\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{diagbox}
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%Merci à : @mathasius (twitter) pour le sujet
%Tapuscrit : François Kriegk
\usepackage{lscape}
\usepackage{pst-fun} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node,pstricks-add}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges},
pdftitle = {Centres Étrangers - 15 juin 2021},
allbordercolors = white,pdfstartview=FitH}   
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Centres ­Étrangers}}
\rfoot{\small{15 juin 2021}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du diplôme national du brevet
Centres Étrangers~\decofourright}}\\[6pt]
{\Large \textbf{15 juin 2021}}

%\medskip
%
%\emph{L'usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé.\\
%L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 24 points}

%	\emph{Dans cet exercice, chaque question est indépendante. Aucune justification n'est demandée.}
	
\begin{enumerate}
\item ~%Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.

\begin{center}
$\begin{array}{r|l}
360&9\\
40&8\\
5&5\\
\end{array}$

Donc $360 = 9 \times 8 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
\end{center}
		
\item %\begin{minipage}[t]{9 cm}
%À partir du triangle BEJ, rectangle isocèle en J, on a obtenu par pavage la figure ci-contre.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est l'image du triangle BEJ par la symétrie d'axe (BD) ?
Le point B a pour image B et le point J appartient  (BD), il est aussi égal à son image.
				
Enfin l'image de E est le point F.
				
Donc l'image du triangle BEJ par la symétrie d'axe (BD) est le triangle BJF.
				
\item %Quelle est l'image du triangle AMH par la translation qui transforme le point E en B ?
La translation qui transforme le point E en B  transforme A en E, M en F et H en M.

Donc le triangle AMH a pour image EFM.
\item %Par quelle transformation passe-t-on du triangle AIH au triangle AMD ?
Le triangle AMD contient 4 triangles identiques au triangle initial BEJ ; l'aire étant le quadruple de celle du triangle initial ses dimensions sont le double de celle de AIH.

Le point A étant commun aux deux triangles le triangle AMD est l'image du triangle AIH par l'homothétie de centre A et de rapport 2.
			\end{enumerate}
%		\end{minipage}\hfill
%		\begin{tikzpicture}[baseline={(A)}]
%			\draw (0,2) node (A)[above]{A}-- (-2,0) node[left]{B} -- (0,-2) node[below] {C} -- (2,0) node[right]{D} -- cycle;
%			\draw (-1,1) node[above left ]{E} -- (-1,-1) node[below left] {F} --(1,-1) node [below right] {G} -- (1,1) node [above right] {H} -- cycle;
%			\draw (-2,0)--(-1,0) node[above left] {J} -- (0,0) node[shift={(20:.4)}] {M} -- (1,0) node [above right] {L}--(2,0);
%			\draw (0,2)--(0,1) node[above right]{I} -- (0,-1) node[below right] {K}--(0,-2);
%			\draw (-1,1)--(1,-1) (-1,-1)--(1,1);
%		\end{tikzpicture}
		
\item %Calculer en détaillant les étapes : 

%\[\dfrac{7}{2} + \dfrac{15}{6} \times \dfrac{7}{25}\]
$\dfrac{7}{2} + \dfrac{15}{6} \times \dfrac{7}{25} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{15\times 7 }{6\times25} = 
 \dfrac{7}{2} + \dfrac{5 \times 3 \times 7 }{2 \times 3 \times 5\times 5} =  \dfrac{7}{2} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{35}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{42}{10} = \dfrac{2 \times 21}{2 \times 5} = \dfrac{21}{5}$
%On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
		
		\item %Pour cette question, on indiquera sur la copie l'unique bonne réponse. Sachant que le diamètre de la Lune est d'environ \np[km]{3474}, la valeur qui approche le mieux son volume est :
		
%		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%		Réponse A     & Réponse B     &	Réponse C     &	Réponse D   \\ \hline
%		$12,3 \times 10^{17}\mathrm{~km}^3$&  $\np{1456610}\mathrm{~km}^3$	&
%		$1,8 \times 10^{11}\mathrm{~km}^3$ &  $2,2 \times 10^{10}\mathrm{~km}^3$ \\ \hline
%		\end{tabularx}
Une boule de rayon $R$ a un volume de $V = \dfrac{4}{3}\times \pi R^3$.

