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%Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small juin 2001}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers~\decofourright\\  juin 2001}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
  
\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

%Le directeur d'un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise
%une exposition.
%
%Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d'imaginer le
%parcours d'un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses
%suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Le visiteur passe \emph{au hasard} d'une salle à une salle voisine.
%\item[$\bullet~$] Pour sortir d'une salle, il franchit de manière équiprobable n'importe  quelle autre porte que celle qu'il a utilisée pour entrer.
%
%Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s'intéresse qu'aux quatre
%premières salles traversées, l'entrée E étant comprise dans celles-ci. Un
%trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre
%lettres, commençant par la lettre E. Par exemple :
%
%\item[$\bullet~$] Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on 
%codera son trajet par le mot EBDF.
%\item[$\bullet~$] Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses 
%choisies.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,8.5)
%\psline(0,1)(6.2,1)(6.2,7.2) \psline(0,1)(0,7.2)(4,7.2) 
%\psline(0.2,1.2)(2,1.2)(2,2)(2.2,2)(2.2,1)%bas gauche
%\psline(0.2,1.2)(0.2,3)(1,3)(1,3.2)(0.2,3.2)(0.2,5)(1,5)(1,5.2)
%(0.2,5.2)(0.2,7)(2,7)(2,6.2)(2.2,6.2)(2.2,7)(4,7)(4,5.2)
%(3.2,5.2)(3.2,5)(4,5)(4,4.2)(4.2,4.2)
%\psline(4.2,4)(4,4)(4,3.2)(3.2,3.2)(3.2,3)(4,3)(4,2.2)(4.2,2.2)
%(4.2,3)(5,3)(5,3.2)(4.2,3.2)(4.2,4)%intérieur gauche
%\psline(4.2,4.2)(4.2,7.2)
%\psline(1.2,3.2)(1.2,3)(2,3)(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,3)(3,3)(3,3.2)
%(2.2,3.2)(2.2,4)(2,4)(2,3.2)(1.2,3.2)%croix du bas
%\psline(1.2,5.2)(1.2,5)(2,5)(2,4.2)(2.2,4.2)(2.2,5)(3,5)(3,5.2)
%(2.2,5.2)(2.2,6)(2,6)(2,5.2)(1.2,5.2)% croix du haut
%\psline(4,1)(4,2)(4.2,2)(4.2,1.2)(6,1.2)(6,3)(5.2,3)(5.2,3.2)(6,3.2)(6,7.2)%bord droit
%\psarc(5.1,7.2){0.9}{0}{180}
%\psarc(5.1,7.2){1.1}{0}{180}
%\psarc(3.1,1){0.5}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.7}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.9}
%{-180}{0}
%\rput(3,2.3){Entrée} \rput(1,2){B} \rput(1,4){D} \rput(1,6){F} \rput(3,6){G} 
%\rput(3,4){A} \rput(3,1.7){E} \rput(5,2){C} \rput(5,5.5){T} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate} 
\item %On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes. 
	\begin{enumerate} 
		\item ~%Construire l'arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur.
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{E}}
{\pstree{\TR{A}\naput{$\frac{1}{3}$}}
	{\pstree{\TR{$D$}\naput{$\frac{1}{3}$}}
		{
		\TR{F}\naput{$\frac{1}{2}$}
		\TR{B}\nbput{$\frac{1}{2}$}
		}
	\pstree{\TR{G}\naput{$\frac{1}{3}$}}
		{\TR{F}\naput{1}
		}
	\pstree{\TR{T}\nbput{$\frac{1}{3}$}}
		{\TR{C}\naput{$1$}
		}
	}				
\pstree{\TR{B}\naput{$\frac{1}{3}$}}
	{\pstree{\TR{D}\naput{$1$}}
		{\TR{F}\naput{$\frac{1}{2}$}
		\TR{A}\nbput{$\frac{1}{2}$}
		}
	}
\pstree{\TR{C}\naput{$1$}}
	{\pstree{\TR{T}\naput{$1$}}
		{\Tr{A}\naput{1}
		}
	}
}
\end{center}
		\item %Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est $\dfrac{1}{6}$.
On a $p(\text{EBDF}) = p_{\text{B}} \times p_{\text{B}}(\text{D}) \times p_{\text{D}}(\text{F}) = \dfrac{1}{3} \times 1 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$.
		\item %Déterminer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement : \og La quatrième salle du trajet est F \fg.
On a $p(\text{EADF}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{18}$.
		
