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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small{28 juin 2021}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges 28 juin 2021~\decofourright\\[6pt]Métropole La Réunion Antilles--Guyane}}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La température moyenne à Tours en novembre 2019 fut de $8,2~\degres $C.

\item $22,6 - 4,4 = 18,2^\circ\text{C}$

L'étendue de cette série est de $18,2\degres $C (différence entre le mois le plus chaud et celui le plus froid).

\item Une formule possible est : \og =MOYENNE(B2:M2)\fg.

Une autre formule (moins efficace) possible est : 

\og =(B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2+I2+J2+K2+L2+M2)/12\fg.

On peut enfin utiliser la fonction SOMME.

\item Avec l'hypothèse que les mois comportent tous le même nombre de jours, on peut calculer une valeur (approchée) de la température moyenne annuelle en 2019 :

$\dfrac{4,4+7,8+9,6+11,2+13,4+19,4+22,6+20,5+17,9+ 14,4+8,2+7,8}{12}=\dfrac{157,2}{12}=13,1$.

La température moyenne annuelle à Tours en 2019 était de $13,1~\degres $C.

\item $\dfrac{13,1-11,9}{11,9} = \dfrac{1,2}{11,9}\approx 0,10 = 10\,\%$

Le pourcentage d'augmentation de la température entre 2009 et 2019 fut d'environ 10\,\%, à 1\,\% près. 

\medskip

\textbf{Autre procédure élève :} Appliquer une augmentation de 10\,\% revient à multiplier par 

$\left(1+\dfrac{10}{100}\right) = 1 + 0,1$ soit $1,1$.

Or, $11,9 \times 1,1 \approx 13~(\degres $C).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $1,9 \text{ million }= \np{1900000}$.

Or, $\np{2000000} - \np{1900000} = \np{100000}$.

Il aurait fallu \np{100000} visiteurs de plus en 2019 pour atteindre les 2 millions de visiteurs.
\item En 2019 année non bissextile, il y a eu 365 jours et \np{1900000} visiteurs soit une moyenne journalière de $\dfrac{\np{1900000}}{365}\approx \np{5205}$.

Il y a donc eu environ \np{5200} visiteurs par jour en 2019. L'affirmation est vraie.

\item 
	\begin{enumerate}
	\item $126 = 2\times 63=2 \times 9 \times 7=2 \times 3^2 \times 7$
	
	$90=2\times 45 = 2\times 9 \times 5=2 \times 3^2 \times 5$.
	\item Les six diviseurs communs à 126 et à 90 sont donc : \quad 1 \quad ; \quad 2 \quad ; \quad 3 \quad ; \quad $2\times 3=6$ \quad ; \quad $3^2=9$ \quad et \quad $2 \times 3^2 = 18$.
	\item Le professeur pourra donc constituer au maximum \textbf{18 groupes} avec le même nombre de filles et de garçons. Ils comporteront alors : 
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet$] $126 \div 18=7$ garçons.
			\item[$\bullet$] $90 \div 18 = 5$ filles.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Les points A, E, B sont alignés ainsi que les points A, D et C.
	
On suppose Marie et la tour verticales (perpendiculaires au sol) donc parallèles : $(\text{DE})//(\text{CB})$.
	
D'après le théorème de Thalès : 
$\dfrac{\text{AD}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{ED}}{\text{BC}}\quad \left(=\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} \right)$

Soit $\dfrac{2}{2+54,25}=\dfrac{1,6}{\text{BC}}$ ou  $\dfrac{2}{56,25}=\dfrac{1,6}{\text{BC}}$ puis $2\text{BC} = 1,6 \times 56,25$.

On en déduit : $\text{BC} =\dfrac{1,6\times 56,25}{2}= 0,8 \times 56,25 = 45~(\text{m})$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il y a $7+ 4+ 3+ 2 = 16$ jetons au total.

La probabilité $\dfrac{7}{16}$ est celle de l'évènement \textbf{\og Obtenir un jeton vert \fg}. \textbf{Réponse C.}

\item $B= $\og tirer un jeton bleu \fg. On a $p(B) = \dfrac{3}{16}$.

