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\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%Merci à : Sébastien Rivillon pour la fourniture du sujet
%Tapuscrit : François Kriegk
%Corrigé : Isabelle Brianza
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP/I Brianza/E Hoarau/K Bouasla},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Nord - 3 juin 2021},
allbordercolors = white,pdfstartview=FitH}   
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{Travail sur la version de l'A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du diplôme national du Brevet
Amérique du Nord~\decofourright}}\\[6pt]
{\Large \textbf{3 juin 2021}}

\medskip

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 26 points}

%Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse.

\medskip

%\textbf{On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.}

\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
	\item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 7$
	
	\textbf{Affirmation \no 1 :} \og{}L'image par $f$ du nombre $-1$ est 2 \fg{}.
	
	On a $f(- 1) = 3 \times (- 1) - 7 = - 3 - 7 = - 10$ : affirmation fausse.
	
	\item On considère l'expression $E = (x - 5)(x + 1)$.
	
	\textbf{Affirmation \no 2 :} \og{} L'expression $E$ a pour forme développée et réduite $x^2 - 4x - 5 $\fg.
	
$E = x^2  + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5$ : affirmation vraie.
	
	\item $n$ est un nombre entier positif.
	
	\textbf{Affirmation \no 3 :} \og{}lorsque $n$ est égal à  5, le nombre $2^n +1$ est un nombre premier \fg{}.

$2^5 + 1 = 32 + 1 = 33$ ; or 33 est un multiple de 3 donc n'est pas premier : affirmation fausse.	
	\item On a lancé 15 fois un dé à  six faces numérotées de 1 à  6 et on a noté les fréquences d'apparition dans le tableau ci-dessous :
	
%	\smallskip
%	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Numéro de la face apparente & 1& 2& 3& 4& 5& 6 \\ \hline
%Fréquence d'apparition&$\dfrac{3}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{5}{15}$&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{1}{15}$ &\dots\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%	\end{tabularx}
%	
%	\smallskip
	
	\textbf{Affirmation \no 4 :} \og{}la fréquence d'apparition du 6 est 0 \fg{}.
	
On sait que la somme des fréquences est égale à  1; donc si $f_6$ est la fréquence d'apparition du 6, on a :

$\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} +\dfrac{5}{15} +\dfrac{2}{15} +\dfrac{1}{15} + f_6 = 1$, ou $\dfrac{15}{15} + f_6 = 1$, donc $f_6 = 0$ : affirmation vraie.
	
	\item \parbox{0.6\linewidth}{On considére un triangle RAS rectangle en S.
	
Le côté [AS] mesure 80 cm et l'angle $ \widehat{\mathrm{ARS}} $ mesure $26\degres$.
	
	\textbf{Affirmation \no 5 :} le segment [RS] mesure environ 164~cm.} \hfill 
	
\begin{tabular}{c c}
\begin{minipage}{0.6\textwidth} 
Dans le triangle RAS rectangle en S, \par 
On connaît la mesure de [AS] qui est le côté opposé à l'angle $\widehat{\text{ARS}}$ ; \par 
On cherche la mesure de [RS] qui est le côté adjacent à l'angle $\widehat{\text{ARS}}$.\par 
On peut donc utiliser la tangente de l'angle $\widehat{\text{ARS}}$. \par 
$\tan(\widehat{\text{ARS}})=\dfrac{\text{AS}}{\text{RS}}$ \par 
Ainsi $\tan(26)=\dfrac{80}{\text{RS}}$ soit $\dfrac{\tan(26)}{1}=\dfrac{80}{\text{RS}}$ 

\medskip

Donc $\text{RS} =\dfrac{80 \times 1}{\tan(26)} \approx 164,024$ (cm).
 : affirmation vraie.	
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,2.5)
\pspolygon(0.2,0.2)(4,0.2)(4,2.2)%ASR
\uput[dl](0.2,0.2){A}\uput[dr](4,0.2){S}\uput[4](4,2.2){R}
\psarc(4,2.2){0.3}{210}{270}\rput(3.6,1.7){26\degres}
\uput[d](2.1,0.2){80~cm}
\end{pspicture} 
%\includegraphics[width=5cm]{exo1.png} \par
\end{minipage}
\end{tabular}

	\item Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95~cm.
	
