\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{multicol,diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
\usepackage{pst-all,pst-func}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}}
%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS},
pdftitle = {Métropole 2021},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion -- corrigé}}
\rfoot{\small{juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D -- spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole--La Réunion juin  2021 J2}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\medskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill commun à tous les candidats \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice.}
% Les questions sont indépendantes. Chacune d'elles est notée sur un point.\\
%Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice.}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{On a tracé dans le repère orthonormé
ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \ln (x).\]

On note A le point de $\mathcal{C}_f$ de
coordonnées (e~;~1).
On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

%La tangente $T$ passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifier.
}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.2)(6.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-2.2)(6.2,2.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{6.2}{x ln}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,1)(2.71828,1)(2.71828,0)
\psdots(2.71828,1)\uput[u](2.71828,1){A}
\uput[d](5.3,1.5){\red $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
}%%% fin du \parbox

\medskip

La tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en A a pour équation $y= f'(x_{\text A})\left (x-x_{\text A}\right ) + f(x_{\text A})$ soit $y=f'(\e)\left (x-\e\right ) + f(\e)$.

$f(x)=\ln(x) $ donc $f(\e)=\ln(\e)=1$

$f(x)=\ln(x) $ donc $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ et donc $f'(\e)=\dfrac{1}{\e}$

$T$ a donc pour équation $y=\dfrac{1}{\e} \left (x-\e\right ) + 1$ soit $y=\dfrac{1}{\e}x -1+1$ ou encore $y=\dfrac{1}{\e}x$.

Et si $x=0$, alors $y=\dfrac{1}{\e}x = 0$ donc la droite $T$ passe par l'origine du repère..

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par :
$f(x) = x^2 - x - 2- 3 \ln (x).$

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f '(x) = \dfrac{(x + 1)(2x - 3)}{x}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0,5~;~10].
Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0,5~;~10]:
$f'(x)=2x-1 -0 - 3\dfrac{1}{x} = \dfrac{2x^2 - x -3}{x}$

Or $(x+1)(2x-3)=2x^2 + 2x -3x - 3 = 2x^2 -x-3$ donc $f'(x) = \dfrac{(x + 1)(2x - 3)}{x}$.

\item% Montrer que $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0,5~;~10] et préciser la valeur exacte de ce minimum.
On va déterminer les variations de la fonction $f$ et, pour cela, étudier le signe de $f'(x)$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0,5 & \esp & 1,5 & \esp & +\infty \\
 \hline
x+1 &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
 \hline
2x-3 &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
 \hline
x &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\phantom A}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\phantom C}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\phantom B} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

La fonction $f$ admet donc un minimum en $x=1,5$ qui vaut \\
$f(1,5) = 1,5^2 - 1,5 - 2 -3\ln(1,5) = -1,25-3\ln(1,5)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On résout dans $\R$ l'équation $\e^{\np{- 0.0434} x} = 0,01$. 

$\e^{\np{- 0,0434} x} = 0,01
\iff
\np{- 0.0434} x = \ln(0,01)
\iff
x = -\dfrac{\ln(0,01)}{\np{0,0434}}$
%On donnera la valeur exacte de la solution.
\item Un signal de puissance initiale $P(0) = 6,75$~mW parcourt une fibre optique. 

La puissance du signal, exprimée en mW, lorsque celui-ci a parcouru une distance de $x$ kilomètres depuis l'entrée est donnée par $P(x) = 6,75\e^{\np{- 0.0434} x}$.

Le signal aura perdu 99\,\% de sa puissance pour une distance $x$ telle que $P(x)=P(0)\times \left (1-\dfrac{99}{100}\right )$ donc pour $P(x)=6,75\times 0,01$.

$P(x)=6,75\times 0,01
\iff 6,75\e^{\np{- 0.0434} x} = 6,75\times 0,01
\iff \e^{\np{- 0.0434} x} = 0,01
\iff x = -\dfrac{\ln(0,01)}{\np{0,0434}}$ ce qui donne environ 106~km.

%On arrondira le résultat obtenu au kilomètre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

On considère les points A et B d'affixes respectives : 
$z_{\text{A}} = 3\e^{- \i\frac{\pi}{3}}$ et $z_{\text{B}}= - 1 + \i \sqrt{3}.$

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
Les points O, A et B sont alignés si les vecteurs $\vectt{OA}$ et $\vectt{OB}$ sont colinéaires.

$\vectt{OA}$ a pour affixe $z_{\text A}$ et $\vectt{OB}$ a pour affixe $z_{\text B}$.

