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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé Bertrand Desmons
%Relecture  Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 mai 2022}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D ~\decofourright\\[7pt]Épreuve d'enseignement de spécialité\\[7pt]Métropole -- 11 mai 2022}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 (physique-chimie et mathématiques, 6 points)}

\medskip

\textbf{Modèle de la vitesse de refroidissement d’un lait écrémé}

\medskip

Dans le domaine de l'agroalimentaire, la question du refroidissement des produits préparés peut être cruciale. On peut citer par exemple la problématique de la durée de  refroidissement  du  lait  produit  dans  une  ferme : afin  d'éviter  la  prolifération microbienne, il convient de minimiser cette durée de refroidissement. Afin d’étudier l’évolution de la température d’une masse de liquide en contact  avec l’atmosphère d’une pièce en fonction du temps, l’expérience suivante est réalisée. Une masse de lait écrémé $m = 150\,\text{g}$ est chauffée à une température de $63,4~\text{°C}$. On laisse  ensuite  le  lait se  refroidir à l'air libre en relevant sa température toutes les minutes. Pendant toute la durée  de  l’expérience, la température de l’air de la  pièce reste constante et inférieure à celle du lait. 

\textit{\textbf{Résultats de l’expérience :} température de la masse de lait en fonction du temps}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*8{c|}}
\hline
$t$ (en min) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline

température (en °C) & 63,4 & 61,7 & 60,2 & 58,6 & 57,4 & 56,2 & 54,7 & 53,6\\ \hline
\multicolumn{9}{c}{ }\\ \hline
$t$ (en min) & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\\hline
température (en °C) & 52,4 & 51,2 & 50,4 & 49,4 & 48,5 & 47,4 & 46,6 & 45,9\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Donnée :
\begin{itemize}
\item pour la capacité thermique massique du lait, on prendra: $c_{\text{lait}} =4,0\,\text{kJ.kg\up{-1}.K\up{-1}}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Citer les trois modes de transferts thermiques.

\begin{correction}
Les trois modes de transfert thermique sont la convection, la conduction, et le rayonnement.
\end{correction}

\item Préciser,  en  le  justifiant, le  sens  du  transfert  thermique  entre  la masse  de  lait et l’air de la pièce.

\begin{correction}
Le lait se refroidit, donc le transfert thermique s'opère de la masse de lait vers l'air de la pièce.
\end{correction}

\item Calculer, d’après les résultats expérimentaux, la  valeur  du  transfert  thermique $Q$ entre la masse de lait et l’air de la pièce entre les dates $t =1$ min et $t=2$ min.

Sans calcul,  préciser  si la  valeur  du  transfert  thermique  est plus  petite  ou  plus grande que $Q$ entre les dates $t=6$ min et $t =7$ min.

\begin{correction}
La différence de température, entre les dates $t = 1$ min et $t = 2$ min, est de 

$\Delta T = 61,7 - 60,2 = 1,5 \text{°C}$. On a aussi $m = 150\,\text g$ et $c_{\text{lait}} =4,0\,\text{kJ.kg\up{-1}.K\up{-1}}$. De par le cours, on a:
\begin{align*}
Q &= c_{\text{lait}} \times m \times \Delta T\\
&= 4,0 \times 0,15 \times 1,5 && \text{après avoir converti $m$ en kg}\\
&= 0,9\,\text{kJ}.
\end{align*}

Entre $t = 6$ min et $t = 7$ min, la différence de température est moindre, donc la valeur de transfert thermique est plus petite que $Q$.
\end{correction}
\end{enumerate}

La température du lait, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps $t$, exprimé en minute, est modélisée par la fonction  $T$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par:

\[T(t) = 37\times\mathrm e^{\frac{-20 t}{459}} +26,4.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $T(0)$ et interpréter  ce résultat  dans le  contexte de  l’exercice.

\begin{correction}
On a
\begin{align*}
T(0) &= 37\times\mathrm e^{\frac{-20 \times 0}{459}} +26,4\\
&= 37\times\mathrm e^{0} +26,4\\
&= 37\times 1 +26,4\\
&= 63,4
\end{align*}
Lorsque l'on commence la prise de mesures, le lait a une température de $63,4\text{°C}$ (ce qui est conforme aux données de l'énoncé).
\end{correction}

\item Déterminer $\displaystyle \lim_{t\to + \infty} T(t)$.

