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%Tapuscrit : Denis Vergès & François Hache
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2021}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 13 septembre 2021~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}\\[7pt]Candidats libres}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1 } commun à tous les candidats \hfill 4 points}

\textbf{}

\begin{center}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(1.5,22)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.05pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-4)(1.5,22)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{1}{10 x mul 5 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-0.7}{1}{15 x mul 5 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-5}{0}{0.82085 x  mul 3.694 add neg}
\psdots(1,20)(-2.5,-1.6417)(0,5)
\uput[r](0,5){A}\uput[r](1,20){B}\uput[d](-2.5,-1.6417){C}\uput[l](0.6,19){$\red \mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On peut affirmer que:
	\begin{enumerate}
		\item $f'(-0,5) = 0$ 
		
		Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $- 0,5$ est manifestement positif \hfill Faux
		\item si $x \in ]- \infty~;~-0,5[$, alors $f'(x) < 0$ 
		
		Le nombre dérivé s'annule en à peu près en $x = -1,5$ \hfill Faux
		\item $f'(0) = 15$ 
		
		Graphiquement $f'(0) = \dfrac{20 - 5}{1 - 0}= 15$ \hfill Vrai
		\item la fonction dérivée $f'$ ne change pas de signe sur $\R$ 
		
		$f'$ est négative sur $]- \infty~;~- 1,5[$ et positive sur $]- 1,5~;~+ \infty[$ \hfill Faux
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur $\R$ par 

$f(x) = (ax + b)\text{e}^x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et que sa courbe coupe l'axe des abscisses en son point de coordonnées $(-0,5~;~ 0)$.

On peut affirmer que:
	\begin{enumerate}
		\item $a = 10$ et $b = 5$ 
		\item $a = 2,5$ et $b = -0,5$ 
		\item $a = -1,5$ et $b = 5$ 
		\item $a = 0$ et $b = 5$
	\end{enumerate}
	
Graphiquement $f(0) = 5 \iff b\text{e}^0 = 5 \iff b = 5$ ;

D'autre part $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = a\text{e}^x + (ax + b)\text{e}^x = \text{e}^x(ax + a + b)$.

On a vu que $f'(0) = 15 \iff a + b = 15 \iff a + 5 = 15 \iff a = 10$:  la  \textbf{réponse a.} est vraie.
\item On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est définie sur ~ par : 

\[f''(x) = (10x + 25)\text{e}^x.\]

On peut affirmer que :
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est convexe sur $\R$
		\item La fonction $f$ est concave sur $\R$
		\item Le point C est l'unique point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$
		\item $\mathcal{C}_f$ n'admet pas de point d'inflexion
	\end{enumerate}
	
$f''(x) = 0 \iff (10x + 25)\text{e}^x = 0 \iff 10x + 25 = 0$ (car $\text{e}^x > 0$ quel que soit $x \in \R$) ; donc 
$f''(x) = 0 \iff x = - 2,5$ : C est donc l'unique point d'inflexion. \hfill \textbf{Réponse c.}

\item On considère deux suites $\left(U_n\right)$ et  $\left(V_n\right)$ définies sur $\N$ telles que : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n$,\, $U_n \leqslant V_n$;
\item[$\bullet~~$] $\displaystyle\lim_{n \to+ \infty}  V_n= 2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On peut affirmer que:

	\begin{enumerate}
		\item la suite $\left(U_n\right)$ converge
		
		Non car par exemple si $U_n = - n$ et $V_n = 2 + \dfrac{1}{n}$ ces deux suites vérifient l'énoncé et la suite $\left(U_n\right)$ diverge;
		\item pour tout entier naturel $n$,\, $V_n \leqslant 2$ 
		
		Non avec $V_n = 2 + \dfrac{1}{n}$ on a $V_n \geqslant 2$ ;	
		\item la suite $\left(U_n\right)$ diverge
		
		Non avec par exemple $U_n = 1 - \dfrac{1}{n}$ et $V_n = 2 + \dfrac{1}{n}$, les deux suites vérifient l'énoncé et la suite $\left(U_n\right)$ converge ;
		\item la suite $\left(U_n\right)$ est majorée
		
On sait, d'après le cours que toute suite convergente est bornée; donc la suite $(V_n)$ est majorée et donc il existe un réel $M$ tel que, pour tout $n\in\N$, on a $V_n\leqslant	 M$.

