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%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {corrigé du baccalauréat spécialité},
	pdftitle = {corrigé Polynésie 5 mai 2022 sujet 2},
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\begin{document}
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	\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
	\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
	\lfoot{\small{Polynésie}}
	\rfoot{\small{5 mai 2022}}
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	\thispagestyle{empty}
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	\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Polynésie 5 mai 2022~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ sujet \no 2}}
	\end{center}
		\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Réponse a.}

En effet, la fonction $f$ est dérivable sur $\R_{+}^{*}$, en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout $x$ réel strictement positif, on a :

$f'(x)= 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 + 0 = \ln(x) + \dfrac{x}{x} - 1 = \ln(x) +1-1 = \ln (x)$
\item \textbf{Réponse c.}
On a $f(x) = x^2 - x^2\ln (x)$.

$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ ;

$\bullet~~$On sait (croissances comparées) que  $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \ln (x) = 0$ ;

Donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = 0$.
%On a : $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$, donc, par limite de la somme, $\lim\limits_{x \to +\infty} \left[1 - \ln(x)\right] = -\infty$.
%
%Comme par ailleurs on a : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$, par limite du produit, on en conclut :
%
%$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.
\item \textbf{Réponse d.}

Quel que soit $x \in \R,\: f(x) = x\left(x^2 - 0,9x - 0,1\right)$.

On a donc $f(x) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
x^2 - 0,9x - 0,1&=&0
\end{array}\right.$

$0$ est donc une solution et pour l'équation du second degré le nombre 1 est une racine évidente ; le produit des racines étant égal à $-0,1$ l'autre racine est donc $- 0,1$.

L'équation $f(x) = 0$  a donc trois solutions : $-0,1 \:;\ 0$ et 1.
%$f$ sur $\R$. $f$ est dérivable sur $\R$, en tant que fonction polynôme. Pour tout $x$ réel, on a :

%$f'(x) = 3x^2 - 0,9 \times 2x - 0,1 = 3x^2 - 1,8x - 0,1$.
%
%Cette dérivée est un polynôme du second degré, dont le discriminant est :
%
%$\Delta = (-,18)^2 -4\times (3) \times (-0,1) = 4,44 >0$.
%
%Il y a donc deux racines réelles distinctes : $x_1 = \dfrac{1,8 + \sqrt{4,44}}{6} $ et $x_2 =\dfrac{1,8 - \sqrt{4,44}}{6}$.
%
%			Comme le coefficient dominant est positif, cela signifie que $f'(x)$ est positif, sauf pour $x$ dans l'intervalle $[x_1~;~x_2]$ (car $x_1 < x_2$).
%
%			$f$ est donc strictement croissante sur les intervalles $ ]-\infty~;~x_1] $ et $ [x_2~;~+\infty[$ et strictement décroissante sur $ [x_1~;~x_2] $.
%
%			On calcule des valeurs approchées des images de $x_1$ et $x_2$ (à la calculatrice) :
%
%			$f(x_1) \approx -0,27$ et $f(x_2) \approx -0,44$.
%
%			En combinant ces images et les variations, on peut dire que, $f(x_1)$ est le maximum de $f$ sur l'intervalle $ ]-\infty~;~x_2] $, et comme ce maximum est strictement négatif, l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
%
%			Par ailleurs, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} x^3\left(1 + - \dfrac{0,9}{x} - \dfrac{0,1}{x^2}\right) = +\infty$.
%
%			Sur l'intervalle $[x_2~;~+\infty[$, $f$ est une fonction continue (c'est un polynôme), strictement croissante et 0 est une valeur intermédiaire entre $f(x_2) <0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement croissantes, l'équation $f(x) = 0$ admet donc une unique solution sur cet intervalle.
%
%			Globalement, l'équation admet donc exactement une unique solution sur $\R$.
			\item \textbf{Réponse c.}

			On dérive la proposition, en pensant bien à utiliser la formule pour dériver une fonction composée ($x\longmapsto H(2x)$ a pour dérivée $x \longmapsto 2H'(2x)$) et on vérifie.

			Si $K_\textbf{c} : x \longmapsto \dfrac{1}{2} H(2x)$, alors,

			$\forall x \in \R, K_\textbf{c}' (x) = \dfrac{1}{2}\times 2H'(2x) = H'(2x) = h(2x)$, car $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$

			et donc on a : $\forall x \in \R, K_\textbf{c}' (x) = k(x)$.

