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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 juin 2021}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole 8 juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres Sujet 2\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. \\
%Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
%
%L'espace  est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 
%
%On considère :
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}$ passant par les points A$(1~;~1~;~ -2)$ et B$(-1~;~3~;~2)$. 
%\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}'$ de représentation paramétrique :
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%x &=& -4 +3t\\
%y&=&\phantom{-}6 - 3t\\
%z&=&\phantom{-}8 - 6t
%\end{array}\right.$\quad avec $t \in \R$.
%\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + my- 2z + 8 = 0$ où $m$ est un nombre réel.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\textbf{Question 1} : %Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}'$ ?
On voit que pour $t = 5$, les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}'$ sont $(11~;~- 9~;~- 22)$ soit les coordonnées de M$_2$.

\smallskip

\hfill\textbf{Réponse b.}

\medskip

\textbf{Question 2} : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est : $\vect{u}_3\begin{pmatrix}3\\- 3\\-6\end{pmatrix}$.

\smallskip

\hfill\textbf{Réponse c.}

\medskip

%\begin{center}

\textbf{Question 3} : %Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}sécantes &\textbf{b.~~} strictement parallèles&\textbf{c.~~}non coplanaires&\textbf{d.~~}confondues
%\end{tabularx}
%\end{center}

Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}$ colinéaire au vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$

Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est $\vect{u_3}\begin{pmatrix}3\\- 3\\-6\end{pmatrix}$ colinéaire au vecteur $\dfrac{1}{3}\vect{u_3}\begin{pmatrix}1\\- 1\\-2\end{pmatrix}$ ou encore colinéaire au vecteur $-\dfrac{1}{3}\vect{u_3}\begin{pmatrix}-1\\+ 1\\2\end{pmatrix}$.

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ayant des vecteurs directeurs colinéaires au même vecteur sont donc parallèles.

De plus en remplaçant $t$ par $\dfrac{5}{3}$ dans l'équation paramétrique de $\mathcal{D}'$ on obtient $x = 1,~\, y = 1$ et $z = - 2$.

Les droites sont parallèles et ont un point commun : elles sont donc confondues.

\smallskip

\hfill\textbf{Réponse d.}

\medskip

\textbf{Question 4} : %La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$m =-1$ &\textbf{a.~~} $m = 1$&\textbf{c.~~}$m = 5$&\textbf{d.~~}$m =-2$
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vect{p}\begin{pmatrix}1\\m\\-2\end{pmatrix}$.

$\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ si $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{p}$ sont orthogonaux, soit :

$\vect{\text{AB}} \cdot \vect{p} = 0 \iff -2 \times 1 + 2 \times m + 4 \times (- 2) = 0 \iff - 2 + 2m - 8 = 0 \iff 2m = 10 \iff m = 5$. 

\smallskip

\hfill\textbf{Réponse c.}

\medskip

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

%La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.
%
%Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40\,\% la proportion de chats porteurs de la maladie.
%
%On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.
%
%Ce test possède les caractéristiques suivantes.
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90\,\% des cas.
%\item[$\bullet~~$] Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85\,\% des cas.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $M$ : \og Le chat est porteur de la maladie\fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $T$ : \og Le test du chat est positif\fg ;
%\item[$\bullet~~$] $\overline{M}$ et $\overline{T}$ désignent les évènements contraires des évènements $M$ et $T$ respectivement.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On traduit la situation par un arbre pondéré.
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}\taput{0,4}}
	{\TR{$T$}\taput{0,9}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,1}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}\tbput{0,6}}
	{\TR{$T$}\taput{0,15}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,85}
	}	 
}		
\end{center}

\medskip
	
		\item %Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
Il faut trouver $P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0,4 \times 0,9 = 0,36$.
		\item %Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.
On a de même $P\left(\overline{M} \cap T\right) = P\left(\overline{M}\right) \times P_{\overline{M}}(T) = 0,6 \times  0,15 = 0,09$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P(T) = P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T\right) = 0,36 + 0,09 = 0,45$.
		\item %On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.
		Il faut trouver $P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,36}{0,45} = \dfrac{36}{45} = \dfrac{9 \times 4}{9 \times 5} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} = 0,8$.
	\end{enumerate}
\item %On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de $20$ chats au hasard. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

%On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire $X$.
On suppose que le nombre de chats est assez important pour que l'on puisse assimiler le choix des 20 chats à un tirage avec remise.
		
La variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et de probabilité $p = 0,45$ trouvé à la question \textbf{1. c.}.
		\item %Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif.
On a $p\left(X = 5\right) = \binom{20}{5} \times 0,45^5 \times (1 - 0,45)^{20-5} = \np{15504}\times 0,45^5  \times 0,55^{15} \approx \np{0,0365}$ soit environ 0,037.

		\item %Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif.
La calculatrice donne $P(X < 9) \approx 0,414$.
		\item %Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On sait que l'espérance $E = n \times p = 20 \times 0,45 = 9$.
		
Cela signifie que sur un grand nombre d'échantillons il y aura en moyenne 9 chats positifs par échantillon de 20.
	\end{enumerate}		
\item %Dans cette question, on choisit un échantillon de $n$ chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise. On note $p_n$ la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $p_n = 1 - 0,55^n$.
On a encore une loi binomiale de paramètres $n$ et de probabilité d'être positif de $0,45$.

On a $P(X = 0) = \binom{n}{0}\times 0,45^0 \times 0,55^n = 0,55^n$.

Donc $p_n = 1 - P(X = 0) =  1 - 0,55^n$.
		\item
%\begin{minipage}{6cm}Décrire le rôle du programme ci-contre écrit en langage Python, dans lequel la variable $n$ est un entier naturel et la variable $P$ un nombre réel.
%\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{6cm}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%def seuil():\\
%\qquad $n=0$\\
%\qquad $P=0$\\
%\qquad while $P< 0,99$ :\\
%\qquad \quad $n = n+1$\\
%\qquad \quad $P=1 - 0,55**n$\\
%\qquad return $n$\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{minipage}
En partant de $n=0$, le programme calcule $p_n$ et augmente la taille de l'échantillon de 1 tant que $p_n < 0,99$.

		\item %Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
		On cherche donc $n$ tel que $1 - 0,55^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,55^n$, d'où par croissance de la fonction logarithme népérien : $\ln 0,01 \geqslant n \ln 0,55 \iff \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,55} \leqslant n$ (car $\ln 001 < 0$).
		
		Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,55} \approx 7,7$.
		
Conclusion : le programme renvoie la valeur 8.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour $n$,
$ u_{n+1}  = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
%\parbox{0.7\linewidth}{
%La copie d'écran ci-contre présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des
%termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient 
%$\dfrac{4}{u_n}$,  (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux
%chiffres pour les parties décimales).
%
%À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de $\dfrac{4}{u_n}$  en fonction de $n$.
%
%Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question \textbf{5.}), et d'en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ (question \textbf{6.}).}\hfill
%\parbox{0.25\linewidth}{
%$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
%n&u_n&\dfrac{4}{u_n}\\ \hline
%0 &1,00 &4\\ \hline
%1 &0,80 &5\\ \hline
%2 &0,67 &6\\ \hline
%3 &0,57 &7\\ \hline
%4 &0,50 &8\\ \hline
%5 &0,44 &9\\ \hline
%6 &0,40 &10\\ \hline
%7 &0,36 &11\\ \hline
%8 &0,33 &12\\ \hline
%9 &0,31 &13\\ \hline
%10 &0,29& 14 \\ \hline
%11 &0,27& 15 \\ \hline
%12 &0,25 &16\\ \hline
%\end{array}$}
On peut conjecturer que quel que soit $n$, \, $\dfrac{4}{u_n} = n + 4$.
\item On veut démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$.

\emph{Initialisation} : $u_0 = 1 > 0$ : la proposition est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $u_n > 0$.

Alors $u_n + 4  >4 > 0$ donc : $ \dfrac{1}{u_n + 4} >0$ et donc $ \dfrac{4}{u_n + 4} >0$

Or $u_n>0$ (hypothèse de récurrence) donc $\dfrac{4u_n}{u_n + 4}>0$.

Soit finalement : $u_{n+1} >0$.; la proposition est vraie au rang $n + 1$.

La proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n \in \N$, elle est vraie au rang $n + 1$.

D'après le principe de récurrence on a démontré que pour tout $n \in \N$, \, $u_n > 0$.
\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
Quel que soit $n \in \N$, \, $u_{n+1} - u_n = \dfrac{4u_n}{u_n + 4} - u_n = \dfrac{4u_n - u_n^2 - 4u_n}{u_n + 4} = - \dfrac{u_n^2}{u_n + 4}$.