On a $p(\text{EAGF}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{1}{9}$.

Donc la probabilité que  la quatrième salle du trajet soit F est égale à :

$p_1 = p(\text{EADF}) + p(\text{EBDF}) + p(\text{EAGF}) = \dfrac{1}{18} +  \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1 +3 + 2 }{9 \times 2} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$.
		\item %Pour des raisons techniques, le directeur installe les {\oe}uvres les plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité $p_2$ de l'évènement \og Le trajet passe par la salle T \fg.
		$p_2 = p(\text{EATC}) + p(\text{ECTA}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times 1 + \dfrac{1}{3} \times 1 \times 1 = \dfrac{4}{9}$. 
	\end{enumerate} 
\item %Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes.
%On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement (X = 1).
La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{4}{9}$.

On a donc $p(\text{X}) = 1 = 1 \times \dfrac{4}{9} \times \left(1 - \dfrac{4}{9} \right)^{10-1} = \dfrac{4}{9} \times \left(\dfrac{5}{9}\right)^9 \approx \np{0,002241}$.		
\item %Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.)
On a $p(\text{X} = 0)  + p(\text{X}= 1) = \left(\dfrac{5}{9}\right)^{10} + 10 \times\dfrac{4}{9} \times\left(\dfrac{5}{9}\right)^9 \approx \np{0,025207}$.

Donc $p(\text{X}) \geqslant 2) = 1  [p(\text{X} = 0)  + p(\text{X}= 1)]\approx\np{0,9748} \approx 0,975$ au millième près.
		\item %Le directeur décide d'obliger les visiteurs à se diriger, après l'entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T.\\
%Prouver qu'il a tort.
Dans ces nouvelles conditions la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{1}{3}$.

On a donc $p(\text{X}) < 2) = p(\text{X} = 0) + p(\text{X} = 1) = \left(\dfrac{2}{3} \right)^{10} + 10 \times \dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{2}{3} \right)^{9} \approx \np{0,1041}$, donc :

$p(\text{X}) \geqslant 2) \approx \np{0,8959} \approx 0,896$. La probabilité est plus faible : il a tort.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 4~cm), dans lequel on considère les points A (2~;~0), B(0~;~2) et C$(- 2~;~- 2)$. 
\begin{enumerate} 
\item %Soient $a,~ b$ et $c$ les nombres définis pour $t$ réel par :

%\[\left\{ \begin{array}{l c l}
%a &=& - \dfrac{1}{2}\sin 2t + \dfrac{2}{3}\cos t + \dfrac{2}{3}\\
%b &=& \sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3}\\
%c & =&	- \dfrac{1}{2}\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3}\\
%\end{array} \right.\]
 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que, pour tout réel $t$, il existe un barycentre, noté $G(t)$, du système de points pondérés \{(A,~a) ; (B,~b) ; (C,~c)\}.
Calculons $a + b + c = - \dfrac{1}{2}\sin 2t + \dfrac{2}{3}\cos t + \dfrac{2}{3} + \sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3} = 3 \times \dfrac{2}{3} = 2 \ne 0$, donc le barycentre existe quel que soit le réel $t$.
		\item %Montrer que, pour tout réel $t$, les coordonnées du point $G(t)$ sont :

%\[x(t) = \cos t \quad \text{et} \quad y(t) = \dfrac{3}{2} \sin 2t.\]

%Lorsque le paramètre $t$ varie, ce barycentre décrit une courbe ($\Gamma$), que l'on se propose d'étudier.
On a par définition :