			On en déduit donc que $K_\textbf{c}$ est une primitive de $k$ sur $\R$.

			\item \textbf{Réponse b.}

			Dérivons la fonction $f$, qui est dérivable sur $\R$, en tant que produit de fonctions dérivables sur cet ensemble.

			$\forall x \in \R, \quad 1 \times \mathrm{e}^x + x \times \mathrm{e}^x = (1 + x)\mathrm{e}^x$.

			On a donc $f'(1) = (1 + 1)\mathrm{e}^1 = 2\mathrm{e}$.

			Par ailleurs $f(1) = 1\times \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}$.

			L'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1 est donc :
			$\aligned[t] y &= f'(1) (x - 1) + f(1)\\ &= 2\mathrm{e} (x - 1) + \mathrm{e} \\&= 2\mathrm{e}x - 2\mathrm{e} + \mathrm{e} \\y&= 2\mathrm{e}x - \mathrm{e}\endaligned$

			\item \textbf{Réponse d.}

			Résolvons cette inéquation :

			$ \aligned [t] (0,2)^n < 0,001 &\iff \ln\left(0,2^n\right) < \ln(0,001) \text{\qquad car ln est strictement croissante sur }\R^{*+}\\
			&\iff n\ln(0,02) < \ln(0,001)\\
			&\iff n > \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)} \text{\qquad car } \ln(0,2)< 0
			\endaligned$

			On a $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)} \approx 4,3$, donc les solutions à cette inéquation sont les entiers naturels supérieurs ou égaux à 5.
		\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\textbf{Partie 1}

Puisque la commande est faite au hasard, on assimile les proportions à des probabilités. On en déduit l'arbre pondéré suivant :

	%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
	\begin{center}
	% Racine à Gauche, développement vers la droite
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	% Styles (MODIFIABLES)
	\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
	\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
	\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
	\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
	% Dimensions (MODIFIABLES)
	\def\DistanceInterNiveaux{3}
	\def\DistanceInterFeuilles{1}
	% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
	\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
	\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
	\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
	\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
	% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
	\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$$};
	\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
	\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$D$};
	\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{D}$};
	\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$};
	\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$D$};
	\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{D}$};
		% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
		\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$0,2$};
		\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$0,1$};
		\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$0,9$};
		\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$0,8$};
		\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$0,02$};
		\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$0,98$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	%:-+-+-+-+- Fin

\begin{enumerate}
\item 	$\mathrm{P}(C\cap D) = \mathrm{P}(C) \times \mathrm{P}_C(D) = 0,2 \times 0,1 = 0,02$.

La probabilité d'avoir un casque contrefait présentant un défaut est donc de 0,02.

\item Les évènements $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales, on en déduit :

$\aligned[t] \mathrm{P}(D) &= \mathrm{P}(C \cap D) + \mathrm{P}\left(\overline{C} \cap D\right)\\
&= 0,02 + 0,8 \times 0,02\\
&= 1,8 \times 0,02\\
&= 0,036\endaligned$

La probabilité de commander un casque présentant un défaut de conception est donc de 0,036.
\item On demande ici de calculer la probabilité conditionnelle : $\mathrm{P}_D(C)$

$\mathrm{P}_D(C) = \dfrac{\mathrm{P}(C \cap D)}{\mathrm{P}(D)} = \dfrac{0,02}{0,036} = \dfrac{5}{9} \approx 0,556$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
\begin{itemize}
\item On a une expérience aléatoire de base (on commande un casque), pour laquelle on considère deux issues. Pour cette épreuve de Bernoulli, le succès (le casque présente un défaut) a une probabilité $p = 0,036$. (d'après la question \textbf{2.} de la \textbf{partie 1});
\item On répète cette expérience $n=35$ fois, de façon indépendante (puisque la répétition est assimilable à un tirage \textbf{avec} remise);
\item La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès sur les 35 répétitions.
\end{itemize}

Ces éléments permettent de confirmer que $X$ suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(35~;~0,036) $

\item On veut calculer $\mathrm{P}(X = 1)$.

$ \mathrm{P}(X = 1) = \displaystyle \binom{35}{1} \times 0,036^1 \times (1 - 0,036)^{35- 1} = 35 \times 0,036 \times 0,964^{34} \approx 0,362 $ à $ 10^{-3} $ près.