Donc le volume de la Lune est environ :

$V_{\text{Lune}} \approx \dfrac{4}{3}\times \pi \times \np{1737}^3 \approx \np{2,195} \times 10^{10}$ ; donc réponse D : $2,2 \times 10^{10}$.	
		
		\item %On considère un triangle RST rectangle en S. Compléter le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
%On arrondira la valeur des angles à l'unité. 
Pour les angles, on peut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.

Avec le cosinus : $\cos \widehat{\text{STR}} = \dfrac{\text{ST}}{\text{RT}} = \dfrac{24}{26} = \dfrac{12}{13}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{STR}} \approx 22,6$, soit 23\degres au degré près.

L'angle complémentaire $\widehat{\text{SRT}}$ mesure donc $67\degres$ au degré près.

Voir le tableau à la fin.
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 21 points}

	\textbf{Partie 1}
	
	Dans cette première partie, on lance un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6, puis on note le numéro de la face du dessus.
	
	\begin{enumerate}
		\item %Donner sans justification les issues possibles.
Les issues sont 1,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,5,\,\,6.
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement A : « On obtient 2 » ?
La probabilité d'obtenir le 2 (comme les autres nombres) est $\dfrac{1}{6}$.
		
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement B : « On obtient un nombre impair » ?
Il y a 3 nombres impairs (ou pairs). la probabilité est donc égale à $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}

	\textbf{Partie 2}
	
Dans cette deuxième partie, on lance simultanément deux dés bien équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle « score » la somme des nombres correspondants aux issues  de chaque dé.
	
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement C : « le score est 13 » ? Comment appelle-t-on un tel évènement ?
La plus grande somme possible étant 12, l'évènement est impossible de probabilité nulle.
		
		\item %Dans le tableau à double entrée donné en ANNEXE, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
		
		\begin{enumerate}
			\item %Compléter, sans justifier, le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
Voir à la fin 
			\item %Donner la liste des scores possibles.
			Les scores possibles sont : 2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12, soit 11 scores différents possibles 
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité de l'évènement D : « le score est 10 ».
		Il y a $6 \times 6 = 36$ issues possibles.
		
On a $10 = 4 + 6 = 5 + 5  = 6 + 4$ : 3 issues, donc $p(D) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$.
		\item %Déterminer la probabilité de l'évènement E : « le score est un multiple de 4 ».
On a $p(E) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}$.
		\item %Démontrer que le score obtenu a autant de chance d'être un nombre premier qu'un nombre strictement plus grand que 7.
Il y a 15 scores premiers et 15 scores supérieurs à 7.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 16 points}

%Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont deux sont réalisés avec un logiciel de programmation.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
%	Programme A & Programme B\\
%	\begin{scratch}[scale=0.75]
%		\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%		\blocksensing{demander \ovalnum{choisir un nombre}~ et attendre}
%		\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre choisi} à \ovalsensing{réponse}}
%		\blockvariable{mettre \selectmenu{Valeur 1} à \ovaloperator{\ovalnum{1} + \ovalvariable{nombre choisi}}}
%		\blockvariable{mettre \selectmenu{Valeur 2} à \ovaloperator{\ovalnum{3} * \ovalvariable{Valeur 1}}}
%		\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Valeur 2} - \ovalnum{3}}}
%		\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{On obtient} et \ovalvariable{résultat}} pendant \ovalnum{2} secondes}
%	\end{scratch}&\begin{scratch}[scale=0.75]
%	\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%	\blocksensing{demander \ovalnum{choisir un nombre}~ et attendre}
%	\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre choisi} à \ovalsensing{réponse}}
%	\blockvariable{mettre \selectmenu{Valeur 1} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre choisi} + \ovalnum{3}}}
%	\blockvariable{mettre \selectmenu{Valeur 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre choisi} - \ovalnum{5}}}
%	\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Valeur 1} * \ovalvariable{Valeur 2}}}
%	\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{On obtient} et \ovalvariable{résultat}} pendant \ovalnum{2} secondes}
%	\end{scratch}\\ \hline
%	\multicolumn{2}{|c|}{Programme C}\\
%	\multicolumn{2}{|c|}{\begin{minipage}{6cm}
%			\textbullet~~ Choisir un nombre
%			
%			\textbullet~~ Multiplier par 7
%			
%			\textbullet~~ Ajouter 3
%			
%			\textbullet~~ Soustraire le nombre de départ
%			
%		\end{minipage}}\\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item %Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ alors le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient 3 ».
On obtient successivement : $1 \to 1 + 1 = 2 \to 3 \times 2  = 6 \to 6 - 3 = 3$.	
		\item %Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
On obtient successivement : $2 \to 2 + 3 = 5 \to 2 - 5 = - 3 \to 5 \times - 3 = - 15$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $x$ le nombre de départ, quelle expression littérale obtient-on à la fin de l'exécution du programme C ?
On obtient successivement : $x \to x \times 7 \to 7x + 3 \to 7x + 3 - x = 6x + 3$.	
	\item %Un élève affirme qu'avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
On vient de voir que le programme C donne $6x + 3 \ne 3x$ ;

Le programme A donne à partir de $x$ : $x \to 1 + x \to 3(1 + x) = 3 + 3x \to 3 + 3x -3 = 3x$ : on 
obtient bien le triple.

Le programme B donne à partir de $x$ : $x \to x + 3 \to x - 5 \to (x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15 \ne 3x$.

L'élève a raison.
	\item \begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation $(x + 3)(x - 5) = 0$.
U produit de deux facteurs est nul si l'un des facteurs est nul, donc :

$(x + 3)(x - 5) = 0$ si $\left\{\begin{array}{l c l}
x + 3&=&0\\
x - 5&=&0
\end{array}\right.$ ou encore $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- 3\\
x &=&5
\end{array}\right.$

L'ensemble des solutions est $S = \{- 3~;~5\}$.

		\item %Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient 0 » ?
On a vu que le programme B donne à partir de $x$ le produit $(x + 3)(x - 5)$ ry on a vu dans la question précédente que $- 3$ et $5$ annulaient ce produit.

Donc le programme B donne à partir de $- 3$ et à partir de 5 le nombre $0$.
	\end{enumerate}
	\item %Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?
Il faut trouver $x$ tel que $6x + 3 = 3x$ soit en ajoutant à chaque membre $- 3x$ : $3x + 3 = 0$ ou $3x = - 3$, soit $3\times x = 3 \times (- 1)$ et finalement $x = - 1$

Le nombre $- 1$ donne par A ou C le même résultat $- 3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 19 points}

%Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott.
%
%Elle est partie d'une altitude de 251 mètres et arrivera au sommet à une altitude de 393 mètres.
%
%Sur le schéma ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point A et le sommet par le point E. Aurélie est actuellement au point D. 
%
%\begin{tikzpicture}
%	\draw (0,0) node [below left] {A} -- (10,0) node[below right] {C} -- (10,4) node[above right]{E} -- cycle;
%	
%	\draw[dash pattern = on 1mm off 0.5mm, <-,> = latex] (-0.1,0)-- (-1.1,0) node [left]{Altitude : 251 m};
%	
%	\draw[dash pattern = on 1mm off 0.5mm, <-,> = latex] (9.9,4)-- (-1.1,4) node [left]{Altitude : 393 m};
%	
%	\draw (0,0) -- (4,1.6) node[pos=0.5, sloped, below] {51,25 m} node [below right]{D} -- (4,0) node[pos = 0.5, right]{11,25 m} node[below] {B};
%	
%	\draw (3.7,0)--(3.7,0.3)--(4,0.3) (9.7,0)--(9.7,0.3)--(10,0.3);
%		
%%	\draw[shift={(4,1.6)}, line width = 0.8 mm, line cap = round, line join = angle] (-0.09,0.06) -- (-0.2,0.37)--(0.05,0.28)--(-0.12,0.2);
%
%\draw [shift={(4,1.6)},line width=3.2pt,fill=black,fill opacity=1.0] (0.22,1.1) circle (0.1);
%\draw [shift={(4,1.6)}]  (-0.63,0.11) circle (0.33) (0.31,0.49) circle (0.33);
%
%	\draw [shift={(4,1.6)}, line width = 0.8 mm, line cap = round, line join = angle] (-0.18,0.12)--(-0.39,0.73) -- (-0.09,0.55) (-0.09,0.55) -- (-0.25,0.39);
%
%	\draw [fill=black, shift={(4,1.6)}, line width = 0.8 mm, line cap = round, line join = angle] (-0.37,0.87) -- (0,1) arc (109:-71:0.09) -- (-0.17,.75)-- cycle;
%	
%	\draw [fill=black, shift={(4.4,1.7)}, line width = 0.8 mm, line cap = round, line join = angle]	(-0.39,0.73) -- (-0.09,0.55);
%	
%	%(0.21,0.62) -- (-0.28,0.82) ;
%\end{tikzpicture}

%Les droites (AB) et (DB) sont perpendiculaires. Les droites (AC) et (CE) sont perpendiculaires. Les points A, D et E sont alignés. Les points A, B et C sont alignés.
%
%AD = 51,25 m et DB = 11,25 m.

\begin{enumerate}
	\item %Justifier que le dénivelé qu'Aurélie aura effectué, c'est-à-dire la hauteur EC, est égal à $142$~m.
On a CE $ = 393 - 251 = 142$~(m).	
	\item \begin{enumerate}
		\item %Prouver que les droites (DB) et (EC) sont parallèles.
Les droites (DB) et (EC) étant toutes les deux perpendiculaires à la droite (AC) sont parallèles.
		\item %Montrer que la distance qu'Aurélie doit encore parcourir, c'est-à-dire la longueur DE, est d'environ 596 m.
A, D, E sont alignés dans cet ordre,

A, B et C sont alignés dans cet ordre,

et les droites (DB) et (EC) sont parallèles : on est donc une situation où l'on peut appliquer le théorème de Thalès, soit :

$\dfrac{\text{BD}}{\text{EC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}}$,

soit $\dfrac{11,25}{142} = \dfrac{51,25}{\text{AE}}$ ;

on en déduit $11,25\text{AE} = 142 \times 51,25$ puis $\text{AE} = \dfrac{142 \times 51,25}{11,25}\approx 646,8$.

Donc DE $= \text{AE} - \text{AD} \approx 646,8 - 51,25 \approx 595,6$ soit 596~(m) au mètre près. 
	\end{enumerate}
\item %On utilisera pour la longueur DE la valeur 596 m.
	
%Sachant qu'Aurélie roule à une vitesse moyenne de 8 km/h, si elle part à 9~h~55 du point D, à quelle heure arrivera-t-elle au point E ? Arrondir à la minute.
Aurélie parcourt donc \np{8000}~m en 60 minutes ou 800~m en 6~min ou 400~m en 3 minutes.