Or pour tout $n\in\N$ on a $U_n \leqslant V_n$; on en déduit que pour tout $n\in\N$, on a $U_n\leqslant M$ et donc que la suite $(U_n)$ est majorée. \hfill \textbf{Réponse d.}
		
%		Oui car il ne reste que cette proposition.\hfill \textbf{Réponse d.}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2  commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$ par:

\[ f(x) = \dfrac{4x}{1 + 3x}\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$.
On a donc pour $n = 0$, \, $u_1 = f\left(u_0\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{1 + \frac{3}{2}} = \dfrac{2}{\frac{5}{2}} = \dfrac{4}{5}$.
\item On admet que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$.
	\begin{enumerate}
		\item On veut montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
		\[\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2.\]
		
		
\emph{Initialisation} : on a $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{4}{5}$; de plus $\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{4}{5} \leqslant 2$, donc:
		
$\dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant u_1\leqslant 2$ : l'encadrement est vrai au rang 0 ;

\emph{Hérédité} : on suppose que pour $n \geqslant 0$,\, $\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.

La fonction $f$ étant croissante les images des quatre nombres ci-dessus sont rangées dans le même ordre, soit :
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) \leqslant f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f(2)$.

Or on a vu que $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{4}{5}$ et on a $f(2) = \dfrac{8}{1 + 6} = \dfrac{8}{7}$;

de plus $f(u_{n})= u_{n+1}$ et $f(u_{n+1})= u_{n+2}$ donc 
$\dfrac{4}{5} \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac{8}{7}$.

Or $\dfrac{1}{2} < \dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{8}{7} < 2$ ; on a donc finalement :

$\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2$ : l'encadrement est donc vrai au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai au rang $n \geqslant 0$, \, il est vrai au rang $n + 1$ : par le principe de récurrence pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et elle majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite $\ell$ telle que: $\dfrac{1}{2} \leqslant \ell \leqslant 2.$
		\item %On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
La fonction $f$ est continue car dérivable au moins sur $\R_+$ donc la limite $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell)=\ell$ ; on résout cette équation:

$f(\ell) = \ell \iff \dfrac{4\ell}{1 + 3\ell} = \ell 
\iff 4\ell = \ell(1 + 3\ell) 
\iff 0 = \ell(1 + 3\ell - 4) \\
\phantom{f(\ell) = \ell}
\iff \ell(3\ell - 3) = 0 \iff 3\ell(\ell - 1) = 0 \iff 
\left[\begin{array}{l !{=} l}
\ell&0 \\
\multicolumn{2}{c}{\text{ou}}\\
\ell - 1 & 0
\end{array}\right. \iff 
\left[\begin{array}{l !{=} l}
\ell&0\\
\multicolumn{2}{c}{\text{ou}}\\
\ell&1
\end{array}\right. $	
\end{enumerate}

Comme $\ell \geqslant \dfrac{1}{2}$, la seule solution possible est 1;
la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 1.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On  complète la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $P$ tel que : $1 - u_{P} < E$:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
def seuil($E$):\\
\quad $u = 0,5$\\
\quad $n = 0$ \\
\quad  while $1 - u > = E$\\
\quad \quad $u = \blue 4*u/(1 + 3*u)$\\
\quad \quad $n = \blue n + 1$\\
\quad return $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E= 10^{-4}$.
On obtient $u_7 \approx \np{0,999939}$, donc $1 - u_7 < 10^{-4}$. Le programme renvoie $n = 7$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :

\[v_n  = \dfrac{u_n}{1 - u_n}\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 4.