\item Calculons : $\mathrm{P}(X \leqslant 1) = \mathrm{P}(X = 0) + \mathrm{P}(X = 1) \approx 0,639$ à $ 10^{-3} $ près (à la calculatrice).
	\end{enumerate}

	\item Ici, pour tout entier $n$ naturel non nul, on peut créer une variable aléatoire $X_n$ qui suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(n~;~0,036) $.

	Pour $n$ un entier naturel non nul, la probabilité qu'un casque au moins présente un défaut sur $n$ casques commandés est donc :

$\mathrm{P}(X_n \geqslant 1) = 1 - \mathrm{P} (X_n = 0) = 1 - \displaystyle \binom{n}{0}\times 0,036^0 \times 0,964^{n} = 1 - 0,964^{n}$.

On résout donc sur $\N^*$ :

$\aligned[t] \mathrm{P}(X_n \geqslant 1) \geqslant 0,99
&\iff 1 - 0,964^{n} \geqslant 0,99\\
&\iff -0,964^n \geqslant -0,01\\
&\iff 0,964^n \leqslant 0,01\\
&\iff \ln(0,964^n) \leqslant \ln(0,01) \quad \text{car ln est croissante sur }\R^{*+} \\
&\iff n\ln(0,964) \leqslant \ln(0,01)\\
&\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \qquad \text{car} \ln(0,964) <0
\endaligned$

or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)}\approx 125,6$, donc les solutions sont les entiers naturels supérieurs ou égaux à 126.

Il faut donc commander au moins 126 casques pour que la probabilité d'en avoir au moins un défectueux soit supérieure à 0,99.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'année 2022 est l'année 2021 + 1, donc on doit calculer $u_1$.

$u_1 = 0,008u_0(200 - u_0) = 0,008\times 40 \times 160 = 51,2$.

L'estimation est donc de 51,2 oiseaux (arrondie à 51 animaux).

\item Résolvons $f(x) = x$.

$ \aligned[t] f(x) = x &\iff 0,008x(200 - x) = x \\
&\iff 1,6x - 0,008x^2 = x\\
&\iff 0,008x^2 - 0,6x = 0\\
&\iff x(0,008x - 0,6) = 0\\
&\iff x = 0 \quad \text{ou}\quad 0,008x - 0,6 = 0\\
&\iff x = 0 \quad \text{ou}\quad x = \dfrac{0,6}{0,008} =75
\endaligned$

L'équation admet deux solutions dans $ [0~;~100] $ : 0 et 75.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ entre 0 et 100, on a : $f(x) = -0,008x^2 + 1,6x$. C'est une fonction polynôme de degré 2, dont le coefficient dominant est négatif ($-0,008$).

Le sommet de la parabole représentant la fonction définie sur $\R$ a pour abscisse : $\dfrac{- 1,6}{2\times (- 0,008)} = 100$.

La fonction définie sur $\R$ serait donc croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~100]$ et décroissante sur $[100~;~+\infty[$, donc $f$, qui est définie sur $[0~;~100]$ est bien strictement croissante sur $ [0~;~100] $.

		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $P_n$ la propriété : \og $0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100$\fg{}.

\begin{itemize}
\item Initialisation : On a $u_0 = 40$ et $u_1 = 51,2$, donc on a bien $0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 100$ donc la propriété $P_0$ est vraie.
\item Hérédité : Soit $n$ un entier naturel . On suppose $P_n$ vraie.

$ \aligned[t] P_n &\implies 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1}\leqslant 100\\
&\implies f(0) \leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(100) \quad \text{ $f$ est croissante sur }[0~;~100]\\
&\implies 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 80 \qquad \text{car }f(0) = 0 ; ~f(100) = 80 \\
&\implies 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 100 \\
&\implies P_{n+1}
\endaligned $

Ainsi, la propriété est héréditaire.

	\item Conclusion : La propriété $P_0$ est vraie, et pour un naturel $n$ quelconque, si $P_n$ est vraie, $P_{n+1}$ l'est aussi donc, d'après l'axiome du raisonnement par récurrence :

$\forall n \in \N ; \quad 0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100$

On en déduit donc que la suite est bornée par 0 et 100, et qu'elle est croissante.
\end{itemize}

	\item La suite est croissante et majorée par 100, donc elle converge vers une limite $\ell$, qui est supérieure à $u_0 = 40$ et inférieure au majorant 100.

	\item Puisque la suite est convergente et définie par récurrence et que la fonction de récurrence $f$ est continue sur $ [0~;~100] $, intervalle contenant la limite $\ell$, d'après le théorème du point fixe, $\ell$ est une solution de l'équation $f(x) = x$.