$a\vect{G(t)\text{A}} + b\vect{G(t)\text{B}} + c\vect{G(t)\text{C}} = \vect{0} \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
\left(2 - x(t) \right)\left(- \dfrac{1}{2}\sin 2t + \dfrac{2}{3}\cos t + \dfrac{2}{3} \right) + \left(0 - x(t) \right)\left(\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3} \right) + \left(- 2 - x \right)\left(- \dfrac{1}{2}\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3} \right) &=& 0\\
\left(0 - y(t) \right)\left(- \dfrac{1}{2}\sin 2t + \dfrac{2}{3}\cos t + \dfrac{2}{3} \right) + \left(2 - y(t) \right)\left(\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3} \right) + \left(- 2 - y(t) \right)\left(- \dfrac{1}{2}\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3} \right) &=& 0
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
2x(t) &=&2\cos t\\
2y(t)&=&3\sin 2t
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=&\cos t\\
y(t)&=&\dfrac{3}{2}\sin 2t
\end{array}\right.$.
	\end{enumerate} 
\item Étude des symétries de la courbe ($\Gamma$)
	\begin{enumerate} 
		\item %Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(t + 2\pi$).
On a $\cos (t + 2\pi) = \cos t$ et $\sin (2(t + 2\pi)) = \sin(2t + 4\pi)  = \sin 2t$, donc $x(t + 2\pi) = x(t)$ et $t(t + 2\pi) = y(t)$ : on a $G(t + 2\pi) = G(2\pi)$.
		\item %Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(- t)$.
On a $x(-t) = x(t)$ et $y(- t) = - y(t)$ : les points $G(- t)$ et $G(t)$ sont symétriques autour de l'axe des abscisses.
		\item %Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(\pi - t)$.
On a $\cos (\pi - t) = - \cos t$ et $\sin [2(\pi - t)] = \sin (- 2t) = \sin 2t$ : les points 

$G(\pi - t)$ et $G(t)$ sont symétriques par rapport à O.
		\item %Déduire de ce qui précède, en justifiant la démarche, un intervalle d'étude approprié pour les fonctions $x$ et $y$.
		La question précédente montre que l'on peut étudier la fonction sur l'intervalle $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$, d'en déduire le tracé sur $\left[\frac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ par symétrie autour de O, puis de construire la courbe par symétrie de la partie de courbe précédente par symétrie autour de l'axe des abscisses. On aura donc un tracé sur un intervalle $[-\pi~;~\pi]$ de longueur $2\pi$. Ce tracé peut être complété par translations de vecteur $2\pi\vect{\imath}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Étudier le sens de variation de chacune des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et les faire apparaître dans un même tableau.
La fonction cos est décroissante sur $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$ : la fonction $t \longmapsto \sin (2t)$ est croissante sur $\left[0~;~\frac{\pi}{4}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{\pi}{4}~;~\frac{\pi}{2}\right]$. D'où le tableau :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\psframe(7,5) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,4)(7,4)\psline(0,4.5)(7,4.5)
\psline(1,0)(1,5)
\uput[u](0.5,4.4){$t$} \uput[u](1.15,4.4){$0$} \uput[u](4,4.4){$\frac{\pi}{4}$} \uput[u](6.8,4.4){$\frac{\pi}{2}$} 
\uput[u](0.5,3.9){$2t$}\uput[u](1.15,3.9){$0$}\uput[u](4,3.9){$\frac{\pi}{2}$}\uput[u](6.8,3.9){$\pi$}
\uput[d](1.15,4){1} \rput(4,3){$\frac{\sqrt{2}}{2}$} \uput[u](6.8,0){0}\uput[u](6.8,2){0}
\uput[u](1.15,0){0} \uput[d](4,2){$\frac{3}{2}$}
\rput(0.5,3){$x(t)$} \rput(0.5,1){$y(t)$}
\psline{->}(1.5,3.5)(6.5,2.5)
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) 
\end{pspicture}		
\end{center}		
		\item %Placer les points de ($\Gamma$) correspondant aux valeurs du
% paramètre 0, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ et tracer les tangentes à la courbe ($\Gamma$) en ces points.
En tout point $G(t)$ la courbe $(\Gamma)$ a une tangente $\vect{t}(x'(t)~;~y'(t))$.