	\textbf{Affirmation \no 6 :} les diagonales de ce rectangle mesurent exactement 186~cm.
	
Le demi-rectangle ABD est un triangle rectangle en A dont les côtés de l'angle droit mesurent 160~cm et 95~cm.
Dans ce triangle ABD rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore on a: \par
$\text{BD}^2 = \text{AB}^2 +\text{AD}^2 = 160^2 + 95^2 = \np{25600} + \np{9025} = \np{34625}$\par
 BD étant une distance, sa valeur est positive,d'où\par
BD $ = \sqrt{\np{34625}} \approx 186,08$~(cm), donc BD $\ne 186$ : affirmation fausse. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 21 points}

%Une athlète a réalisé un triathlon d'une longueur totale de 12,9 kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l'ordre suivant :
%	
%\begin{center}
%		\begin{tabularx}{14 cm}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%		Ã‰preuve \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (8pt) node (x) {1};}\rule{0pt}{14pt} :     & Ã‰preuve \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (8pt) node (x) {2};} :     & Ã‰preuve \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (8pt) node (x) {3};} : \\
%Natation          & Cyclisme          & Course Ã  pied. \\
%Distance = 400 m  &                   & Distance = 2,5 km\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Entre deux épreuves, l'athlète doit effectuer sur place un changement d'équipement.
%	
%Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l'athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l'athlète pendant son triathlon.
%	
%	\begin{center}
%		\begin{tikzpicture}[x=1.8mm,y=9mm,> = latex]
%			\draw [gray,xstep=5,ystep=1] (0,0) grid (65,15);
%			\draw[<->] (0,15.2) node [above right] {\textbf{Distance en kilomètre}}--(0,0)--(66,0) node[shift={(0,-1)}, left] {\textbf{Temps en minute}};
%			\foreach \x in {5,10,...,60}{
%				\draw (\x,2pt)--(\x,-2pt) node [below] {\x};}
%			\draw[line width=0.8pt] (0,0)--(14,0.4)--(15,0.4)--(42,10.4)--(44,10.4)--(56,12.9);
%			\foreach \c in {(14,0.4),(15,0.4),(42,10.4),(44,10.4),(56,12.9)}
%				\draw[shift=\c,line width=0.8pt] (-3pt,0)--(3pt,0) (0,3pt)--(0,-3pt);
%			\draw[fill = white] (7,.8) circle (8pt) node (x) {1};
%			\draw[fill = white] (27.2,6.1) circle (8pt) node (y) {2};
%			\draw[fill = white] (52.5,11.3) circle (8pt) node (z) {3};
%			\draw (42,10.4) node[above left] {M};
%			\draw[<-](14,0.6)--(14,5) node[text width=38 mm, align = center, fill=white, draw] {Premier changement d'équipement};
%			\draw[<-](43,10.6)--(43,14.2) node[text width=38 mm, align = center, fill=white, draw] {Deuxième changement d'équipement};
%		\end{tikzpicture}
%	\end{center}	
%
%Le point M a pour abscisse 42 et pour ordonnée 10,4.
%	
%Ã€ l'aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu'il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.

\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item %Au bout de combien de temps l'athlète s'est-elle arrÃªtée pour effectuer son premier changement d'équipement ?
D'après lecture graphique, l'athlète a fait l'épreuve de natation en 14~min, cela correspond au début de son premier changement d'équipement.	
		\item %Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du parcours de l'épreuve de cyclisme ?
Si $c$ est la longueur de son parcours en vélo, alors on a :\par
\textit{Attention pour effectuer votre calcul, toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité de mesure.}\par
		
$0,400 + c + 2,5 = 12,9$ soit $c + 2,9 = 12,9$, d'où $c = 10$~km.\par
Ainsi, la longueur du parcours de l'épreuve de cyclisme est 10 km.
		\item %En combien de temps l'athlète a-t-elle effectué l'épreuve de course Ã  pied ?
L'épreuve de course à  pied s'est passée de la 44\up{e} à la 56\up{e} minute ; elle a donc couru pendant $12$~minutes.

En effet: $56 - 44 = 12$
		\item %Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l'athlète a été la moins rapide ?
\begin{itemize}
    \item 
D'après la \textbf{représentation graphique}, on constate que la pente qui correspond à l'épreuve de natation est celle qui est la moins \og inclinée \fg. C'est à dire que sur la partie 1 la distance parcourue en fonction du temps est \og faible \fg{} par rapport aux autres épreuves. \par
C'est donc en natation que l'athlète a été la moins rapide.