Comme on a établi que cette équation n'a que deux solutions dans $[0~;~100]$, 0 et 75, et que l'on a établi que $\ell$ est comprise entre 40 et 100, il vient que $\ell = 75$.

La suite converge donc vers 75.
		\end{enumerate}

		\item Le principe de cette fonction \texttt{seuil(p)} est de renvoyer l'année où l'estimation dépasse le seuil \texttt{p}, notre suite ici est croissante et converge vers 75, donc elle est majorée par 75. Aucun terme ne dépassera donc 75, et le test de la boucle \texttt{while} sera toujours satisfait, donc on aura une fonction qui tourne de façon infinie et ne renvoie donc aucun résultat.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(0,-1)(9,7)
%\psgrid[subgriddiv=2,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Cnode*(0.5,0.4){A} \Cnode*(5.5,0){B} 
\Cnode*(7.5,1.4){C} \Cnode*(2.5,1.8){D}
\Cnode*(0.5,5.4){E} \Cnode*(5.5,5){F} 
\Cnode*(7.5,6.4){G} \Cnode*(2.5,6.8){H}
\Cnode*[radius=2pt](3,5.2){I}% milieu de [EF]
\Cnode*[radius=2pt](1.5,3.6){K}% milieu de [ED]
\Cnode*[radius=2pt](4,3.4){O}% centre du cube
%%%%%%%%%%%%%%%
\uput[dl](A){A} \uput[dr](B){B} \uput[r](C){C} 
\uput[ur](D){D} \uput[ul](E){E} \uput[u](F){F} 
\uput[ur](G){G} \uput[u](H){H} \uput[u](I){I}
\uput[dr](O){O}
\uput[l](K){K}
%%%%%%%%%%%%%%%
\pspolygon(A)(B)(F)(E)
\psline(B)(C)(G)(F)
\psline(G)(H)(E)
\psline(A)(I)(G)
\psline[linestyle=dashed](A)(G)
\psline[linestyle=dashed](A)(D)(H)
\psline[linestyle=dashed](D)(C)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}
		
\begin{enumerate}
\item On a les coordonnées suivantes : A $(0~;~0~;~0)$ (origine du repère), B $(1~;~0~;~0)$ et 

G $(1~;~1~;~1)$.

\item Les points A, I et G ne sont pas alignés, donc $ \vect{\mathrm{AI}} $ et $ \vect{\mathrm{AG}} $ sont deux vecteurs formant une base de (AIG).

On a les coordonnées suivantes : $ \vect{\mathrm{AI}} \begin{pmatrix} 0,5\\0\\1 \end{pmatrix} $, $ \vect{\mathrm{AG}} \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $ et $ \vect{\mathrm{BK}} \begin{pmatrix} -1\\0,5\\0,5 \end{pmatrix} $.

Le repère est orthonormé (car ABCDEFGH est un cube d'arête 1), donc on calcule les produits scalaires avec les coordonnées :

$ \vect{\mathrm{BK}}\cdot\vect{\mathrm{AI}} = -1 \times 0,5 + 0,5 \times 0 + 0,5 \times 1 = 0$ : les vecteurs $ \vect{\mathrm{BK}}$ et $\vect{\mathrm{AI}}$ sont orthogonaux.

$ \vect{\mathrm{BK}}\cdot\vect{\mathrm{AG}} = -1 \times 1 + 0,5 \times 1 + 0,5 \times 1 = 0$ : les vecteurs $ \vect{\mathrm{BK}}$ et $\vect{\mathrm{AG}}$ sont orthogonaux.

$ \vect{\mathrm{BK}}$ étant orthogonal à deux vecteurs formant une base de (AIG), on en déduit que la droite (BK) est bien orthogonale à (AIG).

\item Puisque (BK) est orthogonale à (AIG), alors un vecteur directeur de (BK) est un vecteur normal à (AIG), notamment, $\vect{n} = -2\vect{\mathrm{BK}}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\-1\\-1 \end{pmatrix} $ est normal à (AIG). Ce plan a donc une équation de la forme :
\quad
$2x - y - z + d=0$.

Comme A $ (0~;~0~;~0) \in $(AIG), on en déduit que $d$ est tel que :

$\aligned[t]  2x_\mathrm{A} - y_\mathrm{A} - z_\mathrm{A} + d=0 &\iff 2\times 0 - 0 - 0 + d = 0\\&\iff d =0\endaligned$

Finalement, une équation du plan (AIG) est donc bien $2x-y-z = 0$.

