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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP réf : 21MATJ2JAI},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Jour 2}}
\rfoot{\small{27 octobre 2022}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Nouvelle-Calédonie 27 octobre 2022 ~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\textbf{Principaux domaines abordés :} Probabilités

\medskip

%Au basket-ball, il existe deux sortes de tir :
%
%\begin{itemize}
%\item les tirs à deux points.
%
%Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s'ils sont réussis.
%\item les tirs à trois points.
%
%Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s'ils sont réussis.
%\end{itemize}
%
%\smallskip
%
%Stéphanie s'entraîne au tir. On dispose des données suivantes :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60\,\% sont réussis.
%\item[$\bullet~~$] Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35\,\% sont réussis.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Stéphanie réalise un tir. 

%On considère les évènements suivants :
%
%\begin{description}
%\item[ ] $D$ : \og Il s'agit d'un tir à deux points \fg.
%\item[ ] $R$ : \og le tir est réussi \fg.
%\end{description}
	\begin{enumerate}
		\item ~%Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~}\taput{0,25}}
{\TR{$R$}\taput{0,6}
\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,4}
}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~}\tbput{0,75}}
{\TR{$R$}\taput{0,35}
\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,65}
}}
\end{center}
		\item %Calculer la probabilité $p\left(\overline{D} \cap R\right)$.
$p\left(\overline{D} \cap R\right) = p\left(\overline{D}\right) \times p_{\overline{D}}\left(R \right) = 0,75 \times 0,35 = \np{0,2625}$.

		\item %Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,4125$.
On a de même $p(D \cap R) = p(D) \times p_D(R) = 0,25 \times 0,6 = 0,15$.

D'après la loi des probabilités totales : 

$p(R) = p(D \cap R) + p\left(\overline{D} \cap R\right) =   0,15 + \np{0,2625} = \np{0,4125}$.
		\item %Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième.
		Il faut trouver $p_R\left(\overline{D}\right) = \dfrac{p\left(R \cap \overline{D}\right)}{p(R)} = \dfrac{\np{0,2625}}{\np{0,4125}}\approx \np{0,6364}$, soit 0,64 au centième près.
	\end{enumerate}
\item %Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points.

%On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.

%On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Les tirs sont indépendants et à chaque tir la probabilité de le réussir est égale à 0,35 : la variable aléatoire $X$ égale au nombre de réussites suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p  = 0,35$.
		\item %Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		On a $E = np = 10 \times 0,35 = 3,5$ : en moyenne sur $20$ tirs Stéphanie en réussira $7$.
		\item %Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
		La calculatrice donne $p(X \leqslant 6) \approx 0,97$.
		\item %Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième.
		On a de même $p(X \geqslant 6) \approx 0,095$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $n$ un entier naturel non nul.

%Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points.

%On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu'elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.

%Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$.
La probabilité de rater $n$ tirs à 3 points est égale à $0,65^n$, donc elle d'en réussir un est $1 - 0,65^n$.

Il faut donc résoudre dans $\N$, l'inéquation $1 - 0,65^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,65^n$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien:

$\ln 0,01 \geqslant n\ln 0,62 \iff \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,65} \leqslant n$ (car $\ln 0,65 < 0$).

Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,65} \approx 10,69$ ; le plus petit naturel solution est donc 11 : Stéphanie doit tenter 11 tirs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\textbf{Principaux domaines abordés :} fonctions, fonction logarithme.

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x \ln (x) - x - 2.\]

%On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
%
%On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, on a $f'(x) = \ln (x)$.
		Somme de produits de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, \: $f$ est dérivable et sur cet intervalle :
		
		$f'(x) = \ln x + x \times \dfrac1x - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.
		\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = $e.
On a $f(\text{e}) = \e \ln \e - \e - 2 = - 2$.

De plus $f'(\e) = \ln \e = 1$.

On sait que $M(x~;~y) \in (T) \iff y - (- 2) = 1(x - \e) \iff y = x - 2 - \e$.
		\item %Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
De $f'(x) = \ln x$, on en déduit que $f''(x) = \dfrac1x$.