\item D'après les \textbf{calculs} 

$\bullet$ Vitesse en natation : 400 m en 14 min 


$v = \dfrac{d}{t}= \dfrac{400}{14}$ (m/min) ou $v = \dfrac{0,4}{14 \div 60}$~(km/h) $\approx 1,7$~(km/h).
 
\vspace{3mm}

$\bullet$ Vitesse en vélo : 10 km en 27 min \par 
$v = \dfrac{d}{t}= \dfrac{10 }{27 }$~(km/min) ou $v = \dfrac{10 }{27 \div 60} \approx 22,2$~(km/h)

soit $\dfrac{10}{27}\times 60 \approx 22,2$~km/h ;

\vspace{3mm}
$\bullet$ Vitesse à pied : 2,5 km en 12 min \par 
$v = \dfrac{d}{t}= \dfrac{2,5}{12}$~(m/min) ou $v = \dfrac{2,5}{12 \div 60}$~(km/h) $\approx 12,5$~(km/h).

soit $\dfrac{2,5}{12}\times 60 = 12,5$~(km/h).
%On considère que les changements d'équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
\end{itemize}

On a donc :\par
$1,7 < 12,5 < 22,2$

Ainsi, parmi les trois épreuves c'est en natation que l'athlète a été la moins rapide.\par


\item		%La vitesse moyenne de l'athlète sur l'ensemble du triathlon est-elle supérieure Ã  14 km/h ?
Elle a parcouru 12,9~km en  57 minutes, \par 
$v = \dfrac{d}{t}= \dfrac{12,9}{57}$~(km/min) ou $v = \dfrac{12,9 }{57 \div 60}$~(km/h) $ \approx 13,58$~(km/h). 

soit $\dfrac{12,9}{57}\times 60 \approx 13,58$~(km/h) 
 
Or $13,58 < 14$ 

On en conclut que la vitesse moyenne de l'athlète sur l'ensemble du triathlon n'est pas supérieure à 14~km/h.
	\end{enumerate}
	


\bigskip
	
\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 16 points}
	
%	\begin{minipage}[t]{7 cm}
%		\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.}
%		
%		On a construit un carré ABCD. 
%		
%		\smallskip
%		
%		On a construit le point O sur la droite (DB), Ã 
%		l'extérieur du segment [DB] et tel que : OB = AB.
%		
%		\smallskip
%		
%		Le point H est le symétrique de D par rapport Ã  O.
%		
%		\bigskip
%		
%		On a obtenu la figure ci-contre en utilisant plusieurs
%		fois la mÃªme rotation de centre O et d'angle 45Â°.
%		
%		\bigskip
%		
%		La figure obtenue est symétrique par rapport Ã  l'axe
%		(DB) et par rapport au point O.
%	\end{minipage}
%	\hfill
%	\begin{tikzpicture}[baseline={(D)}]
%		\foreach \a in {0,45,...,315}
%			\draw [line width=0.8pt] (0+\a:1.414)--++(-45+\a:1.414)--++(45+\a:1.414)--++(135+\a:1.414)--cycle;
%		\foreach \a/\l in {2/E,3/F,4/G,6/I,7/J,8/K}
%			\draw (135-\a*45:2.414) circle (7pt) node {\a}
%			(135-\a*45:3.7) node{\l};
%		\draw (0.4,2.414) circle (7pt) node {1};
%		\draw (-0.4,-2.414) circle (7pt) node {5};
%		\draw[line width=0.8pt] (0,-4)--(0,4) 
%		(-3pt,-3pt)--(3pt,3pt) (-3pt,3pt)--(3pt,-3pt) (1pt,0)node[right] {O};
%		\node (A) at (67.5:2.6) [above right]{A};
%		\node (B) at (90:1.414) [below right] {B};
%		\node (C) at (112.5:2.6) [above left] {C};
%		\node (D) at (90:3.7) [right] {D};
%		\node (H) at (-90:3.7) [left] {H};
%	\end{tikzpicture}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Donner deux carrés différents, images l'un de l'autre par la symétrie axiale d'axe (DB).
Les carrés 8 et 2,  les carrés 6 et 4, les carrés 7 et 3 sont symétriques par rapport à l'axe (DB).	
		\item %Le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {3};} est-il l'image du carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {8};} par la symétrie centrale de centre O ?
Les carrés 8 et 3 ne sont pas symétriques par rapport au point O. On peut remarquer que leurs centres ne sont pas alignés avec O.		
		\item %On considère la rotation de centre O qui transforme le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {1};} en le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {2};}.
		