$\bullet~~$$\vect{t_0}(x'(0) = 0~;~y'(0) = 3)$

$\bullet~~$$\vect{t_{\frac{\pi}{4}}}(x'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}~;~y'(0) = 0)$

$\bullet~~$$\vect{t_{\frac{\pi}{2}}}(x'(\frac{\pi}{2}) = - 1~;~y'(\frac{\pi}{2}) = - 3)$
		\item ~%Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue lorsque $t$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis tracer ($\Gamma$) complètement.
%(Hors-programme en 2002)
\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.6)(1.1,1.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.1,-1.6)(1.1,1.6)
\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-180}{180}{t cos 2 t mul sin 1.5 mul}
\uput[ur](1,0){$G(0)$}\uput[ur](0,0){$G\left(\frac{\pi}{2} \right)$}
\uput[u](0.707,1.5){$G\left(\frac{\pi}{4} \right)$}
\uput[ur](0.707,0){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}\uput[ul](-0.707,0){$- \frac{\sqrt{2}}{2}$}
\psline[linewidth=0.4pt](0.707,-1.5)(0.707,1.5)
\psline[linewidth=0.4pt](-0.707,-1.5)(-0.707,1.5)
\psline[linewidth=0.4pt](-0.707,-1.5)(0.707,-1.5)
\psline[linewidth=0.4pt](-0.707,1.5)(0.707,1.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(1,-0.4)(1,0.4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-1,-0.4)(-1,0.4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-0.15,0.45)(0.15,-0.45)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-0.15,-0.45)(0.15,0.45)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-0.807,1.5)(-0.607,1.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(0.607,1.5)(0.807,1.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-0.807,-1.5)(-0.607,-1.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(0.607,-1.5)(0.807,-1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Un astronome a observé au jour J$_0$ le corps céleste A, qui apparaît
% périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J$_0$ + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J$_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de  l'astronome.
% 
%Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour  J$_1$.
 
\begin{enumerate} 
\item %Soient $u$ et $v$ le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J$_0$ et J$_1$. Montrer que le couple $(u~;~ v)$ est solution de l'équation (E$_1)$~ : 

%$35x - 27y = 2$.
On a : $\text{J}_1 = \text{J}_0 + 105u = \text{J}_0 + 6 + 81v \iff 105u - 81v = 6 \iff 35u - 27v = 2$ (après simplification par 3).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_0~;~y_0)$ solution particulière de l'équation (E$_2$) : 
		
%\[35x - 27y = 1.\]
On a $35 = 5 \times 7$ et $27 = 3^3$, donc 35 et 27 sont premiers entre eux.

On a successivement :

$35 = 27 \times 1 + 8$ ;

$27 = 8 \times 3 + 3$ ;

$8 = 3\times 2 + 2$ ;

$3 = 2 \times 1 + 1$, d'où en remontant les calculs :

$1 = 3 - 2 \times 1 = 3 - (8 - 3\times 2) = 3 \times 3 - 8 = 3(27 - 3\times 8) - 8 = 3\times 27 - 10\times 8 = 3\times 27 - 10(35 - 27)$, soit enfin :

$35 \times (- 10)  + 27 \times 13 = 1 \iff 35 \times (- 10)  - 27 \times (- 13) = 1 $.

Le couple $(- 10~;~- 13)$ est solution de (E$_2$).
		\item %En déduire une solution particulière $(u_0~;~v_0)$ de (E$_1$).
On déduit du résultat précédent en multipliant par 2 que :

$35 \times (- 20) - 27 \times (- 26) = 2$ : le couple $(- 20~;~- 26)$ est une solution de l'équation (E$_1$).
		\item %Déterminer toutes les solutions de l'équation (E$_1$).
$\left\{\begin{array}{l c l}
35x - 27y&=&2\\ 
35 \times (- 20) - 27 \times (- 26) &= &2
\end{array}\right. \implies$ (par différence) $35(x + 20) - 27(y + 26) = 0 \iff 35(x + 20) = 27(y + 26)$.