Comme $x > 0$, on a donc $f''(x) > 0$ sur $]0~;~+\infty[$ : la fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
		\item %En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.
		Le résulta précédent montre que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la tangente $T$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$, que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x  = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - 2$
		\item %Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.
On a pour tout réel $x \in ]0~;~+ \infty[$, on peut écrire :

$f(x) = x\left[\ln (x) - 1\right] - 2$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x - 1 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$, on a par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
On a $f'(x) = \ln x$. On sait que :

$\bullet~~$sur $]0~;~1[, \: \ln x < 0$ : donc $f$ décroit sur cet intervalle ;

$\bullet~~$sur $]1~;~+\infty[, \: \ln x > 0$ : donc $f$ croit sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$f(1) = - 1 - 2 = - 3$ est donc le minimum de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\psline(1.15,0)(1.15,2.5)\psline(1.2,0)(1.2,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.15,2.4){$0$}\uput[u](4,2.4){$1$}\uput[u](6.5,2.4){$+\infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$}\rput(4,2.25){0}\rput(5.5,2.25){$+$}
\uput[d](1.4,2){$-2$}\uput[u](4,0){$-3$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}

\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans
%l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.
Le tableau de variations montre que sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$, $f$ est strictement croissante de $- 3$ à plus l'infini.

$f$ étant continue car dérivable, le théorème des valeurs intermédiaires montre qu'il existe un réel unique $\alpha$ de $]1~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
		\item %Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle ]4,3~;~4,4[.
		On a $f(4,3) \approx - 0,028$ et $f(4,4) \approx 0,119$.
		
D'après le même théorème ceci montre que $\alpha \in ]4,3~;~4,4[$.
		\item %En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		Conclusion :

$\bullet~~$sur $]0~;~\alpha[, \: f(x) < 0$ ;

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[, \: f(x) > 0$ ;

$\bullet~~$$f(\alpha) = 0$.
	\end{enumerate}
\item %On considère la fonction \texttt{seuil} suivante écrite dans le langage Python :

%On rappelle que la fonction \texttt{log} du module \texttt{math} (que l'on suppose importé)
%désigne la fonction logarithme népérien ln.
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|} \hline
%\texttt{def}& \texttt{seuil(pas) :}\\
%&\texttt{x=4.3}\\
%&\texttt{while x*log (x) - x - 2 < 0:}\\
%&\quad \texttt{x=x+pas}\\
%&\texttt{return x}\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}

%Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction \texttt{seuil(0.01)} ?
La fonction \texttt{seuil(0.01)} renvoie la valeur 4,32.

%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Ceci donne l'encadrement de $\alpha$ au centième près : $4,31 < \alpha < 4,32$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Principaux domaines abordés :} géométrie dans l'espace

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d'une pyramide EFGHS.

On a DC $= 6$,\:\: DA = DH $= 4$.

Soit les points I, J et K tels que

$\vect{\text{DI}} = \dfrac16\vect{\text{DC}}, \quad \vect{\text{DJ}} = \dfrac14\vect{\text{DA}},\quad \vect{\text{DK}} = \dfrac14\vect{\text{DH}}$.

On note $\vect{\imath} = \vect{\text{DI}},\:\vect{\jmath} = \vect{\text{DJ}},\: \vect{k} = \vect{\text{DK}}$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D}~;~\vect{\imath},\:\vect{\jmath}, \: \vect{k}\right)$.