Elle mettra donc pour parcourir $596$~(m) un temps $t$ tel que $\dfrac{3}{400} = \dfrac{t}{596}$, soit en multipliant chaque membre par 596 :

$t = \dfrac{3 \times 596}{400} = 4,47$~(min), donc $t \approx 4$~(m) : elle arrivera donc à 9~h~59~min à la minute près.	
\item %La pente d'une route est obtenue par le calcul suivant :
	
%	\begin{tabularx}{\linewidth}[t]{@{}X@{\qquad}| l|} \cline{2-2}
%	
%$\text{pente} =	\dfrac{\text{dénivelé}}{\text{longueur horizontale parcourue}}$.
%	
%La pente s'exprime en pourcentage.
%	
%Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de 22,5\,\%.&
%\begin{tikzpicture}[baseline={(t)}]
%	 \node (t) at (0,3.5) [right] {Exemple d'une pente à 13\,\%};
%	 \node (d) at (0,3) [below right, text width = 3 cm] {\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur}};
%	 \draw (0,0)--(4.5,0) node [pos = 0.5, below] {200 m} node [pos = 0.5, below=3mm] {longueur horizontale parcourue}--(4.5,2.5) node [pos = 0.4, right]{dénivelé} node [pos = 0.6,right]{26 m}--cycle node[sloped, pos = 0.5, above] {Route}
%	 (4.2,0) -- (4.2,0.3)--(4.5,0.3);
%\end{tikzpicture} \\ \cline{2-2}
%\end{tabularx}
On a par définition dans le triangle rectangle ABD : $\sin \widehat{\text{CAE}} = \dfrac{\text{BD}}{\text{AD}} = \dfrac{11,25}{51,25}$. La calculatrice donne $\widehat{\text{CAE}} \approx 12,68\degres$.

Dabs le triangle ABC on a $\tan \widehat{\text{CAE}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{AC}}$ d'où AC $ = \dfrac{\text{CE}}{\tan \widehat{\text{CAE}}} \approx \dfrac{142}{0,225} \approx 631,1$~(m).

Finalement la pente  est  $\approx \dfrac{142}{631,1} \approx 0,225$, donc $\dfrac{22,5}{100} = 22,5\,\%$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 20 points}

\medskip

%Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d'hiver :
%
%\begin{itemize}
%	\item Formule A : on paie 36,50 \euro{} par journée de ski.
%	
%	\item Formule B : on paie 90 \euro{} pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis 18,50 \euro{} par journée de ski.
%	
%	\item Formule C : on paie 448,50 \euro{} pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski. Compléter, sans justifier, le tableau fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
Voir à la fin.	
	\item %Dans cette question, $x$ désigne le nombre de journées de ski.
	
%On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
	
	\hfill~ $f(x) = 90 + 18,5x$\hfill~ $g(x) = 448,5$ \hfill~ $	h(x) = 36,5x$\hfill~
	
	\begin{enumerate}
		\item %Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?
Seule la fonction $h$ représente une situation de proportionnalité.	
		\item %Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.
Formule A : fonction $h$ ;

Formule B : fonction $f$ ;

Formule C : fonction $g$.	
		\item %Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.
		Il faut donc résoudre l'équation : $h(x) = f(x)$, soit $36,5x = 90 + 18,5x$ d'où en ajoutant $- 18,5x$ à chaque membre : $18x = 90$ ou $2 \times 9 x = 9 \times 2 \times 5$ et en simplifiant par $2 \times 9$ ; \, $x = 5$.
		
On a effectivement : $h(5) = 182,5$ et $f(5) = 90 + 18,5 \times 5 = 90 + 92,5 = 182,5$.

On paiera avec les formules A et B, 182,50~\euro.
	\end{enumerate}

	\item On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique ci dessous.
	
	Sans justifier et à l'aide du graphique :
	
	\begin{enumerate}
		\item %Associer chaque représentation graphique $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$ à la fonction $f$, $g$ ou $h$ correspondante.
-- $\left(d_1\right)$ correspond à la fonction constante $g$ définie par $g(x) = 448,5$ ;

-- $\left(d_2\right)$ correspond à la fonction linéaire $h$ définie par $h(x) = 36,5x$ ;

-- $\left(d_3\right)$ correspond à la fonction  $f$ définie par $f(x) = 90 + 18,5x$.
		
		\item %Déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de 320 \euro{}, en choisissant la formule la plus avantageuse.
Marin ne peut bien sûr pas se payer le forfait à 448,50~\euro.