Selon ce modèle, quelle est la température de l’air de la pièce ? Justifier.

\begin{correction}
Une propriété du cours dit que $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \mathrm e^{kt} = 0$ lorsque $k < 0$. Ici, $k = \dfrac {20} {459}$; ainsi, par produit et somme,

\[\lim_{t\to + \infty} T(t) = 37 \times 0 + 26,4 = 26,4.\]

On peut affirmer qu'alors, la température de l'air pièce est de $26,4~\text{°C}$ puisque, après un long temps passé, la température du lait se rapproche de celle du milieu ambiant.
\end{correction}

\item Selon ce modèle, au bout de combien de  temps la  température du  lait vaut-elle $40\,\text{°C}$? Donner le résultat en minute et seconde.

\begin{correction}
On a
\begin{align*}
&&T(t) &= 40\\
\iff&& 37\times\mathrm e^{\frac{-20 t}{459}} +26,4 &= 40\\
\iff&& 37\times\mathrm e^{\frac{-20 t}{459}} &= 40-26,4\\
\iff&& \mathrm e^{\frac{-20 t}{459}} &= \frac{13,6}{37}\\
\iff&& \frac{-20 t}{459} &= \ln\left(\frac{13,6}{37}\right)\\
\iff&& t &= \frac{\ln\left(\frac{13,6}{37}\right)}{\frac{-20}{459}}\\
&&&= - \frac {459}{20} \ln\left(\frac{13,6}{37}\right)\\
&&&\simeq 22,969.
\end{align*}
En convertissant $0,969$ minutes en seconde, on trouve que la température du lait atteint $40\text{°C}$ au bout de 22 minutes et 58 secondes.
\end{correction}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 (mathématiques, 4 points)}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six numérotées de 1 à 6 que comporte l’exercice. Les questions sont indépendantes  les  unes  des  autres. Le  candidat  choisit  les  quatre  questions  auxquelles  il  répond  et  indique clairement leur numéro sur sa copie en début d’exercice. Seules ces questions sont évaluées. Chacune d’elles est notée sur un point. Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.}

\medskip

\newcounter{myquestion}
\setcounter{myquestion}{0}
\newcommand{\question}{\stepcounter{myquestion}\textbf{Question \themyquestion.}\par}

\question
\begin{enumerate}
\item Montrer, en détaillant vos calculs, que:

\[\ln(\np{2025})= 4\ln(3)+2\ln(5).\]

\item Simplifier le nombre $A$ ci-dessous en détaillant les calculs:

\[ A = 2\ln\left(\mathrm e^4\right) - 3\ln\left(\frac 1 {\mathrm e}\right).\]

\end{enumerate}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item On a 
\begin{align*}
4\ln(3)+2\ln(5) &= \ln\bigl(3^4\bigr) + \ln\bigl(5^2\bigr)\\
&= \ln\bigl(3^4\times 5^2\bigr)\\
&= \ln(\np{2025}).
\end{align*}
\item On a
\begin{align*}
A &= 2\ln\left(\mathrm e^4\right) - 3\ln\left(\frac 1 {\mathrm e}\right)\\&= 2\times 4 \ln(\mathrm e ) - 3\times (- \ln(\mathrm e)\\
&= 2\times 4  - 3\times (-1)\\
A &= 11.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{correction}

\question
On désigne par $\mathbf i$ le nombre complexe de module 1 et d’argument $\frac \pi 2$. On considère le nombre complexe suivant:

\[ z = \frac{-1+\mathbf i}{3\mathbf i}.\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $z$ sous forme algébrique. Détailler les calculs.
\item Mettre $z$ sous forme exponentielle. Détailler les calculs.
\end{enumerate}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item On écrit, en multipliant numérateur et dénominateur par $- \mathbf i$:

\[ z = \frac{(-1+ \mathbf i) (-\mathbf i)}{(3\mathbf i)(-\mathbf i)}    = \frac{-(-\mathbf i) - \mathbf i^2}{-3 \mathbf i^2}
= \frac {\mathbf i + 1}{3} = \frac 1 3 + \mathbf i \frac 1 3. \]
\item Le module de $z$ est
\[ |z| = \sqrt{\left(\frac 1 3\right)^2 + \left(\frac 1 3\right)^2}
= \sqrt{\frac 1 9 + \frac 1 9}
= \sqrt{\frac 2 9} 
= \frac{\sqrt 2} 3.\]