27 divise donc $35(x + 20)$, mais comme il est premier avec 35, d'après Gauss il divise $x + 20$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $x + 20 = 27k$ ou 

$x = 27k - 20$.

On en déduit que $35 \times 27k = 27(y + 26) \iff 35k = y + 26 \iff y = 35k - 26$.

Les solutions de (E$_1$) sont tous les couples d'entiers $(27k - 20~;~35k - 26)$ avec $k \in \Z$.
		\item %Déterminer la solution $(u~;~v)$ permettant de déterminer J$_1$.
Il faut trouver les entiers $u$ et $v$ les plus petits possibles ; ils sont obtenus pour $k = 1$ qui donne le couple (7~;~9).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Combien de jours s'écouleront entre J$_0$ et J$_1$ ?
$\text{J}_1 = \text{J}_0 + 105 \times 7 = \text{J}_0 + 735$. Il s'écoulera 735 jours.
		\item %Le jour J$_0$ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J$_1$ ? (L'année 2000 était bissextile.)
Jusqu'à fin décembre 1999, il s'écoulera 24 jours en 2000, en 2000, \:366 jours ,  soit 390 jours.
iIl s'écoulera en 2001, \: $735 - 390 = 345$ soit une année moins 20 jours, donc le 11 décembre 2001 qui sera aussi un mardi puisque $735 = 700 + 35  = 7 \times 105$ soit un nombre entier de semaines.
		\item %Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux astres ?
Les prochains jours de conjonction seront :
		
$\text{J}_0 + 105 u = \text{J}_0 + 105(27k - 20) = \text{J}_0 - \np{2100} + \np{2835}k$.
		
Le prochain jour sera obtenu pour $k = 2$ qui donne :
		
$\text{J}_0 - \np{2100} + \np{2835}\times 2 = \np{3570}$.

Or $ \np{3570} = 735$ (première attente) $+ \np{2835}$.

Il devra donc attendre \np{2835} jours de plus.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\textsl{Les objectifs du problème sont de déterminer une solution particulière d'une équation différentielle (partie A), d'étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).}
% 
%\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

%On appelle (E) l'équation différentielle : $y'' - y = 0$, où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\begin{enumerate} 
\item %Déterminer les réels $r$ tels que la fonction $h$, définie par $h(x) = \text{e}^{rx}$, soit solution de (E).
On a $h'(x) = r\text{e}^{rx}$, puis $h''(x) = r^2\text{e}^{rx}$.


$h$ est solution de (E) si et seulement si :

$r^2\text{e}^{rx} - \text{e}^{rx} = 0 \iff \text{e}^{rx}\left(r^2 - 1\right) = 0 \iff r^2 - 1 = 0 \iff r = - 1 \:\text{ou}\:r = 1$.

Les fonctions $x \longmapsto \text{e}^{x}$ et $x \longmapsto \text{e}^{-x}$sont solutions de (E).
\item %Vérifier que les fonctions $\varphi$ définies par 
%$\varphi(x) = \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}$, où
% $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels, sont des solutions de (E).
%On admet qu'on obtient ainsi toutes les solutions de (E).
$\varphi(x) = \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}$, donc $\varphi'(x) = \alpha \text{e}^x - \beta \text{e}^{- x}$ et $\varphi''(x) = \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}$, donc 

$\varphi$ est solution de (E) si et seulement si :

$\varphi''(x) - \varphi(x) =0 \iff \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x} - \alpha \text{e}^x - \beta \text{e}^{- x} = 0$ qui est bien vraie.
\item %Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe 
%représentative passe par le point de coordonnées $\left(\ln 2~;~ 
%\dfrac{3}{4}\right)$ et admet en ce point une tangente dont le coefficient
% directeur est $\dfrac{5}{4}$.
On a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\varphi(x) &=& \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}\\
\dfrac{3}{4}&=&\alpha \text{e}^{\ln 2} + \beta \text{e}^{- \ln 2}\\
\dfrac{5}{4}&=&\alpha \text{e}^x - \beta \text{e}^{- \ln 2}
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\varphi(x) &=& \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}\\
\dfrac{3}{4}&=&2\alpha  + \dfrac{1}{2}\beta \\
\dfrac{5}{4}&=&2\alpha - \dfrac{1}{2}\beta
\end{array}\right. \iff$
 