Comme $u_n + 4 > 4 > 0$ d'où l'inverse $\dfrac{1}{u_n + 4} > 0$ et comme $u_n^2 > 0$, $\dfrac{u_n^2}{u_n + 4} > 0$ et finalement 

$- \dfrac{u_n^2}{u_n + 4} < 0$.

On a donc quel que soit $n \in \N$, \, $u_{n+1} - u_n < 0$ : la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item %Que peut-on conclure des questions \textbf{2.} et \textbf{3.} concernant la suite $\left(u_n\right)$ ?
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$ : d'après le théorème de la convergence monotone, la suite est convergente vers un réel $\ell \geqslant 0$

\item %On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$.

%Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique. 

%Préciser sa raison et son premier terme. 

%En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
On a pour $n \in \N$, \\$v_{n+1} - v_n = \dfrac{4}{u_{n+1}} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{4}{\frac{4u_n}{u_n + 4}} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{4\left(u_n + 4 \right)}{4u_n} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{u_n + 4}{u_n} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{u_n + 4 - 4}{u_n} = \dfrac{u_n}{u_n} = 1$.

$v_{n+1} - v_n = 1$, quel que soit $n \in \N$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r = 1$.

Son premier terme est $v_0 = \dfrac{4}{u_0} = \dfrac{4}{1} = 4$.

\item %Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour $n \in \N$, \, $v_n = v_0 + nr = 4 + n$.

Or $v_n = \dfrac{4}{u_n} \iff u_n = \dfrac{4}{v_n}$ donc $u_n = \dfrac{4}{4 + n}$ quel que soit $n \in \N$.

$u_n = \dfrac{1}{1 + \frac{n}{4}}$, donc comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 + \frac{n}{4} = + \infty$, \, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.

%En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
La limite de la suite $\left(u_n\right)$ est donc $0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{EXERCICE au choix du candidat} \hfill 5 points}

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.}

\textbf{Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués
dans un encadré.}

\medskip

\textbf{\large{}Exercice A}

\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Fonction logarithme; dérivation\\ \hline
\end{tabular}

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:
$h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x^2}.$

%On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+ \infty$.
\starredbullet~Limite en $0$ : $h(x) = 1 + \dfrac{1}{x} \times \dfrac{\ln (x)}{x}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (x)}{x} = - \infty$ ; donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x) = - \infty$.

\starredbullet~Limite en $+ \infty$ : on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc par produit et somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x) = 1$. ( La droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la représentation graphique de $h$ en $+\infty$.)
  
\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~ +\infty[$,\, $h'(x) = \dfrac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$.
La fonction est dérivable (admis) sur $]0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle :

$h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x^2 - 2x\ln (x)}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln (x)}{x^4}  = \dfrac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$.
\item %En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
Sur $]0~;~ +\infty[$, \, $x > 0$ donc $x^3 > 0$ : le signe de $h'(x)$ est donc celui du numérateur $1 - 2\ln x$.

\starredbullet~$1 - 2\ln x > 0 \iff 1 > 2\ln x \iff \dfrac{1}{2} > \ln x \iff  \ln x < \dfrac{1}{2}$, soit finalement $x < \e^{\frac{1}{2}}$ \, $\left(\text{ou encore }\, x < \sqrt{\e} \right)$

\item %Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ et vérifier que : $\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$.
D'après les résultats précédents, on établit le tableau de variations de $h$ sur $]0~;~+\infty[$.

$h\left ( \e^{\frac{1}{2}}\right ) = 1+\dfrac{\ln\left (\e^{\frac{1}{2}}\right )}{\left (\e^{\frac{1}{2}}\right )^2}= 1+\dfrac{\frac{1}{2}}{\e}= 1+\dfrac{1}{2\e}\approx 1,18$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \e^{\frac{1}{2}} & \esp & +\infty \\ 
\hline
h'(x) &  \vline\;\vline  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & \vline\;\vline &  &   \Rnode{max}{1+\dfrac{1}{2\e}}  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\  
h(x) &  \vline\;\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline \Rnode{min1}{-\infty} &   &  &  &   \Rnode{min2}{1} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

D'après ce tableau de variations, l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique  dans l'intervalle $\left  ] 0~;~\e^{\frac{1}{2}}\right [$.

On appelle $\alpha$ cette solution; $h\left (\dfrac{1}{2}\right ) \approx -1,8<0$ et $h(1)=1>0$ donc $\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$.