%Quelle est l'image du carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {8};} par cette rotation ?
L'image du carré 8 par la rotation de centre O et d'angle $45\degres$ est le carré 1.
		
		\item %On considère la rotation de centre O qui transforme le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {2};} en le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {5};}.
		
%Préciser l'image du segment [EF] par cette rotation.
La rotation est la rotation de centre O et d'angle $135\degres$. E donne H et F donne I, donc l'image du segment [EF] est le segment [HI].
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill  16 points}

%\begin{minipage}{12cm}
		
%		On dispose d'un tableau carré ci-contre partagé en neuf cases blanches de mÃªmes dimensions qui constituent un motif.
%	\end{minipage}
%	\hfill
%	\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
%		\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
%							(0,1)/white,(1,1)/white,(2,1)/white,
%							(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
%			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%	\end{tikzpicture}
%		
%	\medskip
%	
%Quatre instructions A, B, C et E permettent de changer l'aspect de certaines cases, lorsqu'on applique ces instructions. Ainsi:
%	
%	\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\centering \arraybackslash}m{2cm} | m{8cm} | >{\centering \arraybackslash}X |} \hline
%		Instruction & Descriptif & Effet de l'instruction   \\ \hline
%		A &   La case centrale du motif est noircie.  & 
%		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
%			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
%				(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
%				(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
%			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%		\end{tikzpicture}  \\ \hline
%		B &   Dans le motif, la case en bas Ã  gauche et la case en haut Ã  droite sont noircies. & 
%				\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
%			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/white,(2,0)/white,
%				(0,1)/white,(1,1)/white,(2,1)/white,
%				(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/gray!50}
%			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%		\end{tikzpicture}  \\ \hline
%		
%		C &   Dans le motif, la case médiane Ã  gauche et la case médiane Ã  droite sont noircies. & 
%				\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
%			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
%				(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
%				(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
%			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%		\end{tikzpicture}  \\ \hline
%		
%		
%		E &  Les couleurs du motif sont inversées: les cases blanches deviennent noires et les les cases noires deviennent blanches.&
%				\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
%			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
%			\draw[] (0,0) rectangle (3,3) ;
%			\node (t) at (1.5,1.5) [text width=1.5cm, align=center] {Inverser\\ les\\ couleurs};
%		\end{tikzpicture}  \\ \hline
%
%	\end{tabularx}
%
%\smallskip
%
%\emph{Remarque} : si une case du motif est déjÃ  noire et une instruction demande la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire Ã  la suite de cette instruction.
%	
%\smallskip
%	
%\emph{Exemples} : Ã  partir d'un motif dont toutes les cases sont blanches:
%	
%		\begin{tabularx}{\linewidth}{X c @{\hspace{5mm}}|@{\hspace{5mm}} X c} 
%		la suite d'instructions A C permet d'obtenir ce motif &
%		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
%								(0,1)/gray!50,(1,1)/gray!50,(2,1)/gray!50,
%								(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
%				\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%
%		\end{tikzpicture}&
%		la suite d'instructions A C E permet d'obtenir ce motif &
%		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
%								(0,1)/white,(1,1)/white,(2,1)/white,
%								(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
%					\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%		\end{tikzpicture}\\		
%	\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d'un motif dont toutes les cases sont blanches.
	
	\begin{enumerate}
\begin{tabular}{c r}
\begin{minipage}{9 cm}
		\item ~Le motif obtenu avec la suite d'instructions A B est :
\end{minipage}
&\begin{minipage}{5 cm}

\vspace{1mm}
\begin{pdfpic}
\psset{unit=0.5cm,linewidth=0.1pt}
\begin{pspicture}(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1)(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)(3,3)
\psframe(0,1)(1,2)
\psframe(0,2)(1,3)
\psframe(1,2)(2,3)
\psframe(2,1)(3,2)
\psframe(1,0)(2,1)
\psframe(2,0)(3,1)
\end{pspicture}
\end{pdfpic}
\end{minipage}
\end{tabular}