On admet que le point S a pour coordonnées (3~;~2~;~6).
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
%\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.3,6)
\pspolygon(0.3,3.9)(0.3,0.7)(2.7,0.3)(2.7,3.5)%GCBF
\psline(2.7,0.3)(6,1.1)(6,4.3)(2.7,3.5)%BAEF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.3,0.7)(3.6,1.5)(6,1.1)%CDA
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](3.6,1.5)(3.6,4.7)(3.1,5.6)%DHS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.3,3.9)(3.6,4.7)(6,4.3)%GHE
\psline(6,4.3)(3.1,5.6)(2.7,3.5)%ESF
\psline(3.1,5.6)(0.3,3.9)%SG
\psline(4.3,4.8)(4.3,5.35)%PQ
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(3.6,1.5)(3.05,1.37)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(3.6,1.5)(4.2,1.4)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(3.6,1.5)(3.6,2.3)
\uput[r](6,1.1){A} \uput[d](2.7,0.3){B} \uput[dl](0.3,0.7){C} \uput[d](3.6,1.5){D}
\uput[ur](6,4.3){E} \uput[dl](2.7,3.5){F} \uput[l](0.3,3.9){G} \uput[ur](3.6,4.7){H}
\uput[u](3.1,5.6){S} \uput[d](4.3,4.8){P} \uput[u](4.3,5.35){Q} \uput[u](3.05,1.37){I}
\uput[ur](4.2,0.9){J} \uput[r](3.6,2.3){K} \uput[d](3.32,1.42){$\vect{\imath}$} \uput[u](3.9,1.3){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](3.6,1.9){$\vect{k}$}
\end{pspicture}
%\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[start=1]
\item B(6~;~4~;~0), \quad E(0~;~4~;~4), \quad F(6~;~4~;~4), \quad G(6~;~0~;~4).
%Donner, sans justifier, les coordonnées des points B, E, F et G.
\item %Démontrer que le volume de la pyramide EFGHS représente le septième du volume total de la maison.

%On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

%\[V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times  \text{hauteur}.\]
On a $\mathcal{A}(\text{EFGH}) = 6 \times 4 = 24$.

La hauteur de la pyramide est égale à $6 - 4 = 2$, donc :

$V(\text{EFGHS}) = \dfrac13 \times 24 \times 2 = 16$.

D'autre part $V(\text{ABCDEFGH}) = 6 \times 4 \times 4 = 96$.

Le volume de la maison est donc égal à $16 + 96 = 112$.

Or $\dfrac{V(\text{EFGHS})}{V(\text{maison})} = \dfrac{16}{112}\dfrac{4}{28} = \dfrac{1}{7}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan (EFS).
		On a $\vect{\text{EF}}\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{ES}}\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$.
		
$\vect{\text{EF}}\cdot \vect{n} = 6 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 1 = 0$ et 

$\vect{\text{ES}}\cdot \vect{n} = 3 \times 0 - 2 \times 1 + 2 \times 1 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs manifestement non colinéaires du plan (EFS) est donc normal à ce plan.
		\item %En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EFS) est $y + z - 8 = 0$.
		Le résultat précédent montre que :
		
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{EFS}) \iff 0x + 1y + 1z = d, \quad d \in \R$.

Or, par exemple E(0~;~4~;~4) $\in (\text{EFS}) \iff 0 + 4 + 4 = d \iff d = 8$.

On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{EFS}) \iff y + z = 8.$
	\end{enumerate}
\item %On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment [PQ]. On dispose des données suivantes:

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] le point P appartient au plan (EFS) ;
%\item[$\bullet~~$] le point Q a pour coordonnées (2~;~3~;~5,5) ;
%\item[$\bullet~~$] la droite (PQ) est dirigée par le vecteur $\vect{k}$.
%\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (PQ) est :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x &=&2\\
%y &=&3\\
%z &=& 5,5 + t
%\end{array}\right. \quad (t \in \R)\]
On a $M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQ}) \iff \vect{\text{Q}M} = t\vect{k}, \quad (t \in \R) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 2 &=& 0t\\
y - 3&=&0t\\
z - 5,5&=&1t
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2\\
y &=&3\\
z &=&5,5 + t
\end{array}\right., \quad (t \in \R)$.
		\item %En déduire les coordonnées du point P.
Les coordonnées du point P vérifient les équations paramétriques de la droite (PQ) et du plan (EFS), donc du système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2\\
y &=&3\\
z &=&5,5 + t\\
y + z &=& 8
\end{array}\right. \Rightarrow 3 + 5,5 + t  = 8 \iff t = - 0,5$.