Pour tout entier naturel $n$, \, $v_{n+1}  = \dfrac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}}$ soit en utilisant la définition de $u_{n+1}$ :

$v_{n+1}  = \dfrac{\frac{4u_n}{1 + 3u_n}}{1 - \frac{4u_n}{1 + 3u_n}}$ soit en multipliant chaque terme par $1 + 3u_n$ :

$v_{n+1} = \dfrac{4u_n}{1 + 3u_n - 4u_n} = \dfrac{4u_n}{1 - u_n} = 4\dfrac{u_n}{1 - u_n} = 4v_n$.

L'égalité, vraie pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = 4v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 4, de premier terme $v_0 = \dfrac{u_0}{1 - u_0} = \dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.
	
%En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors , pour tout entier naturel $n$,\, $v_n = 1 \times 4^n = 4^n$.
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \dfrac{v_n}{v_n + 1}$.
Quel que soit $n \in \N$,

$v_n  = \dfrac{u_n}{1 - u_n}\iff v_n\left( 1 - u_n\right) = u_n \iff v_n - u_nv_n = u_n \iff v_n = u_nv_n + u_n \iff v_n = u_n\left(v_n + 1 \right)$.

Comme $v_n = 4^n, v_n \geqslant 1$, donc $v_n + 1 \geqslant 2$, donc $v_n + 1 \ne 0$ et finalement en multipliant par $\dfrac{1}{v_n + 1}$, on obtient $u_n = \dfrac{v_n}{v_n + 1}$ quel que soit $n \in \N$.
		\item %Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$ , on a : 
		
%		\[u_n = \dfrac{1}{1 + 0,25^n}.\]
On sait que quel que soit $n \in \N$, \, $v_n = 4^n$, d'où en remplaçant dans l'écriture précédente :

$u_n = \dfrac{4^n}{4^n +1}$ et en multipliant par $\dfrac{1}{4^n}$ :

$u_n = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{4^n}}$. Or $\dfrac{1}{4^n} = \dfrac{1^n}{4^n} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n = 0,25^n$, d'où $u_n = \dfrac{1}{1 + 0,25^n}$.

%Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Comme $0 < 0,25 < 1$, on peut dire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,25^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_n = \dfrac{1}{1+0} = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3  commun à tous les candidats \hfill 6 points}

\medskip

%Dans le parc national des Pyrénées, un chercheur travaille sur le déclin d'une espèce protégée dans les lacs de haute-montagne : le \og crapaud accoucheur \fg.
%
Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.

\begin{center}\textbf{Partie I : Effet de l'introduction d'une nouvelle espèce.}\end{center}

%Dans certains lacs des Pyrénées, des truites ont été introduites par l'homme afin de permettre des activités de pêche en montagne. Le chercheur a étudié l'impact de cette introduction sur la
%population de crapauds accoucheurs d'un lac.
%
%Ses études précédentes l'amènent à modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps par la fonction $f$ suivante : 

Soit $f$ la fonction définie pour   $t \in [0~;~120]$ par:

\[f(t) = \left(0,04t^2 - 8t + 400\right)\text{e}^{\frac{t}{50}} + 40.\]

La variable $t$ représente le temps écoulé, en jour, à partir de l'introduction à l'instant $t = 0$ des truites dans le lac, et $f(t)$ modélise le nombre de crapauds à l'instant $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le nombre de crapauds présents dans le lac lors de l'introduction des truites.
Pour $t = 0$,\, $f(0) = 400 \e^{0} + 40 = 440$~(crapauds)
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~120] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

%Montrer, en faisant apparaitre les étapes du calcul, que pour tout nombre réel $t$ appartenant à 
%l'intervalle [0~;~120] on a : 
Sur l'intervalle [0~;~120] en dérivant le produit :