$z_{\text{A}} = 3\e^{- \i\frac{\pi}{3}} = 3 \left ( \cos \left (-\dfrac{\pi}{3}\right ) + \i \sin \left ( -\dfrac{\pi}{3} \right ) \right ) = 3\left ( \dfrac{1}{2} - \i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\\
\phantom{z_{\text{A}}}
= -\dfrac{3}{2}\left ( -1 + \i \sqrt{3}\right ) = -\dfrac{3}{2} z_{\text B}$

Donc les vecteurs $\vectt{OA}$ et $\vectt{OB}$ sont colinéaires, et donc les points O, A et B sont alignés.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
%\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-3}   \def\ymax {3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psline[showpoints,linecolor=blue](3;-60)(-1,1.732)(0,0)
{\blue
\uput[ur](3;-60){A} \uput[ur](-1,1.732){B}
}
\end{pspicture*}
%\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{Question 5}

\medskip

\parbox{0.71\linewidth}{On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par:

\begin{center}
$f(x) = x + \e^x - \dfrac{1}{x}.$
\end{center}


On a tracé dans le repère orthonormé ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
On considère les points A(1~;~0) ; B(2~;~0) ; C(1~;~2); D(2~;~8) ; E(1~;~3) et F(2~;~9).
On admet que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus du segment [CD] et en dessous du segment [EF].

\begin{enumerate}
\item %À l'aide du graphique, donner un encadrement d'amplitude 1 de l'intégrale : 
%
$\mathcal A = \displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x$ est l'aire de la région du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

$\mathcal A$ est compris entre l'aire $\mathcal A_1$ du trapèze ABDC et l'aire $\mathcal A_2$ du trapèze ABFE.

$\mathcal A_1 = \dfrac{(\text{AC} + \text{BD}) \times \text{AB}}{2} = \dfrac{(2+8)\times 1}{2}=5$

$\mathcal A_2 = \dfrac{(\text{AE} + \text{BF}) \times \text{AB}}{2} = \dfrac{(3+9)\times 1}{2}=6$

Donc $5\leqslant  \displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x \leqslant 6$.

\end{enumerate}} 
\hfill
\parbox{0.26\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.7)(3,9.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3,9.2)
\def\f{2.71828 x exp x add 1 x div sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!10]
{\psplot[plotpoints=4000]{1}{2}{\f}
\psplot[plotpoints=4000]{2}{1}{0}
\closepath
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{\f}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](1,3)(2,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](1,2)(2,8)
\psdots(1,0)(2,0)(2,8)(1,2)(2,9)(1,3)
\uput[ul](1,0){A}\uput[ur](2,0){B}\uput[dl](1,2){C}
\uput[ur](2,8){D}\uput[ul](1,3){E}\uput[l](2,9){F}
\uput[l](1,2.75){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
}


\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Pour calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x$, il faut déterminer une primitive de la fonction $f$ sur [1~;~2].

$f(x) = x + \e^x - \dfrac{1}{x}$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item La fonction $x\longmapsto x$ a pour primitive la fonction $x\longmapsto \dfrac{x^2}{2}$.
\item La fonction $x\longmapsto \e^{x}$ a pour primitive la fonction $x\longmapsto \e^{x}$.
\item La fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{x}$ a pour primitive la fonction $x\longmapsto \ln(x)$.
\end{list}

Donc la fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + \e^{x}-\ln(x)$.
\end{enumerate}

$\displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x
= \left [ F(x)\strut\right ]_{1}^{2}= F(2)-F(1) 
= \left (\dfrac{4}{2} + \e^{2} - \ln(2)  \right ) - \left ( \dfrac{1}{2} +\e^{1} - \ln(1) \right )
= 2+\e^{2}-\ln(2) -\dfrac{1}{2} - \e\\
\phantom{\displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x}
= \dfrac{3}{2}+ \e^{2}-\ln(2) - \e$

Remarque: $ \dfrac{3}{2}+ \e^{2}-\ln(2) - \e \approx 5,48$ qui est compris entre 5 et 6.

\newpage

\textbf{Question 6}

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Rappel :}  Pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes :\\
%$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$\\
%$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$\\
%$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$\\
%$\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$\\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip

La tension $u$ aux bornes d'un générateur, exprimée en volt, dépendant du temps $t$, exprimé en seconde, est donnée à l'instant $t$ par : 
$u(t) = 120 \cos(70t) - 120 \sin(70t).$

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, 

$120\sqrt{2} \cos \left(70t + \dfrac{\pi}{4}\right)
= 120\sqrt{2} \left ( \cos \left (70t\right ) \cos \left (\frac{\pi}{4}\right ) - \sin \left (70t\right ) \sin \left (\frac{\pi}{4}\right )\right )\\
\phantom{120\sqrt{2} \cos \left(70t + \dfrac{\pi}{4}\right)}
= 120\sqrt{2} \left ( \cos \left (70t\right ) \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sin \left (70t\right )  \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )\\
\phantom{120\sqrt{2} \cos \left(70t + \dfrac{\pi}{4}\right)}
= 120 \cos \left (70t\right )  - 120 \sin \left (70t\right )\\
\phantom{120\sqrt{2} \cos \left(70t + \dfrac{\pi}{4}\right)}
=u(t)$

\item %En déduire la fréquence $f = \dfrac{\omega}{2\pi}$, exprimée en Hz, délivrée par le générateur, où $\omega$ désigne la pulsation. 
On déduit de la question précédente que la pulsation $\omega$ est égale à 70 et que la fréquence $f$ est égale à
$\dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{70}{2\pi}\approx 11$.

%On arrondira le résultat à l'unité.
\end{enumerate}
\end{document}