Soit $u = \dfrac z {|z|}$. Ce nombre complexe, de module $1$, a le même argument que $z$. On a
\begin{align*}
u &= \frac {\frac 1 3 + \mathbf i \frac 1 3}{\frac {\sqrt 2} 3}\\
&= \left(\frac 1 3 + \mathbf i \frac 1 3\right)\frac 3 {\sqrt 2}\\
&= \frac 1 3 \times \frac 3 {\sqrt 2} + \mathbf i \frac 1 3\times\frac 3 {\sqrt 2}\\
&= \frac 1 {\sqrt 2} + \mathbf i \frac 1 {\sqrt 2}\\
&= \frac {\sqrt 2} 2 + \mathbf i \frac {\sqrt 2} 2.
\end{align*}
Un argument de $u$ est donc $\theta$ tel que $\cos \theta = \frac {\sqrt 2} 2$ et $\sin \theta = \frac{\sqrt 2} 2$. On prend $\theta = \frac \pi 4$.

Ainsi, sous forme exponentielle, on a $z = \frac{\sqrt 2} 3 \mathrm e^{\mathbf i \frac \pi 4}$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\question
On considère l’équation différentielle $(E): 2y'+y=0$, où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$.
\item Le plan est muni d'un repère. Déterminer la solution $f$ de $(E)$, dont la courbe représentative $\mathcal C_f$ dans ce repère passe par le point $A: \bigl(\ln(9)~;~1\bigr)$.
\end{enumerate}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item On a $2y' + y = 0$ si et seulement si $y' + \frac 1 2 y = 0$, ou bien si et seulement si $y' = - \frac 1 2 y$. Les solutions $y$ de cette équation différentielle sont donc de la forme $y = C \mathrm e^{-\frac 1 2 x}$, avec $C \in \R$.
\item Comme $\mathcal C_f$ passe par le point $A: \bigl(\ln(9)~;~1\bigr)$, on a $f\bigl(\ln(9)\bigr) = 1$. En remplaçant $x$ par $\ln(9)$ et $y$ par $1$ dans l'expression générale des solutions, il vient
\begin{align*}
1 &= C \mathrm e^{-\frac 1 2 \ln(9)}\\
1 &= C \mathrm e^{- \ln\bigl(\sqrt 9\bigr)}\\
1 &= C \mathrm e^{\ln\left(\frac 1 {\sqrt 9}\right)}\\
1 &= C \frac 1 {\sqrt 9}\\
\sqrt 9 &= C
\end{align*}
d'où l'on tire $C = 3$, et par suite $f(x) = 3 \mathrm{e}^{-\frac 1 2 x}$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\question
On considère la fonction $f$ définie  sur $\R$ par $f(x) = a + b \mathrm e^x$, où $a$ et $b$ sont  deux nombres réels. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2 - 4 x - 1$. On note $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ les courbes  représentatives des fonctions $f$ et $g$, tracées dans le repère orthogonal ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item On admet que les deux courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ ont un unique point en commun, noté A d’abscisse 0. Calculer $g(0)$, puis en déduire que $a + b= -1$.
\item On admet que les deux courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ ont la même tangente $T$ au point A.
\begin{enumerate}
\item Donner, pour tout réel $x$, une expression de $g'(x)$, puis calculer $g'(0)$.
\item En déduire la valeur de $b$, puis celle de $a$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item On a $g(0) = -1$. Puisque $A$ est commun aux deux courbes, on a aussi $f(0) = -1$; mais par le calcul, $f(0) = a + b \mathrm e^0 = a+b$. Il s'ensuit l'égalité $a + b = -1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a, pour tout réel $x$, $g'(x) = 2 x - 4$, puis $g'(0) = 2\times 0 - 4 = -4$.
		\item Puisque $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ ont la même tangente $T$ en A, les dérivées évaluées en $0$ doivent être identiques; ainsi on a $f'(0) = -4$. Mais par le calcul, $f'(x) = b \mathrm e^x$ pour tout réel $x$, donc $f'(0) = b\mathrm e^0 = b$. Il vient alors:
\begin{itemize}
\item par identification de $f'(0)$: $b = -4$;
\item puis, comme $a+ b = -1$, on a $a - 4 = -1$, soit $a = -1+4 = 3$.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{correction}

\question
Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0~;~+\infty[$ par:

\[g(x) = \frac 1 2 x^2 - 2 \ln(x).\]

\begin{enumerate}
\item On admet que  $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0~;~+\infty[$ et on note $g'$ sa  fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$ de de l’intervalle $]0~;~+\infty[$,

\[ g'(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x}.\]

\item Montrer que la fonction $g$ admet un minimum, dont on précisera la valeur exacte, sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
\end{enumerate}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, elle est donc dérivable sur $]0~;~+\infty[$, et pour tout $x$ de $]0; +\infty[$, on a $g'(x) = \frac 1 2 (2x) - \frac 1 x = x - \frac 1 x$.