$f'(t) = (0,08t - 8)\text{e}^{\frac{t}{50}} + \dfrac{1}{50}\left(0,04t^2 - 8t + 400\right)\text{e}^{\frac{t}{50}} = \text{e}^{\frac{t}{50}}\left[(0,08t - 8) + \dfrac{1}{50}\left(0,04t^2 - 8t + 400\right)\right]\\
\phantom{f'(t)} 
= \text{e}^{\frac{t}{50}}\left(0,08t - 8 + \np{0,0008}t^2 - 0,16 t + 8 \right)
= \text{e}^{\frac{t}{50}}\left(-0,08t + \np{0,0008}t^2\right) \\
\phantom{f'(t)} 
= \np{0,0008}\left(t^2 - 100t\right)\text{e}^{\frac{t}{50}} 
= t(t - 100)\text{e}^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}.$

%\[f'(t) = t(t - 100)\text{e}^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}.\]

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~120], puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle (on donnera des valeurs approchées au centième).
On sait que quel que soit $t \in [0~;~120]$, $\text{e}^{\frac{t}{50}} > 0$ : le signe de $f'(t)$ est donc celui du trinôme $t(t - 100)$ qui est positif sauf sur l'intervalle $]0~;~100[$ (entre les racines du trinôme). %Donc :

$f(0) = 480$, $f(100) = (400 - 800 + 400)\text{e}^{\frac{100}{50}}  + 40 = 0 + 40 = 40$ et \\
$f(120) = 576  - 960 + 400)\text{e}^{\frac{120}{50}} + 40 = 16 \text{e}^{2,4} + 40 \approx 216,37$.

On dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~120]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l *3{c} c|}
\hline
 t & 0 & \esp & 100 & \esp & 120 \\
 \hline
t(t-100) & 0 &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
 \hline
f'(t) &  0 &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{440}  &  &  &  & \Rnode{max2}{216,37}   \\
f & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{40} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


 \item Selon cette modélisation:
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre de jours $J$ nécessaires afin que le nombre de crapauds atteigne son minimum. Quel est ce nombre minimum ?
On a vu dans la question précédente que $f(100) = 40$ est le minimum de la fonction $f$, on a donc $J = 100$.
		\item %Justifier que, après avoir atteint son minimum, le nombre de crapauds dépassera un jour $140$ individus.
		On a aussi vu que de 100 jours à 120 jours le nombre de crapauds croît strictement de 40 à environ 216 : il dépassera donc 140 individus.
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera $140$ individus.
		
Soit $J_{140}$ la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera $140$ individus. La calculatrice donne :
		
		$f(115) \approx 130<140$ et $f(116) \approx 144>140$, donc $J_{140} = 116$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards}\end{center}

%Une des principales causes du déclin de cette espèce de crapaud en haute montagne est une maladie, la \og Chytridiomycose \fg, provoquée par un champignon.
%
%Le chercheur considère que :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]Les trois quarts des lacs de montagne des Pyrénées ne sont pas infectés par le champignon, c'est-à-dire qu'ils ne contiennent aucun têtard (larve du crapaud) contaminé.
%\item[$\bullet~~$]Dans les lacs restants, la probabilité qu'un têtard soit contaminé est de $0,74$.
%\end{itemize}
%
%Le chercheur choisit au hasard un lac des Pyrénées, et y procède à des prélèvements.
%
%\emph{Pour la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième lorsque cela est nécessaire.}
%
%Le chercheur prélève au hasard un têtard du lac choisi afin d'effectuer un test avant de le relâcher.
% 
%On notera $T$ l'évènement \og Le têtard est contaminé par la maladie\fg{} et $L$ l'évènement \og Le lac est infecté par le champignon \fg.
%
%On notera $\overline{L}$ l'évènement contraire de $L$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l'énoncé:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$L$~~}\taput{0,25}}
	{\TR{$T$}\taput{0,74}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,26}
	}
\pstree{\TR{$\overline{L}$~~}\tbput{0,75}}
	{\TR{$T$}\taput{0}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{1}
	}	
}
\end{center}