$\left\{\begin{array}{l c l}
\varphi(x) &=& \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}\\
\dfrac{3}{4}&=&2\alpha  + \dfrac{1}{2}\beta \\
2&=&4\alpha 
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\varphi(x) &=& \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}\\
\dfrac{3}{4}&=&2\alpha  + \dfrac{1}{2}\beta \\
\dfrac{1}{2}&=&\alpha 
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
\varphi(x) &=& \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}\\
\dfrac{3}{4}&=&1  + \dfrac{1}{2}\beta \\
\dfrac{1}{2}&=&\alpha 
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\varphi(x) &=& \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}\\
- \dfrac{1}{2}&=&  \beta \\
\dfrac{1}{2}&=&\alpha 
\end{array}\right.
$.

On a donc $\varphi(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x}$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On appelle $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par: 

%\[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x}\right).\]

%On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item %Soit $\mu$ un réel. Montrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \mu$ équivaut à 

%$\text{e}^{2x} - 2\mu \text{e}^x - 1 = 0$.

%En déduire que l'équation $f(x) = \mu$ a une unique solution dans $\R$ et déterminer sa valeur en fonction de $\mu$.
On a $f(x) = \mu \iff \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x}\right) = \mu \iff \text{e}^x - \text{e}^{- x} = 2\mu \iff  \text{e}^{2x} - 1 = 2\mu\text{e}^x \iff $

$\text{e}^{2x} - 2\mu \text{e}^x - 1 = 0$.

Soit, en posant $X = \text{e}^x$,  la fonction $f_{\mu}$ définie sur $\R$ par : 

$f_{\mu}(X) = X^2 - 2\mu X - 1$ ; alors : $\Delta = 4\mu^2 + 4 = 4\left(1 + \mu^2 \right) > 0$.

le trinôme a deux racines :

\[X_1 = \dfrac{2\mu + 2\sqrt{1 + \mu^2}}{2} = \mu + \sqrt{1 + \mu^2}\:\text{et}\: X_2 = \mu - \sqrt{1 + \mu^2}.\]

Comme $1 + \mu^2 > \mu^2$, on a $\sqrt{1 + \mu^2} > \sqrt{\mu^2}$ ou $\sqrt{1 + \mu^2} > |\mu|$.

On a donc $X_1 > 0$ et $X_2 < 0$, donc $X_1 = \text{e}^{x_1} = \mu + \sqrt{1 + \mu^2}  \iff x_1 = \ln \left(\mu + \sqrt{1 + \mu^2} \right)$.

Conclusion : l'équation $f(x) = \mu$ a une unique solution dans $\R$ : $x_1 = \ln \left(\mu + \sqrt{1 + \mu^2} \right)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer les limites de $f$ en - ~$\infty$ et en + ~$\infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, par différence de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, par différence de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
		\item %Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$f'(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{- x}\right) > 0$, car somme de deux termes supérieurs à zéro. La fonction $f$ est donc croissante sur $\R$ de moins l'infini à plus l'infini.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0.
Une équation de  (T) est $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Or $f(0) =  0$ et $f'(0) = 1$. Une équation de (T) est donc $y = x$.
		\item %En étudiant le sens de variation de la fonction $d$ définie 
%sur $\R$ par \\$d(x) = f(x) - x$, préciser la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à (T).
On a $d(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x}\right) - x = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x} - 2x\right)$.

$d'(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{- x} - 2\right) = \dfrac{1}{2\text{e}^x}\left(\text{e}^{2x} + 1 - 2\text{e}^x \right) = \dfrac{1}{2\text{e}^x}\left(\text{e}^x - 1 \right)^2$.

