un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. 
		\item %Donner, en justifiant, un encadrement d'amplitude $0,01$ du nombre réel $\alpha$.
La calculatrice donne :
		
$\bullet~~$ $f(1) = 1$ donc $0 < \alpha < 1$ ;

$\bullet~~$ $f(0,6) \approx -0,385$ et $f(0,7) \approx 0,126$, donc $0,6 < \alpha < 0,7$ ;

$\bullet~~$	$f(0,67) \approx -0,009$ et $f(0,68) \approx 0,038$, donc $0,67 < \alpha < 0,68$.	
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
$M(x~;~y) \in T \iff y - f(1) = f'(1)(x - 1)$.

Or $f(1) = 1$ et $f'(1) = \dfrac{1^2 + 3 - 2\ln 1}{2\times 1^2} = 2$.

On a donc  $M(x~;~y) \in T \iff y - 1 = 2(x - 1) \iff y = 2x - 1$.
\item Soit %$\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
Soit la fonction $d$ définie sur  $]0~;~+\infty[$ par :

$d(x) = f(x) - \left[\dfrac{1}{2}x + 1 \right] = - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{\ln x}{x}$.

Or on a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{1}{2x} = 0$, ce qui montre que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item  %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe la courbe $\mathcal{C}$ en un point B d'abscisse $\text{e}^{\frac{1}{2}}$.
Il faut donc résoudre l'équation $d(x) = 0 \iff - \dfrac{1}{2x} +  \dfrac{\ln x}{x} = 0 \iff$

$\dfrac{2\ln x - 1}{x} = 0 \iff 2\ln x - 1 = 0 \iff
\ln x \dfrac{1}{2} \iff \text{e}^{\ln x} = \text{e}^{\frac{1}{2}} \iff x = \text{e}^{\frac{1}{2}}$.

La courbe $\mathcal{C}$ coupe la droite $\mathcal{D}$ au point B d'abscisse $\text{e}^{\frac{1}{2}}$.
		\item  %Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Il faut étudier le signe de la fonction $d$, définie par $d(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x}$ donc du numérateur $2\ln x - 1$ puisque le dénominateur $x$ est supérieur à zéro.
		
$\bullet~~$ $2\ln x - 1 > 0 \iff \ln x > \frac{1}{2} \iff x > \text{e}^{\frac{1}{2}}$ par croissance de la fonction ln ; ceci signifie que sur $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty\right[$ la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de l'asymptote $D$ ;

$\bullet~~$ $2\ln x - 1 < 0 \iff \ln x < \frac{1}{2} \iff x < \text{e}^{\frac{1}{2}}$ par croissance de la fonction ln ; ceci signifie que sur $]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}[$ la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de l'asymptote $D$.
		
	\end{enumerate}  
\item %Tracer dans le repère \Oij{} (unité graphique 2~cm) les droites $T$ et 	$\mathcal{D}$, ainsi que la courbe $\mathcal{C}$.
 Voir plus bas
\end{enumerate}


\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer sur le graphique la partie $E$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = $\text{e}^{\frac{1}{2}}$ et $x = \text{e}$.
Voir la figure. 
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $H$ définie par $H(x) = - (\ln x)^2$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
$H$ est une fonction dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et $H^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2} \times  2 \ln x \times (\ln x)^{\prime} = \ln x \times \dfrac{1}{x} =\dfrac{\ln x}{x}$.

Donc la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $]0~;~+\infty[$. 
		\item %En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ une primitive de $\dfrac{1}{2}x$ est $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{x^2}{4}$, une primitive de $- \dfrac{1}{2x}$ est $- \dfrac{1}{2}\ln x$.

Donc une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est la fonction $F$ définie par :

\[F(x) =  \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{\ln x}{2} + \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\]
		 
		\item %Montrer que la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée $E$ est, en unités d'aire,
 
%\[\mathcal{A} = \dfrac{2\text{e}^2 + 6\text{e} - 8\text{e}^{\frac{1}{2}} + 1}{8}.\]
On a vu que pour $x > \alpha \approx 0,67,~f(x) > 0$.

Or $\text{e}^{\frac{1}{2}} \approx 1,648$, donc sur l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~\text{e}\right]$, la fonction $f$ est positive et l'aire de la surface hachurée est en unités d'aire égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{\text{e}^{\frac{1}{2}}}^{\text{e}} f(x) \:\text{d}x = \left[ F(x) \right]_{\text{e}^{\frac{1}{2}}}^{\text{e}} = F(\text{e}) - F\left(\text{e}^{\frac{1}{2}} \right)$. 

$F(\text{e}) = \dfrac{\text{e}}{4} + \text{e} - \dfrac{1}{2}\times \ln e + \dfrac{1}{2} (\ln \text{e})^2 = \dfrac{\text{e}}{4} + \text{e} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{e}}{4} + \text{e}$.

On a $F\left(\text{e}^{\frac{1}{2}} \right) = \dfrac{\text{e}}{4} + \text{e}^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{2} \ln \text{e}^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{2}\left(\ln \text{e}^{\frac{1}{2}} \right)^2 = \dfrac{\text{e}}{4} + \text{e}^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4},$

$ \left(\text{car}~ \ln \text{e}^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\right) ;\: F\left(\text{e}^{\frac{1}{2}} \right) = \dfrac{\text{e}}{4} + \text{e}^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{8}$ ;

Finalement : $\mathcal{A} = \dfrac{\text{e}}{4} + \text{e}  - \dfrac{\text{e}}{4} - \text{e}^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2\text{e}^2 + 8\text{e} - 2\text{e} - 8\text{e}^{\frac{1}{2}} + 1}{8} =$

$\dfrac{2\text{e}^2 + 6\text{e} - 8\text{e}^{\frac{1}{2}} + 1}{8}$~(u. a.).

%En déduire une valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$.
L'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~ cm$^2$, donc en centimètres carrés, l'aire est égale à $\dfrac{2\text{e}^2 + 6\text{e} - 8\text{e}^{\frac{1}{2}} + 1}{2} \approx 9,45$~cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.35,-1.1)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.6pt,subgridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-1.25)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](4.8,0){$x$}\uput[l](0,3.3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](4,3.25){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](4,3){$D$} \uput[l](2,3){$T$}
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\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4.5}{x 2 div 1 add 1 2 x mul div sub x ln x div add}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.64872}{2.71828}{x 2 div 1 add 1 2 x mul div sub x ln x div add}
\psline(2.71828,0)(1.64872,0)
}
\psline(1.64872,0)(1.64872,1.82436)

\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}