\item %Montrer que la probabilité $P(T)$ que le têtard prélevé soit contaminé est de $0,185$.
D'après la loi des probabilités totales : 

$P(T) = P(L \cap T) + P\left(\overline{L} \cap T\right) 
= P(L) \times P_L(T) + P\left(\overline{L}\right) \times P_{\overline{L}}(T) 
= 0,25 \times 0,74 + 0,75 \times 0 
= 0,185$

\item Le têtard n'est pas contaminé. La probabilité que le lac soit infecté est:

$P_{\overline{T}}(L) 
%= \dfrac{P\left(\overline{T} \cap L\right)}{P\left(\overline{T}\right)}
 = \dfrac{P\left(L \cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{0,25 \times 0,26}{1 - 0,185} = \dfrac{0,065}{0,815}  \approx 0,0797$, soit $0,080$ au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice au choix du candidat \hfill 5 points}

\medskip
 
\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.}
%
%\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.}
%
%\textbf{Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
%
\medskip

\textbf{Exercice A}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Géométrie de l'espace rapporté à un repère orthonormé.\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

%On considère le cube ABCDEFGH donné en annexe. 
%
%On donne trois points I, J et K vérifiant :
%
%\[\vect{\text{RI}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{EH}},\qquad   \vect{\text{EJ}} = \dfrac{1}{4}  \vect{\text{EF}}, \qquad  \vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{4}  \vect{\text{BF}}\]
%
%Les points I, J et K sont représentés sur la figure donnée en annexe, à compléter et à rendre avec la copie.
%
%On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.
Dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$ : 
I\,$\left(0~;~\dfrac{1}{4}~;~1 \right)$, \, J\,$\left(\dfrac{1}{4}~;~0~;~1 \right)$,\, K\,$\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{4}\right)$.
\item %Démontrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (IJK).
On a $\vect{\text{AG}} \left (1~;~1~;~1\right )$,\, $\vect{\text{IJ}}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~0\end{pmatrix}$, \, $\vect{\text{IK}}\begin{pmatrix}1~;~- \dfrac{1}{4}~;~-\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}$.

Or $\vect{\text{AG}} \cdot \vect{\text{IJ}} =  \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 0 = 0$ et $\vect{\text{AG}} \cdot \vect{\text{IK}} = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = 0$.

Less vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$ ne sont manifestement pas colinéaires, donc le vecteur $\vect{\text{AG}}$ étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est normal à ce plan.
\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est $4x + 4y + 4z - 5 = 0$.
D'après la question précédente on sait que :
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK}) \iff 1x + 1y + 1z + d = 0$.

Or par exemple I$\left(0~;~\dfrac{1}{4}~;~1 \right) \in (\text{IJK}) \iff 0 + \dfrac{1}{4} + 1\times 1 + d = 0 \iff 1 + 4 + 4d = 0 \iff 4d = - 5 \iff d = - \dfrac{5}{4}$.

Finalement :
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK}) \iff x + y + z - \dfrac{5}{4} = 0 \iff 4x + 4y + 4z - 5 = 0$.

Le plan (IJK) a pour équation cartésienne $4x + 4y + 4z - 5 = 0$.

\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BC).
On a $\vect{\text{BC}}\left (0~;~1~;~0 \right  )$. Donc :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{BC}) \iff  \vect{\text{B}M} = t\vect{\text{BC}} \;(\text{avec }t\in\R) 
\iff \left\{\begin{array}{l !{=} l}
x - 1&t \times 0\\
y - 0&t \times 1,\\
z - 0 &t \times 0
\end{array}\right.\, t \in \R \\
\iff 
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x &1\\
y &t,\\
z &0
\end{array}\right.\, t \in \R$.

La droite (BC) a pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x &1\\
y &t,\\
z &0
\end{array}\right.\, t \in \R$.