Donc $d'(x) \geqslant 0$ car produit de deux facteurs positifs. La fonction $d$ est croissante sur $\R$.

Or $d(0) = 0$, donc $d(x) > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$, c'est-à-dire que ($\mathcal{C}$) est au dessus de (D) pour $x > 0$ et ($\mathcal{C}$) est au dessous de (D) pour $x < 0$.
		\item ~%Tracer ($\mathcal{C}$) et (T) (unité graphique : 2 cm).
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.05,-2.05)(2.05,2.05)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{2.71828 x exp 1  2.71828 x exp div sub 0.5 mul}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{x}
\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](1.7,1.8){(D)}\uput[l](1.1,1.5){\blue ($\mathcal{C}$)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1  2.71828 x exp div sub 0.5 mul}
\psline(1,1)(0,0)}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item %Soit D la partie représentant sur le graphique l'ensemble des points
% $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ tels que :
 
%\[\left\{ \begin{array}{l c l c l} 
%0 & \leqslant &  x & \leqslant & 1\\
%x &  \leqslant &  y & \leqslant &  f(x)\\
%\end{array} \right.\]
%Calculer, en cm$^2$ l'aire de D.
L'aire de D est en unités d'aire l'intégrale de la fonction $d$ ci-desssus entre 0 et 1, soit :

$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x} - 2x\right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[\text{e}^x + \text{e}^{- x} - x^2 \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}[\text{e} + \text{e}^{-1} - 1 - (1 + 1 - 0)] =$

$ \dfrac{1}{2}\left(\text{e} + \text{e}^{-1} - 3\right)$~u. a.

Comme l'unité d'aire est égale à $2^2 = 4$~cm$^2$, l'aire de D est égale à :

$2\left(\text{e} + \text{e}^{-1} - 3\right) \approx 0,172$~cm$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

%On cherche à caractériser les fonctions $\varphi$, dérivables sur l'ensemble des nombres réels, telles que, pour tout réel $x$ : 
%
%\[\varphi(x) - \displaystyle\int_0^x (x - t) \varphi (t)\:\text{d}t = x \quad (\text{H}).\]
 
\begin{enumerate} 
\item %On suppose qu'il existe une telle fonction $\varphi$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$, 

%\[\varphi(x) = x + x \displaystyle\int_0^x \varphi(t)\: \text{d}t - \displaystyle\int_0^x t \varphi(t)\:\text{d}t.\]

%Calculer $\varphi(0)$.
On a donc $\varphi(x) = x + \displaystyle\int_0^x (x - t) \varphi (t)\:\text{d}t$ ou 

$\varphi(x) = x + \displaystyle\int_0^x (x\varphi (t) - t\varphi (t)) \:\text{d}t = x + \displaystyle\int_0^x x\varphi (t)\:\text{d}t - \displaystyle\int_0^x  t\varphi (t)\:\text{d}t$ et enfin :

$\varphi(x) = x +  x \displaystyle\int_0^x \varphi(t)\: \text{d}t - \displaystyle\int_0^x t \varphi(t)\:\text{d}t$.

D'où $\varphi(0) = 0 +  0 \displaystyle\int_0^0 \varphi(t)\: \text{d}t - \displaystyle\int_0^0 t \varphi(t)\:\text{d}t = 0$.
		\item %Démontrer que, pour tout nombre réel $x, ~\varphi'(x) = 1 + 
%\displaystyle\int_0^x  \varphi(t)\:\text{d}t$.

%Calculer $\varphi'(0)$.
On sait que $\displaystyle\int_0^x \varphi (t)\:\text{d}t$ est la primitive de $\varphi$ qui s'annule en 0 ; cette fonction est donc dérivable et sa dérivée est égale à $\varphi$ ; même chose pour la deuxième intégrale ; donc en dérivant l'égalité de la question précédente :

$\varphi'(x) = 1 + 1\displaystyle\int_0^x \varphi (t)\:\text{d}t + x\varphi(x) - x\varphi(x) = 1 + \displaystyle\int_0^x \varphi (t)\:\text{d}t$.

