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%Correction : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. M. G.}
\lfoot{\small{Métropole,\hspace{0.5 em}correction}}
\rfoot{\small{9 septembre 2014}}
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%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies du Management et de la Gestion \\Métropole   9 septembre 2014\hspace{1em}Correction}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chacune des quatre questions, une et une seule des réponses proposées est exacte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Chaque bonne réponse rapporte un point.\\
Aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou pour une absence de réponse.\\
Aucune justification n’est attendue.}
}
\medskip

En 2012, le prix d’un litre de carburant était de 1,40~\euro.

Ce prix a connu une augmentation de 3\,\% entre 2012 et 2013.

\begin{enumerate}
\item  Le prix d’un litre de carburant en 2013 était alors de :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$1,82$~\euro }&\textbf{b.~~}\psovalbox{ $1,442$~\euro }&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$1,43$~\euro}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ 4,40$~\euro}
\end{tabularx}
\medskip

\item Ce prix augmente à nouveau de 10\,\% entre 2013 et 2014.

Entre 2012 et 2014, le prix a globalement augmenté de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$13\,\%$}&\textbf{b.~~}\psovalbox{ $ 13,3 \,\%$ }&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ 43\,\%$} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$11,33\,\%$}
\end{tabularx}
\medskip

\item On prévoit que, sur la période 2014 – 2016, le prix du litre de carburant va augmenter
globalement de 12,36\,\%.

Le taux d’évolution annuel moyen sur cette période sera alors de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psovalbox{$6\,\%$ }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$6,18\,\%$} &\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$3,52\,\%$} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $3,09\,\% $}
\end{tabularx}
\medskip 

\item En supposant que, durant les quatre années précédant 2012, le prix d’un litre de
carburant a augmenté de 5\,\% par an, le prix d’un litre de carburant en 2008, au centime
près, était de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $1,14$~\euro }&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $1,20$~\euro }&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $1,128$~\euro} &\textbf{d.~~}\psovalbox{ $1,15$~\euro}
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\smallskip
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\emph{Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip
{\footnotesize
Un magasin vend des appareils électroménagers. Une enquête statistique sur ses clients a
montré que :
\begin{itemize}
\item [\textbullet] 10\,\% des clients achètent un réfrigérateur ;
\item [\textbullet] parmi les clients qui achètent un réfrigérateur, 30\,\% achètent aussi un four à micro-ondes ;
\item [\textbullet] parmi les clients qui n’achètent pas de réfrigérateur, 15\,\% achètent un four à micro-ondes.
\end{itemize}

On choisit au hasard un client du magasin.

On considère les évènements $R$ et $M$ suivants :
\begin{description}
 \item[] $R$ : \og le client achète un réfrigérateur\fg
 \item[] $M$ : \og le client achète un four à micro-ondes\fg.
\end{description}
Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$
l’évènement contraire de $E$ ; si de plus $F$ est un évènement de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de l’évènement $E$
sachant que $F$ est réalisé.
}


\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Donnons les valeurs de 
\begin{itemize}
\item[\textbullet] $p(R)$ : $p(R)=\np{0.1}$ car 10\,\% des clients achètent un réfrigérateur
\item[\textbullet] $p_R(M)$ : $p_R(M)= \np{0.3}$ car parmi les clients qui achètent un réfrigérateur, 30\,\% achètent aussi un four à micro-ondes ;
\item[\textbullet] $p_{\overline{R}}(M)$ : $p_{\overline{R}}(M)=\np{0.15}$  car parmi les clients qui n’achètent pas de réfrigérateur, 15\,\% achètent un four à micro-ondes.
\end{itemize}

\item Complétons l'arbre pondéré décrivant la situation.

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm , labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$}\taput{\np{0.1}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.3}}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.7}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.9}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.15}}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.85}}
	}
}
\end{center}

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item  $R \cap M$ est l'évènement : \og le client achète un réfrigérateur et un four à micro-ondes \fg.
	\item Calculons la probabilité de l’évènement $R \cap M $.

	$p(R\cap M)=p(R)\times p_{R}(M)=\np{0,1}\times \np{0,3}=\np{0,03}$. 
	\item Montrons que la probabilité qu’un client choisi au hasard achète un four à micro-ondes est égale à 0,165.