\item D'après les questions précédentes, on peut établir le tableau  signes de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \alpha & \esp \esp & +\infty \\ 
\hline
h(x) &  \vline\;\vline  &   \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $]0~;~ +\infty[$ par :
$f_1(x) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2}\text{et  }f_2(x) = x - 2 - \dfrac{2\ln (x)}{x^2}.$

On note $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, on a : 

$f_1(x) -f_2(x) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2} - \left ( x - 2 - \dfrac{2\ln (x)}{x^2}\right )
= x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2} - x + 2 + \dfrac{2\ln (x)}{x^2}
= 1 + \dfrac{\ln(x)}{x^2}= h(x)$

\item %Déduire des résultats de la Partie 1 la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.
%
%On justifiera que leur unique point d'intersection a pour coordonnées $(\alpha~;~\alpha)$.
%
%On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $h(x) = 0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On a vu que $h(x)<0$ sur $]0~;~\alpha[$, donc sur cet intervalle $f_1(x)<f_2(x)$ donc $\mathcal{C}_1$ est en dessous de $\mathcal{C}_2$.

\item On a vu que $h(x)>0$ sur $]\alpha~;~+\infty[$, donc sur cet intervalle $f_1(x)>f_2(x)$ donc $\mathcal{C}_1$ est au dessus de $\mathcal{C}_2$.

\item $h(\alpha)=0$ donc $f_1(\alpha)=f_2(\alpha)$; donc $\alpha$ est l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.

\item L'ordonnée de ce point d'intersection est $f(\alpha) = \alpha - 1 - \dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2} = \alpha  -\left ( 1+\dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2}\right )= \alpha -h(\alpha) = \alpha$. 

\item Les deux courbes se coupent donc au point de coordonnées $(\alpha~;~\alpha)$.

\end{list}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice B}

\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Fonction exponentielle; dérivation; convexité\\ \hline
\end{tabular}

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

%On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la
%fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
%
%À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses : 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:}
\item la fonction $f'$ est positive sur $]-\infty~;~1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle;
\item la fonction $f'$ est négative sur $]1~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.
\end{list}

\item %La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
\begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:}
\item la fonction $f'$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle; 
\item la fonction $f'$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
\end{list}
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div  neg}
%\rput(1,-1.5){Courbe représentant la \textbf{dérivée} $f'$ de la fonction $f$.}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

\smallskip

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par :
$f(x) = (x + 2)\e^{-x}.$
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.
%
%On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2)\e^{-x}=x\e^{-x}+2\e^{-x}
= \dfrac{x}{\e^{x}}+ 2\e^{-x}$.

%En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.

D'après le cours: $\displaystyle\lim_{x \to ++ \infty} \dfrac{\e^{x}}{x}= +\infty$ donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\e^{x}}= 0$.

De plus $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{-x}= 0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

%Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.

On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+\infty$.

On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que, pour tout nombre réel $x$,\, $f'(x) = (- x - 1)\e^{-x}$.
$f'(x)=1\times \e^{-x} + (x+2)\times (-1)\e^{-x} = (1-x-2) \e^{-x}=(-x-1)\e^{-x}$. 		
		
		\item% Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
Pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$; donc $f'(x)$ s'annule et change de signe en $x=-1$.

$f(-1) = (-1+2)\e^{1}=\e$; on établit le tableau de variations de $f$ sur $\R$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & -\infty  & \esp & -1 & \esp & +\infty \\ 
\hline
-x-1 &    &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &    &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 &  &  &   \Rnode{max}{\e}  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\  
f(x) &   &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 &  \Rnode{min1}{-\infty} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	
	
		\item% Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
Sur l'intervalle $[-2~;~-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et continue car dérivable sur cetintervalle. $f(-2)=0<2$ et $f(-1)=\e>2$	donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique sur l'intervalle $[-2~;~-1]$.
		
		
	\end{enumerate}
\item% Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction~$f$. 
$f''(x)=(-1)\times \e^{-x} + (-x-1)\times (-1)\e^{-x} = (-1+x+1) \e^{-x}=x\e^{-x}$

$\e^{-x}>0$ pour tout $x$, donc $f''(x)$ est du signe de $x$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur $]-\infty~;~0[$, $f''(x)<0$ donc la fonction $f$ est concave.
\item Sur $]0~;~+\infty[$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe.
\item En $x=0$, la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point A d'abscisse 0 de $\mathcal{C}$ est le point d'inflexion de cette courbe.
\end{list}


%Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?
\end{enumerate}
\end{document}