\item %En déduire les coordonnées du point L, point d'intersection de la droite (BC) avec le plan (IJK).
Les coordonnées de L$(x~;~y~;~z)$ vérifient l'équation de (BC) et l'équation du plan (IJK) donc le système :
$\left\{\begin{array}{r !{=} l}
x &1\\
y &t\\
z &0\\
4x + 4y + 4z - 5 & 0
\end{array}\right.$ 

ce qui donne en remplaçant $x$, \, $y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation :

$4 \times  1 +  4t + 4 \times 0 - 5 = 0 \iff 4t + 4 - 5 = 0 \iff 4t - 1 = 0 \iff t = \dfrac{1}{4}$.

Les coordonnées de L sont donc $\left(1~;~\dfrac{1}{4}~;~0\right)$.
\item %Sur la figure en annexe, placer le point L et construire l'intersection du plan (IJK) avec la face (BCGF).
Voir l'annexe. 

L'intersection du plan (IJK) avec la face (BCGF) est le segment [KL].

L'intersection du plan (IJK) et du cube a été dessinée en tirets rouge.
\item Soit M$\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right)$.% Montrer que les points I, J, L et M sont coplanaires.

Comme L $\in (\text{IJK})$, il suffit de vérifier que M est aussi un point de ce plan, soit d'après le résultat de la question 4. :

%$\text{M}\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right) \in (\text{IJK}) \iff 4\times \frac{1}{4} + 4 \times 1 + 4 \times 0 - 5= 0 \iff 4 + 1 - 5 = 0$ qui est bien vraie.

$4 x_{\text{M}} + 4 y_{\text{M}} + 4 z_{\text{M}} - 5 = 4\times \frac{1}{4} + 4 \times 1 + 4 \times 0 - 5=  4 + 1 - 5 = 0$ donc $\text{M}\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right) \in (\text{IJK})$.

Conclusion : les points I, J, K, L et M sont coplanaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés:\\
Fonction logarithme.\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:
$h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x}.$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$.
$\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \ln x = - \infty$, et $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \dfrac{1}{x} = + \infty$.

Par produit on déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$ et donc que $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} h(x) = - \infty$.

\item %Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = 1$
\item %On note $h'$ la fonction dérivée de $h$. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~ +\infty[$, on a:
La fonction $h$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle :
$h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
%\[h'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}.\]

\smallskip

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
Comme $x^2 > 0$ pour $x \in ]0~;~+ \infty[$ le signe de $h'(x)$ est celui du numérateur $1 - \ln x$ :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \text{e} > x$ : \\
la fonction $h$ est donc strictement croissante sur $]0~;~\text{e}[$ ;

\item $1 - \ln x < 0 \iff 1 < \ln x \iff \text{e} < x$ :\\
 la fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $]\text{e}~;~+ \infty[$ ;

\item $1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff \text{e} = x$ : \\
la fonction $h$ a un maximum $f(\text{e}) = 1 + \dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} = 1 + \dfrac{1}{\text{e}}$.
\end{list}

D'où le tableau de variations de $h$ :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \e\, & \esp & +\infty \\ 
\hline
h'(x) & \vline\;\vline &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 &  \vline\;\vline & &   \Rnode{max}{1+\frac{1}{\e}}  &  &   \\  
h &\vline\;\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 &\vline\;\vline \Rnode{min1}{~-\infty} &   &  &  &   \Rnode{min2}{1} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item %Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0~;~ +\infty[$.
Comme $1 + \frac{1}{\text{e}} > 1 > 0$, le tableau de variations montre que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0~;~\text{e}[$.