Avec la formule A l'équation $36,5x = 320$ a pour solution $x = \dfrac{320}{36,5} \approx 8,8$ : il peut donc skier 8~jours.

Avec la formule B l'équation $90 + 18,5x = 320$ peut s'écrire $18,5x = 230$ qui a pour solution $x  = \dfrac{230}{18,5} \approx 12,4$, soit 12 journées de ski, soit le nombre maximal de journées de ski qu'il peut se payer (il paiera en fait $90 + 18,5 \times 12 = 312$~\euro).
		
		\item %Déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.
La formule A est la plus onéreuse. Il faut donc comparer les formules B et C. Or :
		
$448,5 < 90 + 18,5x$ peut s'écrire $358,5 < 18,5x$ ou encore $\dfrac{358,5}{18,5} < x$.
		
Or $\dfrac{358,5}{18,5} \approx 19,4$, donc le plus petit entier naturel qui vérifie l'inéquation est 20.
		
Le forfait est intéressant à partir de 20 journées de ski dans l'année.

\emph{Remarque} : on pouvait aussi résoudre les deux dernières questions graphiquement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=0.15mm,>=latex]
	\draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=1, ystep = 40] (0,0) grid (21,550);
	\foreach \x in {1,...,20}
	\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$};
	\foreach \y in {40,80,...,520}
	\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$};
	\draw [->, line width = 0.8pt] (0,0)--(21,0) node[right] {$x$} node[above left] {Nombre de journées de ski};
	
	\draw [->, line width = 1.2pt] (0,0)--(0,550) node[below right] {Prix en euros};
	\draw[color=black] (0-1pt,-2pt) node[below left] {{\footnotesize 0}};
	\draw[line width= 1.2pt] (0,448.50)--(21,448.5) node[pos=.35, above] {$ (d_1) $};
	\draw[line width= 1.2pt] (0,0)--(15,547.5) node[pos=.5, above left] {$ (d_2) $};
	\draw[line width= 1.2pt] (0,90)--(21,478.5) node[pos=.85, below right] {$ (d_3) $};
	
\end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage

\begin{center}
	{\large \textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}}
\end{center}

\textbf{Exercice 1, question 5 :}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Longueurs} & \textbf{Angles} & \textbf{Périmètre du triangle RST} & \textbf{Aire du triangle RST}\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{10mm}RS = 10 mm &$\widehat{\mathrm{RST}} = 90\degres$& &\\ \cline{1-2}
\rule[-3mm]{0mm}{10mm}ST = 24 mm &$\widehat{\text{STR}} \approx 23\degres$&$\mathcal{P} = 10 + 24 + 26 = 60$~(mm)&
$\mathcal{A} = \dfrac{10 \times 24}{2} = 120~\left(\text{mm}^2\right)$\\ \cline{1-2}
\rule[-3mm]{0mm}{10mm}RT = 26 mm & $\widehat{\text{SRT}} \approx 67\degres$ &&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{5mm}

\textbf{Exercice 2, Partie 2, question 2. a.}

\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \rule[-3mm]{0mm}{10mm}}X|}}  \hline
	\backslashbox{\rule{0mm}{6mm}Dé rouge}{Dé vert}&1&2&3&4&5&6\\ \hline
	1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ \hline
	2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline
	3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \hline
	4& 5&6& 7& 8& 9& 10\\ \hline
	5& 6& 7& 8& 9& 10& 11\\ \hline
	6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	
\vspace{5mm}

\textbf{Exercice 5, question 1.}

\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}p{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash \rule[-3mm]{0mm}{10mm}}X|}}  \hline
Nombre de journées de ski	&2	&6&10\\ \hline
Formule A 					& 73 \euro{}	&219 \euro{}	&365 \euro{}\\ \hline
Formule B 					& 127 \euro{}	&201 \euro{}	&275 \euro{}\\ \hline
Formule C 					& 448,50 \euro{}&448,50 \euro{}	&448,50 \euro{}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}