Or, on a, pour tout $x$ de  $]0~;~+\infty[$:
\[
\frac{(x-1)(x+1)}{x} = \frac{x^2-1}{x}
= \frac {x^2} x - \frac 1 x
= x - \frac 1 x = g'(x).
\]

\item On étudie le signe de $g'(x)$ grâce à sa forme factorisée donné à la question précédente. Puisque l'on définit la fonction sur  $]0~;~+\infty[$, le dénominateur de $g'$ est positif, et le facteur $x + 1$ est aussi positif. Il s'ensuit que $g'(x)$ a le même signe que $x - 1$, c'est-à-dire:
\begin{itemize}
\item négatif sur $]0~;~1[$;
\item positif sur $]1~;~+\infty[$;
\item nul pour $x = 1$.
\end{itemize}
Par conséquent, $g$ admet pour sens de variation les choses suivantes:
\begin{itemize}
\item $g$ est décroissante sur $]0~;~1[$;
\item $g$ est croissante sur $]1~;~+\infty[$;
\item et $g$ admet un minimum en $1$.
\end{itemize}
Ce minimum vaut $g(1) = \frac 1 2 \times 1^2 - \ln (1) = \frac 1 2 - 0 = \frac 1 2$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\question\vspace{1.5ex}
\fbox{

\begin{minipage}{\textwidth}
\textit{Rappel}: pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes:
\begin{gather*}
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\
\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\\
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\\
\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b).
\end{gather*}
\end{minipage}}
\vspace{1.5ex}

La tension $U$, exprimée en volt, aux bornes d’un dipôle en fonction du temps $t$, exprimé en seconde, est donnée par : $U(t) = \cos(50t)+\sqrt 3 \sin(50t)$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $t$, écrire $U(t)$ sous la forme $U(t) = U_{\text{max}} \cos(\omega t + \varphi)$ où:
\begin{itemize}
\item $U_{\text{max}}$ représente la tension maximale (exprimée en volt);
\item $\omega$ représente la pulsation (exprimée en rad.s\up{-1});
\item $\varphi$ représente le déphasage (exprimé en rad).
\end{itemize}
\item  En déduire la fréquence correspondante $f = \dfrac \omega {2\pi}$, exprimée en Hz. Arrondir le résultat à l’unité.
\end{enumerate}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Soit $z$ le nombre complexe défini par $z = 1 + \mathbf i \sqrt 3$. Ce nombre complexe a pour module $|z| = \sqrt{1^2 + \bigl(\sqrt 3\bigr)^2} = \sqrt {1 + 3} = \sqrt 4 = 2$. Par ailleurs, le nombre complexe
\[ \frac z {|z|} = \frac{1 + \mathbf i \sqrt 3} 2 = \frac 1 2 + \mathbf i \frac{\sqrt 3} 2, \]
est de module $1$ et admet pour argument un nombre $\psi$ tel que $\cos \psi = \frac 1 2$ et $\sin \psi = \frac{\sqrt 3} 2$, soit $\psi = \frac \pi 3$ comme argument principal. Ce nombre $\psi$ est aussi un argument de $z$. 

Alors, il suffit de prendre $U_{\text{max}} = |z| = 2$, $\omega = 50$ et $\varphi = - \psi = - \frac \pi 3$ pour obtenir la bonne expression. En effet,
\begin{align*}
2\cos\left(50 t - \frac \pi 3\right) &= 2 \left(\cos(50t) \cos\left(\frac \pi 3\right) + \sin(50t) \sin\left(\frac \pi 3\right)\right)\\
&= 2 \left(\cos(50t) \times \frac 1 2 + \sin(50t) \times \frac {\sqrt 3} 2 \right)\\
&=\cos(50t) \times 1 + \sin(50t) \times \sqrt 3\\
&= U(t).
\end{align*}

\item Il suffit de calculer $f = \dfrac {50}{2\pi} = \dfrac {25} {\pi} \simeq 8$ Hz, une fois arrondi à l'unité.
\end{enumerate}
\end{correction}
\end{document}