La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est : $P\left(\overline{B}\right)=1 - P(B) = 1-\dfrac{3}{16}=\mathbf{\dfrac{13}{16}}$. \textbf{Réponse A.}
\item L'image du motif 20 par la symétrie d'axe $(d)$ est le \textbf{motif 17}. \textbf{Réponse A.}
\item Le motif 3 est l'image du motif 1 par la rotation \textbf{de centre O, d'angle 72$^\circ$} dans le sens horaire. \textbf{Réponse B.}
\item L'aire du motif 11 est égale à \textbf{4 fois} l'aire du motif 1 car le rapport de l'homothétie est $k=2$ (et $k^2=4$). \textbf{Réponse B.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $4^2+3\times 4-10=16+12-10=18$

\item $(-3)^2+3\times (-3)-10=9-9-10=-10$.

\item On complète l'annexe scratch comme ci-dessous.% avec 3*x ligne 5 puis z-10 en ligne 6.

\begin{scratch}[num blocks]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \txtbox{Choisis un nombre} et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \ovalsensing{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{y} à \ovaloperator{\ovalvariable{x}\,*\,\ovalvariable{x}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{z} à \ovaloperator{\ovalvariable{y} \,+\,\ovaloperator{\ovalnum{3}\, *\, \ovalvariable{x}}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{z}\,$-$\,\ovalnum{10}}}
\blocklook{dire ~\ovaloperator{regroupe \, \ovalnum{Le nombre final est~} \, \ovalvariable{Résultat}} pendant \ovalnum{2} ~ secondes}
\end{scratch}

\item 
	\begin{enumerate}
	\item On note $x$ le nombre initial. Le résultat final est : $x^2 + 3x - 10$.
	
	\item On développe : $(x+5)(x-2) = x^2- 2x + 5x - 5\times 2= x^2 + 3x - 10$.
	
	\item Le résultat final est nul si et seulement si : $(x+5)(x-2)=0$.
	
Il s'agit d'un produit nul. Cela équivaut donc à : $x+5= 0$ ou $x-2= 0$.
	
	Soit \fbox{$x = -5$ ou $x = 2$}.
	
Pour obtenir 0 à la fin, il n'y a que deux nombres possibles au départ : $-5$ ou $2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{6,5}{100}\times 5,2= 0,338\text{ t }$.

Par rapport à l'année 2007, la production annuelle de déchets par Français a diminué de 0,338 tonne (soit 338~kg).

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comme C, H et B sont alignés, on a : $\text{CH}=\text{CB}-\text{HB}=67-39=28~(\text{ cm})$.
	
La longueur CH est égale à 28 cm.
	
		\item Le triangle CHD est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore, on a : 
	
$\text{CD}^2 = \text{CH}^2 + \text{HD}^2$.
	
$53^2= 28^2 + \text{HD}^2$
	
$\np{2809} = 784 + \text{HD}^2$
	
$\text{HD}^2 = \np{2809} - 784 = \np{2025}$
	
D'où $\text{HD} = \sqrt{\np{2025}} = 45~(\text{cm})$.
	\item \textbf{Aire du trapèze en utilisant la formule fournie :} 
	
Aire(ABCD) = $\dfrac{(39 + 67)\times 45}{2}= \np{2385}~\left(\text{cm}^2\right) = \np{0,2385}~\left(\text{m}^2\right)$.
	
\textbf{Aire du trapèze par somme : } Aire(ABCD)= Aire(ABHD) + Aire (CHD) = $39\times 45+ \dfrac{28 \times 45}{2}= \np{1755} + 630= \np{2385}\left(\text{cm}^2\right)= \np{0,2385}~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item Le composteur est un prisme, l'aire d'une de ses bases est : 
	
	Aire(base) = $\np{0,2385} + (1,1- 0,45)\times 0,67 = \np{0,2385} + 0,65\times 0,67 = \np{0,2385} + \np{0,4355} = 0,674~\left(\text{m}^2\right)$.
	
\medskip
	
Son volume $V$ est donné par :
	
$V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} = 0,674 \times 0,7= \np{0,4718}~\left(\text{m}^3\right)$.
	
L'affirmation est vraie : le composteur a un volume proche de 0,5 m$^3$ (légèrement inférieur).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}