\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 2021}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} %%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} %%%le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} %%%le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STI2D STL} \lfoot{\small{Métropole-La Réunion -- corrigé}} \rfoot{\small{juin 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D -- Spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole--La Réunion juin 2021}} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques} \end{center} \medskip \textbf{EXERCICE 1 \hfill commun à tous les candidats \hfill 4 points} %(physique-chimie et mathématiques)} \medskip Le son est produit par la vibration d'objets et il arrive jusqu'à nos oreilles sous forme d'ondes se propageant dans l'air. Les sons sont perçus de manière plus ou moins intense. L'intensité sonore, ou intensité acoustique notée $I$ et exprimée en W.m$^{-2}$, caractérise l'intensité du signal perçue par l'oreille. On calcule le niveau d'intensité sonore noté $L$ en décibels (dB) à partir de l'intensité sonore notée $I$ (W.m$^{-2}$) par la relation: $L = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0} \right)$. On rappelle que $I_0 = 10^{-12}$ W.m$^{-2}$ (intensité sonore minimale de référence). %\begin{center} \emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \medskip \textbf{Partie A : onde sonore et intensité} \medskip Nos oreilles peuvent être endommagées irrémédiablement si le niveau d'intensité sonore et la durée d'exposition au bruit sont trop importants. Une personne souhaite assister au décollage de la fusée Ariane sans protection auditive. %Après avoir déterminé le niveau d'intensité sonore de la fusée Ariane au décollage, au voisinage de la rampe de lancement, utiliser les données ainsi que vos connaissances pour déterminer à quelle distance minimale la personne doit être de la rampe de lancement pour s'assurer que le bruit du décollage ne présente aucun risque pour son audition. \smallskip \textbf{Données :} L'intensité acoustique du bruit généré par le décollage de la fusée Ariane vaut $10^2$ W.m$^{-2}$ à une distance de $100$~m de la rampe de lancement. Donc le niveau d'intensité sonore à une distance de 100~m de la rampe de lancement est:\\ $L = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0} \right) = 10 \log \left(\dfrac{10^2}{10^{-12}} \right) = 10 \log \left (10^{14}\right ) = 10\times 14 = 140$~dB. On considère, pour simplifier, que l'oreille humaine ne subit pas de dommage pour un son dont le niveau d'intensité sonore ne dépasse pas $100$~dB, pendant une durée d'exposition ne dépassant pas quatre minutes par jour; il faut donc que la distance soit suffisamment grande pour que le niveau d'intensité sonore baisse de 40~dB. Le niveau d'intensité sonore diminue de $20$~dB lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par 10; il faut donc multiplier par 100 la distance pour que le niveau sonore diminue de 40~dB. La distance minimale à respecter est donc en mètre de $100\times 100$ soit 10~km. %Ainsi pour une distance à la source $d_2 = 10 d_1$,\, $L\left(d_2\right) = L\left(d_1\right) - 20$~dB. \bigskip \textbf{Partie B : étude mathématique} \medskip \begin{enumerate} \item %On rappelle que $L = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)$. %Montrer que $I = I_0 \times 10^{\frac{L}{10}}$ $L = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right) \iff \dfrac{L}{10} = \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right) \iff 10^{\frac{L}{10}} = \dfrac{I}{I_0} \iff I = I_0 \times 10^{\frac{L}{10}}$ \item Pour $L = 50$ l'intensité sonore est: $ I_{50} = I_0 \times 10^{\frac{L}{10}} = 10^{-12} \times 10^{\frac{50}{10}} = 10^{-12} \times 10^{5} = 10^{-7}$~W.m$^{-2}$. \item %L'intensité sonore $I$ double-t-elle lorsque l'on double le niveau d'intensité sonore $L$ ? $ I_{100} %= I_0 \times 10^{\frac{L}{10}} = 10^{-12} \times 10^{\frac{100}{10}} = 10^{-12} \times 10^{10} = 10^{-2}$~W.m$^{-2}$ Donc $I_{100} = 10^{5}\times I_{50}$ L'intensité sonore $I$ ne double pas lorsque l'on double le niveau d'intensité sonore $L$. \item Pour une distance à la source $d_1$ (resp. $d_2$), on note $L_1$ (resp. $L_2$) le niveau d'intensité sonore à la distance $d_1$ (resp. $d_2$) de la source et $I_1$ (resp. $I_2$) l'intensité sonore à la distance $d_1$ (resp. $d_2$) de la source. Le niveau d'intensité sonore diminue de $20$~dB lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par $10$. Ainsi si $d_2 =10 d_1$, on a : $L_2 = L_1 - 20$~(dB). %Montrer que l'intensité sonore est divisée par $100$ lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par $10$. $I_1=I_0\times 10^{\frac{L_1}{10}}$ et $I_2=I_0\times 10^{\frac{L_2}{10}}$ Si $d_2=10 d_1$, alors $L_2 = L_1 - 20$ et donc $I_2=I_0\times 10^{\frac{L_2}{10}} = I_0\times 10^{\frac{L_1-20}{10}} = I_0\times 10^{\left (\frac{L_1}{10}-2\right )} = I_0\times 10^{\frac{L_1}{10}} \times 10^{-2} = I_1\times 10^{-2} = \dfrac{I_1}{100}$ Donc l'intensité sonore est divisée par $100$ lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par $10$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 3 \hfill commun à tous les candidats \hfill 4 points} \medskip \textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice.} %\\[7pt]Les questions sont indépendantes. Chacune d'elles est notée sur un point.\\[7pt] %Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice.} \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = ax + b - \ln (x)$ avec $a\in\R$ et $b\in\R$. On note $\mathcal{C}$, la courbe représentative de $f$ tracée dans le repère ci- dessous. On note A le point d'abscisse 0,5 appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$, au point A. La droite $T$ est parallèle à l'axe des abscisses. Le point B(1~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. \begin{center} \psset{unit=1.5cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.3,3.3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=gray](0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3.3,3.3)[$x$,110][$y$,2000] \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{3}{2 x mul 1 sub x ln sub} \psline[linecolor=blue](0,0.6931)(3.25,0.6931) \uput[u](2.2,0.6932){\blue $T$} \psdots(0.5,0.6931)(1,1) \uput[d](0.5,0.6931){A}\uput[ul](1,1){B} \uput[dr](2.5,3){\red $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item %Donner la valeur de $f(1)$. En déduire une relation entre $a$ et $b$. $\text B \,(1~;~1)\in \mathcal{C}_f$ donc $f(1)=1$. $f(1)=1 \iff a+b-\ln(1)=1 \iff a+b=1$ \item %Justifier que $f'(0,5) = 0$. En déduire la valeur de $a$. La courbe admet en A une tangente parallèle à l'axe des abscisses donc de coefficient directeur égal à 0; on a donc $f'(x_{\text A})=0$ c'est-à-dire $f'(0,5)=0$. $f'(x)=a-\dfrac{1}{x}$; $f'(0,5)=0 \iff a-\dfrac{1}{0,5}=0 \iff a-2=0 \iff a=2$ \item %En déduire la valeur de $b$. $a+b=1$ et $a=2$ donc $b=-1$; on en déduit que $f(x)=2x-1-\ln(x)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 2} \medskip Une entreprise achète une machine d'une valeur de \np{300000}~\euro. Cette machine perd de sa valeur au fil des années. Cette perte exprimée en euro, à l'instant $t$ exprimé en année, est modélisée par la fonction $f $ définie sur [0~;~15] par: $f(t) = \np{300000}\left(1 - \e^{- 0,09 t}\right).$ La machine aura perdu la moitié de sa valeur pour $t$ tel que $f(t)=\np{150000}$; on résout cette équation: $f(t)=\np{150000} \iff \np{300000}\left(1 - \e^{- 0,09 t}\right) = \np{150000} \iff 1 - \e^{- 0,09 t} = 0,5 \iff 0,5 = \e^{-0,09t}\\ \phantom{f(t)=\np{150000}} \iff \ln(0,5)=-0,09t \iff t=-\dfrac{\ln(0,5)}{0,09} $ $-\dfrac{\ln(0,5)}{0,09} \approx 7,7$ donc au bout de 8 ans, la machine aura perdu plus de la moitié de sa valeur. \bigskip \textbf{Question 3} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2x - 1 - \ln (x).$ \begin{enumerate} \item% Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{2x-1}{x}$. Pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = 2 -0 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x-1}{x}$. \item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ en faisant figurer la valeur exacte de son extremum. \begin{list}{\textbullet}{} \item Sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x-1$ qui s'annule et change de signe pour $x=0,5$. \item $f(0,5) = 2\times 0,5 - 1 - \ln(0,5) = - \ln\left ( \frac{1}{2}\right ) = \ln(2)$ \item $\ds\lim_{x\to 0} (2x-1) = -1$ et $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \ln(x)=-\infty$ donc $\ds\lim_{x\to 0\atop x>0} f(x)=+\infty$ \item Sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $x\neq 0$ donc on a $f(x)=2x-1-\ln(x) = x\left (2-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )-1$. $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty}\left (2- \dfrac{\ln(x)}{x}\right )=2$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *3{c} c|} \hline x & 0 & \esp & 0,5 & \esp & +\infty \\ \hline 2x-1 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline f'(x) & \vline\;\vline & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \vline\;\vline \Rnode{max1}{\: +\infty} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ f(x) &\vline\;\vline & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\;\vline & & \Rnode{min}{\ln(2)} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} %On précisera les limites aux bornes de l'intervalle. \end{list} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 4} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation différentielle $(E) : \quad y' + \np{0,0434}y = 0.$ D'après le cours, l'équation différentielle $a y' + b y = 0$ pour $a\neq 0$ a pour solutions les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=k\e^{-\frac{b}{a}x}$ avec $k\in\R$. Donc l'équation différentielle $(E)$ a pour solution dans $[0~;+ \infty[$ les fonctions $P$ définies par $P(x)=k \e^{-0,0434 x}$ avec $k\in\R$. $P(0) = 6,75 \iff k\e^{0}= 6,75 \iff k=6,75$. Sur $[0~;+ \infty[$ la solution $P$ de cette équation différentielle qui vérifie la condition initiale $P(0) = 6,75$ est définie par $P(x)=6,75\e^{-0,0434x}$. \item Un signal de puissance initiale $P(0) =6,75$~mW parcourt une fibre optique. La puissance du signal, exprimée en mW, lorsque celui-ci a parcouru une distance de $x$ kilomètres depuis l'entrée de la fibre optique, est donnée par $P(x)$ où $P$ est la fonction déterminée à la question a. La puissance du signal au bout de 1~km est $P(1)\approx \np{6,4633}$, donc la perte de puissance une fois que le signal a parcouru 1~km depuis l'entrée est, en mW, $P(0)-P(1) \approx \np{0,2867}$ soit environ $287~ \mu$W. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 5} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 5x + 4\right)\e^{x}.$ Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = \left(x^2 + 3x + 1\right) \e^{x}$. %\medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $x$ appartenant à $\R$,\\ $F'(x) = \left (2x+3\right )\times \e^{x} + \left(x^2 + 3x + 1\right) \times \e^{x} = \left (2x+3 + x^2 +3x+1\right ) \e^{x} = \left (x^2+5x+4\right ) \e^{x}\\ \phantom{F'(x)} = f(x)$. Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item $\displaystyle\int_0^1 f(x)\d x = \left [ F(x)\strut\right ]_{0}^{1} = F(1)-F(0) = \left ( (1+3+1)\e^{1}\right ) - \left ( (0+0+1)\e^{0} \right ) = 5\e - 1$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip %Rappel: Pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline %$\bullet~~\cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$\\ %$\bullet~~\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)$\\ %$\bullet~~\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)$\\ %$\bullet~~\sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b)$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} La tension $u$ aux bornes d'un générateur dépendant du temps $t$ est donnée par:\\ $u(t) = 240 \cos (50t) - 240 \sin (50t).$ La tension $u$ est exprimée en volt et le temps $t$ est exprimé en seconde. %\medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$, $240 \sqrt{2} \cos \left(50t + \dfrac{\pi}{4}\right) = 240 \sqrt{2} \left ( \cos \left (50t\right ) \cos \left (\frac{\pi}{4}\right ) - \sin\left (50t\right ) \sin \left (\frac{\pi}{4}\right ) \right )\\ \phantom{240 \sqrt{2} \cos \left(50t + \dfrac{\pi}{4}\right)} = 240 \sqrt{2} \left ( \cos \left (50t\right ) \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sin\left (50t\right ) \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )\\ \phantom{240 \sqrt{2} \cos \left(50t + \dfrac{\pi}{4}\right)} = 240 \cos (50t) - 240 \sin (50t) = u(t) $ \item %En déduire la fréquence $f= \dfrac{\omega}{2\pi}$, exprimée en Hz, délivrée par le générateur, où $\omega$ désigne la pulsation. On déduit que la pulsation $\omega$ vaut $50$ et donc que la fréquence $f$ est égale à $\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{50}{2\pi}\approx 8$. %On arrondira le résultat à l'unité. \end{enumerate} \end{document}