Conclusion : P(2~;~3~;~5).
		\item %En déduire la longueur PQ de l'antenne.
On a PQ$^2 = (2 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (5,5 - 5)^2 = 0,25$ , donc PQ $ = 0,5$.
	\end{enumerate}	
%Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :

%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x & =& -4 + 6s\\ y &=& 7 - 4s\\z &=& 2 + 4s
%\end{array}\right.\quad (s \in \R)\]
%
%Déterminer la position relative des droites (PQ) et $\Delta$.
%
\item %L'oiseau va-t-il percuter l'antenne représentée par le segment [PQ] ?
$\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{\delta}\begin{pmatrix}6\\-4\\4\end{pmatrix}$ et la droite (PQ) a pour vecteur directeur $\vect{k}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.

Elles sont sécantes s'il existe un point $M(x~;~y~;~z)$ dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2\\
y &=&3\\
z &=&5,5 + t\\
x & =& -4 + 6s\\
y &=& 7 - 4s\\
z &=& 2 + 4s
\end{array}\right.$

On en déduit (équations 1 et 4) que $2 = - 4 + 6s \iff 6 = 6s \iff s = 1$ et (équations 3 et 6) que $5,5 + t = 2 + 4 \iff t = 0,5.$

Il existe donc un point commun aux deux droites de coordonnées (2~;~3~;~6)

Reprenons les équations paramétriques de la droite (PQ) : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQ}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2\\
y &=&3\\
z &=&5,5 + t
\end{array}\right., \quad (t \in \R)$

L'abscisse et l'ordonnée de tous les points de cette droite sont fixes, seule la cote varie de 5 pour P (correspondant à $t = -0,5$ à 5,5 pour Q (correspondant à $t = 0$) ; autrement dit les points du segment vérifient le système :

$M(x~;~y~;~z) \in [\text{PQ}] \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2\\
y &=&3\\
z &=&5,5 + t
\end{array}\right., \quad (-0,5 \leqslant t \leqslant 0)$.

Le point commun aux deux droites correspond lui à $t = 0,5$, donc n'appartient pas au segment [PQ] : autrement dit l'oiseau ne va pas percuter l'antenne représentée par le segment [PQ]. (il va passer 0,5 unité au dessus de [PQ]).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Principaux domaines abordés :} suites, fonctions, primitives

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

\[u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}.\]

%On peut affirmer que:
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~} la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$. &\textbf{b.~~} la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.\\
%\textbf{c.~~}  la suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite. &\textbf{d.~~} la suite $\left(u_n\right)$ converge.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $- 1 \leqslant (- 1)^n \leqslant 1$, donc puisque $n+1 \geqslant 1 > 0$ et que $\dfrac{1}{n  1} > 0$, on en déduit que pour tout naturel :

\[- \dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}\]

La suite $\left(u_n\right)$ encadrée par deux suites ayant pour limite 0 a pour limite 0.
\begin{center} \decosix \decosix \decosix  \end{center}
\end{enumerate}

Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites $\left(v_n\right)$  et $\left(w_n\right)$ vérifiant la relation : 

\[w_n = \e^{- 2v_n} + 2.\]

%\begin{enumerate}[resume]
%\item  Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln (a)$.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~} $w_0 = \dfrac{1}{a^2}  +2$&\textbf{b.~~}$w_0 = \dfrac{1}{a^2  +2}$\\
%\textbf{c.~~} $w_0 = -2a +2$&\textbf{d.~~}$w_0 = \dfrac{1}{- 2a} + 2$
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $w_0 = \e^{- 2v_0} + 2 = \e^{- 2\ln (a)} + 2 = \dfrac{1}{\e^{2\ln(a)}} + 2=  \dfrac{1}{\e^{\ln \left(a^2\right)}} + 2 = \dfrac{1}{a^2} + 2$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~}décroissante et majorée par 3.&\textbf{b.~~}décroissante et minorée par 2 .\\
%\textbf{c.~~}croissante et majorée par 3 .&\textbf{d.~~}croissante et minorée par 2.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a successivement :

$v_n \leqslant v_{n+1} \Rightarrow 2v_n \leqslant 2v_{n+1} \Rightarrow - 2v_{n+1} \leqslant - 2v_n\Rightarrow \e^{- 2v_{n+1}} \leqslant \e^{- 2v_n}$ par croissance de la fonction exponentielle et enfin $\e^{- 2v_{n+1}} + 2 \leqslant \e^{- 2v_n} + 2$, soit $w_{n+1} \leqslant w_n$ : la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante.