	$p(M)= p(R)\times p_{R}(M)+ p\left(\overline{R}\right)\times p_{\overline{R}}(M)=\np{0,03}+\np{0,9}\times \np{0.15}=\np{0,03}+\np{0,135}$.

Nous avons bien la réponse attendue.
\item  La probabilité qu’un client choisi au hasard n’achète pas de réfrigérateur sachant qu’il a acheté un four à micro-ondes est notée $p_{M}\left(\overline{R}\right)$.

$p_{M}(\overline{R})=\dfrac{p\left(\overline{R}\cap M\right)}{p(M)}=\dfrac{\np{0,135}}{\np{0,165}}=\np{0,818}$.
%On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un produit de nettoyage conditionné dans des flacons est aussi vendu par le magasin.

Le volume de produit contenu dans un flacon, en millilitres (mL), est modélisé par une variable
aléatoire $V$. On admet que $V$ suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart type 5.

Pour procéder à un contrôle, on prélève un flacon au hasard dans le stock du magasin.

\begin{enumerate}
\item  Donnons la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit
compris entre \np[mL]{240}  et \np[mL]{ 260}.

$p\left(240\leqslant V\leqslant 260\right)=\np{0,9545}$

{\footnotesize On pouvait remarquer que [240~;~260] est l'intervalle $[\mu-2\sigma~;~\mu +2\sigma]$}

\item  Donnons la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit inférieur ou égal à \np[mL]{240}.

$p(V\leqslant 240)\approx \np{0,023}$

{\footnotesize En poursuivant la remarque précédente et vu la symétrie par rapport à la moyenne,  $p(X\leqslant \mu-2\sigma) = p(X\geqslant \mu+2\sigma)=\dfrac{\np{0,05}}{2}$}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
On s'intéresse à la population d'une ville et on étudie plusieurs modèles d’évolution de cette population.

En 2013, la population de la ville était de \np{15 000} habitants.
}
\medskip

\textbf{Partie A - Étude de deux modèles d’évolution}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Hypothèse 1}

En analysant l’évolution récente, on fait d’abord l’hypothèse que le nombre d’habitants
augmente de \np{1000} habitants par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d’habitants pour l’année $(2013 +n)$.

 On a ainsi $u_{0}=\np{15000}$.
\begin{enumerate}
\item  $u_{1}$ représente le nombre d'habitants pour l'année 2014. 

 $u_{1}=\np{15000}+\np{1000}=\np{16000}$ et $u_{2}=\np{16000}+\np{1000}=\np{17000}$.
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison \np{1000} puisque chaque terme, sauf le premier, se déduit du précédent en ajoutant le même nombre. 
\item Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+(n)r$.
$u_n=\np{15000}+\np{1000}n$.
%Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Selon ce modèle,   la population en 2018 devrait être de \np{20000} habitants. Le rang de l'année est $5$, par conséquent nous avons  $u_5=\np{15000}+\np{1000}\times 5=\np{20000}$
\item Selon ce modèle, déterminons  en quelle année la population devrait atteindre \np{30 000} habitants. Pour ce faire, résolvons $\np{15000}+\np{1000}n=\np{30000}$

$\np{15000}+\np{1000}n=\np{30000}\iff n=\dfrac{\np{30000}-\np{15000}}{\np{1000}}=15$

La population devrait atteindre \np{30 000} habitants en 2028 (2013+15).
\end{enumerate}

\medskip

\item \textbf{Hypothèse 2}

On fait à présent l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 4,7\,\% par an.

Le nombre d’habitants pour l’année (2013 +$n$) est modélisé par le terme $v_{n}$ d’une suite
géométrique. Ainsi $v_{0}=\np{15000}$.
\begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution de $4,7\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de \np{1,047}.

  $v_{1}=\np{15000}\times\np{1.047}=\np{15705}$ et $v_{2}=\np{15705}\times \np{1.047}\approx \np{16443}$ .
\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de  raison $\np{1,047}$.
\item Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. 

$u_{n}=\np{15000}\times(\np{1.047})^n$ pour tout entier naturel $n$.

\item Selon ce modèle, le nombre d’habitants de la ville en 2028 est $v_{15}$ puisque le rang de l'année est 15. $v_{15}=\np{15000}\times \np{1.047}^{15}\approx \np{29874}$.
\item En examinant l’évolution de villes comparables à celle que l’on étudie ici, des experts
ont estimé que sa population allait augmenter de 50\,\% en 15 ans. Le résultat trouvé à la
question précédente n'est pas en accord avec les prévisions des experts car la population est quasiment multipliée par 2 soit une augmentation de près de 100\,\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Analyse des résultats sur tableur}

\smallskip

On utilise un tableur pour comparer l’évolution de la population suivant les deux modèles.