On a $f(1) = 1 + \dfrac{0}{1} = 1$, donc $0 < \alpha < 1$ ;

La calculatrice donne :
$f(0,5) \approx - 0,4$ et $f(0,6) \approx 0,15$, donc $0,5 < \alpha < 0,6$.
%Justifier que l'on a : $0,5 < \alpha < 0,6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0~;~ +\infty[$ par
$f(x) = x \ln (x) - x$ et $g(x) = \ln (x).$

%On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij.
%
%Pout tout nombre réel $a$ strictement positif, on appelle:
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en son point d'abscisse $a$ ;
%\item[$\bullet~~$] $D_a$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ en son point d'abscisse $a$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%Les courbes  $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ainsi que deux tangentes $T_a$ et $D_a$ sont représentées ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2)(7,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.06pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-1.95)(6.9,5.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{7}{x ln x mul x sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{7}{x ln}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0.01}{7}{1.833 x mul 6.254 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0.01}{7}{0.162 x mul 0.833 add}
\uput[u](1,1){\blue $D_a$}\uput[r](2.9,-1){\red $T_a$}\uput[l](4.3,2){\red $\mathcal{C}_f$ }
\uput[r](0.2,-1.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
\psplotTangent[linecolor=red]{0.566}{4}{x ln x mul x sub}
\psplotTangent[linecolor=blue]{0.566}{4}{x ln}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](6.25,0)(6.25,5.204)
\uput[d](6.25,0){$a$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%On recherche d'éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires. 
%
%Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la droite $D_a$ a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{a}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$  et sur cet intervalle :

$f'(x) = \ln (x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln (x) + 1 - 1  = \ln (x)$

Donc le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point de la courbe d'abscisse $a$ est égal à $f'(a) = \ln (a)$.

\item %Justifier que la droite $T_a$ a pour coefficient directeur $\ln (a)$.
La fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$  et sur cet intervalle :
$g'(x) = \dfrac{1}{x}$.

Donc le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point de la courbe d'abscisse $a$ est égal à $g'(a) = \dfrac{1}{a}$.
\end{enumerate}

%On rappelle que dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$sont perpendiculaires si et seulement si $mm' = -1$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Démontrer qu'il existe une unique valeur de $a$, que l'on identifiera, pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
Le produit des coefficients directeurs est égal à $- 1$, soit :

$\ln (a) \times \dfrac{1}{a} = - 1 \iff \dfrac{\ln (a)}{a} = - 1 \iff 1 + \dfrac{\ln (a)}{a} = 0 \iff h(a) = 0$

 et on a vu à la fin de la partie I que cette équation n'avait qu'une solution $a = \alpha$ : il existe une seule valeur de $a$ telle que les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires : $a = \alpha$. Voir la figure.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{\large À COMPLÉTER SEULEMENT PAR LES ÉLÈVES AYANT CHOISI DE TRAITER L'EXERCICE A}

\vspace{2.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,9.5)
\psframe[linewidth=1.25pt](0.5,0.5)(6,6)%BCGF
\psline[linewidth=1.25pt](6,0.5)(8.7,3.2)(8.7,8.7)(6,6)%CDHG
\psline[linewidth=1.25pt](8.7,8.7)(3.2,8.7)(0.5,6)%HEF
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.2,3.2)(8.7,3.2)%BAD
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](3.2,3.2)(3.2,8.7)%AE
\uput[d](3.2,3.2){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](6,0.5){C} \uput[dr](8.7,3.2){D} 
\uput[u](3.2,8.7){E} \uput[ul](0.5,6){F} \uput[u](6,6){G} \uput[ur](8.7,8.7){H} 
\uput[u](2.525,8.025){J} \uput[ul](4.575,8.7){I} \uput[l](0.5,1.875){K}\uput[d](1.875,0.5){L}\uput[r](8.025,2.525){M}
\psdots(3.2,3.2)(0.5,0.5)(6,0.5)(8.7,3.2)(3.2,8.7)(0.5,6)(6,6)(8.7,8.7)(2.525,8.025)(4.575,8.7)(0.5,1.875)(1.875,0.5)(8.025,2.525)(8.7,4.575)
\pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=red](4.575,8.7)(2.525,8.025)(0.5,1.875)(1.875,0.5)(8.025,2.525)(8.7,4.575)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}