\item La droite (BK) est dirigée par $ \vect{\mathrm{BK}} \begin{pmatrix} -1\\0,5\\0,5 \end{pmatrix}$ et passe par B $ (1~;~0~;~0)$, donc elle admet pour représentation paramétrique :
\quad
$ \left\{\begin{array}{l} x = 1 - t\\y = 0 + 0,5t\\z = 0 + 0,5t  \end{array}\right. \quad t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=& 1 - t\\y &=&\phantom{1 -}0,5t\\z &=&\phantom{1 -}0,5t \end{array}\right. \quad t \in \R$.

\item Le point L dont on donne les coordonnées est clairement le point de paramètre $ \dfrac{2}{3} $ dans la représentation paramétrique établie à la question précédente, donc $\mathrm{L} \in (\mathrm{BK})$.

Vérifions si L est un point du plan (AIG) : $2x_\mathrm{L} - y_\mathrm{L} -z_\mathrm{L} = 2\times \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} = 0$.

Les coordonnées de L vérifient l'équation du plan : $\mathrm{L} \in (\mathrm{AIG})$.

L est donc le point d'intersection de la droite (BK) et du plan (AIG) (qui sont sécants, puisque perpendiculaires), et donc L est le projeté orthogonal de B sur le plan (AIG).

\item La distance de B à (AIG) est donc la distance (BL), et comme le repère est orthonormé :

$\aligned[t] \mathrm{BL} &= \sqrt{\left(x_\mathrm{L} - x_\mathrm{B}\right)^2+\left(y_\mathrm{L} - y_\mathrm{B}\right)^2+\left(z_\mathrm{L} - z_\mathrm{B}\right)^2 }
			 = \sqrt{\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-0\right)^2 }\\
			 &=  \sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 } = \sqrt{\dfrac{4 + 1 + 1}{9}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\endaligned$
		\end{enumerate}

		\textbf{Partie B}
		\begin{enumerate}
			\item \begin{enumerate}
				\item Dans le tétraèdre ABIG, si on considère AIB comme base, alors cette base est incluse dans le plan (AIB), qui contient la face avant du cube (la face ABFE), et donc l'arête [GF] est bien perpendiculaire à ce plan, puisque ABCDEFGH est un cube.
				\item Le tétraèdre ABIG a donc pour volume $V_{\mathrm{ABIG}} = \dfrac{1}{3} \times b_{\mathrm{ABI}} \times h_{\mathrm{GF}} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1 \times 1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{6}$.

(Le triangle ABI a une base [AB] de longueur 1 et la hauteur correspondante, issue de I est de même longueur que [AE], donc de longueur 1 aussi).
	\end{enumerate}

\item Dans le triangle isocèle AIG, la hauteur principale issue de I est donc aussi une médiane, et elle passe donc par le milieu de la base principale [AG], c'est à dire par le point O.

On détermine la distance IO : $\mathrm{IO} = \sqrt{0^2 + 0,5^2 + (-0,5)^2} = \sqrt{0,5} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

L'aire du triangle est donc $A_\mathrm{AIG} = \dfrac{\mathrm{AG} \times \mathrm{OI}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$.

\item Le tétraèdre AIBG dont on a déjà calculé le volume peut aussi être vu comme ayant pour base le triangle AGI et comme hauteur correspondante, la hauteur issue de B, donc la longueur $h$ est la distance séparant B du plan (AGI).

On a donc : $\aligned[t] V_\mathrm{ABIG} = \dfrac{1}{6} &\iff \dfrac{1}{3}\times A_\mathrm{AIG} \times h = \dfrac{1}{6}\\
			&\iff h = \dfrac{3}{A_\mathrm{AIG}\times 6 }\\
			&\iff h = \dfrac{1}{2A_\mathrm{AIG}}\\
			&\iff h = \dfrac{1}{2\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}}\\
			&\iff h = \dfrac{2}{\sqrt{6}}\\
			&\iff h = \dfrac{2\sqrt{6}}{6}\\
			&\iff h = \dfrac{\sqrt{6}}{3}
			\endaligned$

On retrouve bien une distance de B au plan (AIG) qui est $ \dfrac{\sqrt{6}}{3} $.
\end{enumerate}
\end{document}