D'autre part on sait que quel que soit le réel$\alpha, \: \e^{\alpha} > 0$ donc  la suite est minorée par 2.
\item %On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie :

\[a_0 = 2 \:\:\text{et, pour tout entier naturel}\: n, \quad a_{n+1} = \dfrac13a_n + \dfrac83.\]

%Pour tout entier naturel $n$,on a :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~}$a_n = 4 \times \left(\dfrac13\right)^n - 2$&\textbf{b.~~}$a_n = - \dfrac{2}{3^n} + 4$\\
%\textbf{c.~~}$a_n = 4 - \left(\dfrac13\right)^n$ & \textbf{d.~~} $a_n = 2 \times \left(\dfrac13\right)^n + \dfrac{8n}{3}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
Soit la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout naturel $n$ par $b_n = a_n + \alpha$.

Alors $b_{n+1} = a_{n+1} + \alpha = \dfrac13a_n + \dfrac83 + \alpha = \dfrac13\left(b_n - \alpha \right) + \dfrac83 + \alpha = \dfrac13b_n - \dfrac{\alpha}{3} + \dfrac83 + \alpha = \dfrac13b_n + \dfrac{8 + 2\alpha}{3}$.

Prenons $\alpha = - 4$, alors $b_{n+1} = \dfrac13b_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $b_0 = a_0 + \alpha = 2 - 4 = - 2$.

On sait qu'alors que, quel que soit le naturel $n$, \: $b_n = b_0 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = - 2 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.

Finalement $b_n = a_n - 4 \iff a_n = 4 + b_n = 4 - 2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
\item On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a :

\[b_{n+1} = b_n + \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right).\]

%On peut affirmer que :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~} la suite $\left(b_n\right)$ est croissante.&\textbf{b.~~}la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.\\
%\textbf{c.~~} la suite $\left(b_n\right)$ n'est pas monotone.&\textbf{d.~~}  Le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a quel que soit le naturel $n$, \: $b_{n+1} - b_n = \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right)$.

Or quel que soit le réel $b_n$, \: $b_n^2 \geqslant 0$, donc $\left(b_n\right)^2 + 3 \geqslant 3 > 2$, donc $\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3} < 1$ et enfin $\ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right) < 0$.

Conclusion : $b_{n+1} - b_n < 0$ montre que la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.

\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{\e^x}{x}.\]

%On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
%
%La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~}une asymptote verticale
%et une asymptote horizontale.&\textbf{b.~~}une asymptote verticale
%et aucune asymptote horizontale.\\
%\textbf{c.~~}aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.&\textbf{d.~~}aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet~~$Au voisinage de zéro : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \e^x = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}x  = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty$ : géométriquement l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}_g$.

$\bullet~~$Au voisinage de plus l'infini : on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$, donc pas d'asymptote.

\item %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = x\e^{x^2+1}.\]

%Soit $F$ une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~}$F(x) = \dfrac12x^2\e^{x^2+1}$ 	& \textbf{b.~~}$F(x) = \left(1 + 2x^2 \right)\e^{x^2+1}$ \\
%\textbf{c.~~}$F(x) = \e^{x^2+1}$				& \textbf{d.~~}$F(x) = \dfrac12\e^{x^2+1}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
En posant $u(x) = x^2 + 1$, on a $u'(x) = 2x$ et l'on peut écrire $f(x) = \dfrac12 \times 2x \times \e^{x^2+1} = \dfrac12 u'\e^u$ : on reconnait la dérivée de $\dfrac12\e^u = \dfrac12\e^{x^2 + 1}$.

Donc $F(x) = \dfrac12\e^{x^2+1}$.
\end{enumerate}
\end{document}