Les cellules sont au format \og nombre à zéro décimale\fg.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{gray!30}}c|m{4.3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{gray!30}&\centering\textbf{A}& \textbf{B}& \textbf{C}& \textbf{D}& \textbf{E}&\textbf{ F}&\textbf{ G} & \textbf{H}&\textbf{I}\\
\hline
1&Année& 2013&2014&  2015&2016& 2017& 2018&2019&2020\\\hline
2&Rang&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline
 3& Population selon hypothèse 1&\np{15000}&&&&&&&\\\hline
 4& Population selon hypothèse 2&\np{15000}&&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une formule que nous pouvons  saisir dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers la droite, les
termes successifs de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 est =B\$3+1000
\item Une formule que nous pouvons saisir dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, les
termes successifs de la suite $\left(v_{n}\right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 est =B\$4*1,047
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip


On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [4~;~16] par :$f(x) = - x + 20 - \dfrac{64}{x}.$

On note $f^\prime$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminons $f'(x)$. $f'(x) = -1 - 64\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)=\dfrac{-x^2 + 64}{x^2}$. Par conséquent pour tout $x$ de l’intervalle $[4~;~16]$, nous avons bien : $f^\prime(x)=\dfrac{64-x^2}{x^2}.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudions le signe de $64 - x^2$. 
		
$64 - x^2=(8 + x)(8 - x)$. $\dfrac{x + 8}{x^2}$ est strictement positif sur l'intervalle [4~;~16], par conséquent $f'(x)$ est du signe de $8 - x$.
 
Sur $\R,\ 8 - x > 0\iff x < 8$.
 
Il en résulte  que le tableau de signes de $f'$ sur l’intervalle [4~;~16] est :
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2)
\psframe(6,1.5)
\psline(0,0.75)(6,0.75)\psline(1.2,0)(1.2,1.5)
\uput[u](0.55,0.9){$x$}\uput[u](1.4,0.9){$4$} \uput[u](3.55,0.9){$8$} \uput[u](5.75,0.9){ $16$}
\uput [d](0.55,0.65){$f'(x)$}\uput[d](2.47,0.65){$+$}\uput[d](4.65,0.65){$-$}\uput[d](3.55,0.65){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 Sur $]8~;~16],\ f'(x)<0$ par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)>0 $ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $[4~;~8[,\ f'(x)>0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l’intervalle [4~;~16]

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$4$} \uput[u](4.5,2.45) {$8$}    \uput[u](7.73,2.45){$16$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[dr](7.32,0.45){$0$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$4$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip
Une entreprise produit et commercialise entre 4 et 16 tonnes d’engrais par jour.

On admet que toute sa production est vendue.

Le bénéfice total (exprimé en centaines d’euros) réalisé pour une production de $x$ tonnes
d’engrais, est modélisé à l’aide de la fonction $B$  définie par :

\[B(x)=- x^2 + 20x - 64\]

\begin{enumerate}
\item En étudiant les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [4~;~16] déterminons la production permettant de réaliser un bénéfice total maximal.

Déterminons $B'(x)$. $B'(x) = - 2x + 20$

$B'(x)<0\iff x > 10$ et $B'(x) > 0 \iff x < 10$.

La fonction étant croissante sur [4~;~10[ et décroissante sur ]10~;~16], $B$ admet un maximum en $x = 10$. 
 
La production permettant un bénéfice maximum est de 10 tonnes.

Le bénéfice total est de $\np{3600}$~\euro. ($-10^2+20\times 10-64=36$).

\item Le bénéfice unitaire pour une production de $x$ tonnes d’engrais est donné par $\dfrac{B(x)}{x}$.

Le bénéfice total et le bénéfice unitaire sont-ils maximaux pour la même production d’engrais ? 

Non, car le bénéfice total est obtenu pour une production de 10 tonnes  et rapporte \np{3600}\,\euro{} tandis que
le bénéfice unitaire est obtenu pour une production de 8 tonnes  et rapporte \np{400}\,\euro.

%On pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
\end{enumerate}
\end{document}