		\item ~~Les propositions 2 et 4 permettent d'obtenir le motif demandé. \par
		
		\textbf{Proposition 2 : C A } \par 
\begin{tabular}{c|c}
\begin{minipage}{7 cm}
	En appliquant l'instruction C on obtient : 
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
     & 
\begin{minipage}{7 cm}
Puis en inversant les couleurs avec l'instruction A, on obtient : \par
\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{tabular}


		\textbf{Proposition 4 : C A E A} \par 
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\begin{minipage}{3 cm}
En appliquant l'instruction C on obtient : \par
	\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
\foreach \xy/\c in {
(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
     & 
\begin{minipage}{3 cm}
Puis en appliquant l'instruction A on obtient  : \par
\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\foreach \xy/\c in {
(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
(0,1)/gray!50,(1,1)/gray!50,(2,1)/gray!50,
(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{3 cm}
L'instruction E inverse les couleurs on obtient donc : \par 
\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\foreach \xy/\c in {
(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
(0,1)/white,(1,1)/white,(2,1)/white,
(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
 & 
 \begin{minipage}{3 cm}
L'instruction A va changer la couleur de la case centrale :   \par
\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\foreach \xy/\c in {
(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{tabular}
	
		%\begin{minipage}[t]{11 cm}
%			Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d'obtenir le motif ci-contre. Lesquelles ?
%			
%			\smallskip 
%			
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries Proposition \no }l <{ :} @{~} X}}
%1 & A B C   & 3 & B C E C\\ [6pt]
%2 & C E     & 4 & C A E A\\
%\end{tabularx}
%		\end{minipage}
%		\hfill
%		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(0,1.6)}]
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
%								(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
%								(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
%				\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%		\end{tikzpicture}
		\item %\begin{minipage}[t]{11 cm}
%			Donner une suite d'instructions qui permet d'obtenir le motif ci-contre.	
%		\end{minipage}
%		\hfill
%		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(0,0.8)}]
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/white,
%								(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
%								(0,2)/white,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
%			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%		\end{tikzpicture}
\vspace{2mm}
La suite A B E permet d'obtenir la diagonale montante blanche. \par
\vspace{1mm}
\begin{tabular}{c|c|c}
\begin{minipage}{4 cm}
	En appliquant l'instruction A, on obtient : \par
	\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
\foreach \xy/\c in {
(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
     & 
\begin{minipage}{4 cm}
Puis, en appliquant l'instruction B, on obtient : \par
	\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
\foreach \xy/\c in {
(0,0)/gray!50,(1,0)/white,(2,0)/white,
(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/gray!50}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{4 cm}
En inversant les couleurs avec l'instruction A on a : \par 
\vspace{1mm}
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm, baseline={(current bounding box.center)}]
\foreach \xy/\c in {
(0,0)/white,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/white}
\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{tabular}
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill  21 points}