Donc $\varphi'(0) = 1 + \displaystyle\int_0^0 \varphi (t)\:\text{d}t = 1 + 0 = 1$.
		\item %Vérifier que $\varphi$ est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie \textbf{A}.
En dérivant chaque membre de l'égalité précédente, on a :

$\varphi''(x) = 0 + \varphi (x) \iff \varphi''(x) - \varphi (x) = 0$ ce qui signifie que $\varphi$ vérifie l'équation différentielle de départ.		
%Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la
%question \textbf{A 2}.
On sait que $\varphi(x) = \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}$ et on sait que :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\varphi(0)&=&0\\
\varphi'(0)&=&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha \text{e}^0 + \beta \text{e}^{- 0}&=&0\\
\alpha \text{e}^0 - \beta \text{e}^{- 0}&=&1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha + \beta &=&0\\
\alpha  - \beta &=&1
\end{array}\right.\implies 2\alpha = 1 \iff \alpha = \dfrac{1}{2}$ puis $\beta = - \dfrac{1}{2}$.

On a donc $\varphi(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^x -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x} = f(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer 
%$\displaystyle\int_0^x  t\left(\text{e}^t - \text{e}^{- t}\right)\:\text{d}t.$
Posons : $u(t) = t$ et $v'(t) = \text{e}^t - \text{e}^{- t}$, d'où :

$u'(t) = 1$ et $v(t) = \text{e}^t + \text{e}^{- t}$.

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables, on peut donc intégrer par parties :

$\displaystyle\int_0^x  t\left(\text{e}^t - \text{e}^{- t}\right)\:\text{d}t = \left[t\left( \text{e}^t + \text{e}^{- t}\right) \right]_0^x - \displaystyle\int_0^x \left( \text{e}^t + \text{e}^{- t}\right)\:\text{d}t = \left[t\left( \text{e}^t + \text{e}^{- t}\right) - \text{e}^t + \text{e}^{- t} \right]_0^x = x\left( \text{e}^x + \text{e}^{- x}\right) - \text{e}^x + \text{e}^{- x} - \left[0 + 1 - 1 \right] = x\left( \text{e}^x + \text{e}^{- x}\right) - \text{e}^x + \text{e}^{- x} =$

$ \text{e}^x(x - 1) + \text{e}^{- x}(x + 1).$
		\item %Démontrer que la fonction trouvée à la question \textbf{1 c}
% vérifie bien la relation (H).

On calcule donc $\varphi(x) - \displaystyle\int_0^x (x - t) \varphi (t)\:\text{d}t$  avec $\varphi(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^x -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x}$ :

$\dfrac{1}{2}\text{e}^x -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x} - \displaystyle\int_0^x (x - t) \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^t -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- t} \right]\:\text{d}t = \dfrac{1}{2}\text{e}^x -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x} - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^x(x - t)\left[\text{e}^t - \text{e}^{- t} \right] \:\text{d}t = $

$\dfrac{1}{2}\text{e}^x -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x} - \dfrac{x}{2}\displaystyle\int_0^x\left[\text{e}^t - \text{e}^{- t} \right] \:\text{d}t + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^xt\left[\text{e}^t - \text{e}^{- t} \right] \:\text{d}t =$

$ \dfrac{1}{2}\text{e}^x -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x} - \dfrac{x}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x} - 1 - 1 \right) + \dfrac{1}{2}\left[\text{e}^x(x - 1) + \text{e}^{- x}(x + 1) \right] =$

$ \dfrac{1}{2}\text{e}^x -   \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x} - \dfrac{x}{2}\text{e}^x + \dfrac{x}{2}\text{e}^{- x} + \dfrac{x}{2}\text{e}^x + \dfrac{x}{2}\text{e}^{- x} - \dfrac{1}{2}\text{e}^x +  \dfrac{1}{2}\text{e}^{- x} = x$.

La fonction $f$ vérifie bien la relation (H). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}