\medskip

%On souhaite rénover une salle de bain qui a la forme d'un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n'en colle pas sur la porte, ni sur la fenÃªtre.
%	
%Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :
%	
%\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,> = latex]
%		\draw  (0,0) rectangle (9.6,6.1)
%			   (2.3,0) rectangle (4.9,4.9)	
%			   (0,6.1)--(4,9)--(13.7,9)--(13.7,2.9)--(9.6,0)
%			   (9.6,6.1)--(13.7,9);
%		\draw[dash pattern=on 2mm off 1.5mm] 
%				(0,0)--(4,2.9)--(13.7,2.9)
%				(4,2.9)--(4,9)
%				(6.4,5.5) rectangle (9.3,8)
%				(7.85,5.5)--(7.85,8)
%				(6.4,6.75)--(9.3,6.75);
%		\draw[<->, shift={(0,-0.25)}] (0,0)--(9.6,0)
%		node[below,pos=0.5]{3,50};
%		\draw[<->, shift={(-57:0.25)}] (9.6,0)--(13.7,2.9)
%		node[below right,pos=0.5]{2,50};
%		\draw[<->, shift={(0.25,0)}] (13.7,2.9)--(13.7,9)
%		node[right,pos=0.5]{2,50};
%		\draw[<->, shift={(-0.25,0)}] (2.3,0)--(2.3,4.9)
%		node[left,pos=0.5]{2,10};
%		\draw[<->, shift={(0,0.25)}] (2.3,4.9)--(4.9,4.9)
%		node[above,pos=0.5]{0,80};
%		\draw[<->, shift={(-0.25,0)}] (6.4,5.5)--(6.4,8)
%		node[left,pos=0.5]{1,20};
%		\draw[<->, shift={(0,0.25)}] (6.4,8)--(9.3,8)
%		node[above,pos=0.5]{1,60};
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}
%	
%	On dispose des informations suivantes :
%	
%	\fbox{\rule[-2.1cm]{0mm}{4.4cm}\begin{minipage}{0.53\linewidth}
%			Prix du papier peint :
%			
%			\begin{itemize}[label=\textbullet,leftmargin=*]
%				\item le papier peint est vendu au rouleau entier ;
%				
%				\item un rouleau coÃ»te 16,95 \euro{};
%				\item un rouleau permet de recouvrir 5,3 m$^2$.
%			\end{itemize}
%			\emph{Conseil du vendeur :} 
%			
%			prévoir 1 rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.
%	\end{minipage}}
%	\hfill
%	\fbox{\rule[-2.1cm]{0mm}{4.4cm}\begin{minipage}{0.42\linewidth}
%		Prix de la colle :
%		\begin{itemize}[label=\textbullet,leftmargin=*]
%			\item la colle est vendue au pot entier ;
%			\item un pot a une masse de 0,2 kg;
%			\item un pot coÃ»te 5,70 \euro{}.
%		\end{itemize}
%				\emph{Conseil du vendeur :}
%		
%		compter 1 pot de colle pour 4 rouleaux de papier peint.		
%	\end{minipage}}

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la surface Ã  recouvrir de papier peint est de 26,4 m^2$.
Pour trouver l'aire de la surface à recouvrir de papier peint, nous allons calculer :\par
$\bullet$ Aire des deux faces avant et arrière:   $2 \times 3,5 \times 2,5 = 17,5~\left(\text{m}^2\right)$

$\bullet$ Aire des deux faces sur les côtés:   $2 \times 2,5 \times 2,5 = 12,5~\left(\text{m}^2\right)$

$\bullet$ Aire de la porte :   $2,1 \times 0,8 = 1,68~\left(\text{m}^2\right)$

$\bullet$ Aire de la fenêtre:   $1,6 \times 1,2 = 1,92~\left(\text{m}^2\right)$

Ainsi l'aire de la surface à recouvrir de papier peint :

$17,5+12,5-1,68-1,92 = 26,4$ 

Ainsi l'aire de la surface à recouvrir de papier peint est $26,4~\left(\text{m}^2\right)$.
		
		\item %Calculer le prix, en euro, d'un mètre carré de papier peint.
%Arrondir au centime d'euro.
On paye 16,95~\euro{} pour 5,3~m$^2$ de papier peint. \par 
Pour avoir le prix au m$^2$, on va donc faire $\dfrac{16,95}{5,3} \approx 3,198$.\par
Cela donne un prix d'environ 3,20~\euro{} (au centime près) pour un mètre carré de papier peint.		
		\item %Si on suit les conseils du vendeur, combien coÃ»tera la rénovation de la salle de bain ?
Il faut en principe $\dfrac{26,4}{5,3} \approx 4,98$ soit 5 rouleaux de papier peint (à  l'unité près) pour la rénovation, et avec 1 rouleau de plus pour les pertes, il faudra donc acheter 6 rouleaux.		
		\item %Le jour de l'achat, une remise de 8 \% est accordée.
		
%Quel est le prix Ã  payer après remise ? Arrondir au centime d'euro.
Prix du papier peint : $6 \times 16,95 = 101,70$~(\euro)

Prix de la colle : $2 \times 5,70 = 11,40$~(\euro) 

Cela fera donc un total de : $101,70 + 11,40 = 113,10$~(\euro).

Enlever 8\,\% revient à  multiplier par $1 - \dfrac{8}{100} = 1 - 0,08 = 0,92$.

Le prix à  payer après remise est donc :

$113,10 \times 0,92 = 104,052 \approx 104,05$~(\euro).
	\end{enumerate}
\end{document}