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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole -- corrigé}}
\rfoot{\small{septembre 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]septembre 2021}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

Dans l'épreuve Physique-Mathématiques un sujet de mathématiques et trois de Physique (4 points sur 20 ...)

\medskip

\begin{center}\textbf{\large Exercice 3 commun à tous les candidats \hfill 4 points}\end{center}

\bigskip

\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice.\\
Les questions sont indépendantes. Chacune d'elles est notée sur un point.\\[3pt]
Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique
clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice.}

\medskip

\emph{Pour chaque question, préciser si l'affirmation est vraie ou fausse et justifier la
réponse choisie.}

\bigskip

\textbf{Question 1}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 \e^x$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 1 :\\
\og La fonction $f$ est croissante sur $\R$.\fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x) = 2x\times \e^{x} + x^2\times \e^{x}=x(2+x)\e^{x}$.

Sur $]-2~;~0[$, $f'(x)<0$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.

\textbf{Affirmation 1 fausse}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 2}

On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \ln (2x + 1)$.

On désigne par $\mathcal{C}_h$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O
et d'unité graphique $1$~cm.

On note $M(x~;~y)$ un point de la courbe $\mathcal{C}_h$. On suppose que l'ordonnée $y$ du point $M$
est supérieure à $15$~cm.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 2 :\\
\og L'abscisse $x$ du point $M$ se situe à plus de $16$~km du point O. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 15, ce qui signifie qu'on cherche le nombre $x$ tel que $h(x)=15$. On résout cette équation:

$h(x)=15
\iff
\ln(2x+1)=15
\iff
2x+1=\e^{15}
\iff
x=\dfrac{\e^{15}-1}{2}$
donc $x\approx \np{1634508,19}$~cm soit environ $16,345$~km.

\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 3}

Le thorium 231 est un élément radioactif qui se désintègre selon la loi:

$N(t) = N(0)\e^{- 0,027 t}$ où $N(0)$ est le nombre de noyaux au début de l'observation et
$N(t)$ le nombre de noyaux à l'instant $t$ exprimé en heure. 

La demi-vie d'un élément radioactif est le temps au bout duquel la moitié de ses noyaux se sont désintégrés.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 3 :\\
\og La demi-vie du thorium 231 est d'environ 11 heures. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On cherche $t_{0,5}$ tel que $N(t_{0,5}) = \dfrac{1}{2} N(0)$ soit $N(0) \e^{-0,027 t_{0,5}} = \dfrac{1}{2} N(0)$ ou $\e^{-0,027 t_{0,5}} = \dfrac{1}{2}$. 

On résout cette équation:
$\e^{-0,027 t_{0,5}} = \dfrac{1}{2}
\iff
-0,027 t_{0,5} = \ln \left (\frac{1}{2}\right )
\iff
t_{0,5} = \dfrac{\ln \left (\frac{1}{2}\right )}{-0,027 }
$

Donc $t_{0,5}\approx 25,7$.

\textbf{Affirmation 3 fausse}
\end{tabular}

 \bigskip


\textbf{Question 4}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = \cos(t) + 2 \sin(t)$.

On considère l'équation différentielle $(E)\,  : y'' + y = 0$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 4 :\\
\og La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$ et vérifie les
conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On regarde si la fonction $f$ vérifie les conditions requises.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(t) = \cos(t) + 2 \sin(t)$ donc
$f'(t)= -\sin(t) +2\cos(t)$ et
$f''(t)= -\cos(t) -2\sin(t)$.

$f''(t)+f(t) = \left (-\cos(t) -2\sin(t)\right ) + \left ( \cos(t) + 2 \sin(t)\right ) = 0$ donc la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item $f(t) = \cos(t) + 2 \sin(t)$ donc $f(0)=\cos(0) + 2 \sin(0) = 1$

\item $f'(t)= -\sin(t) +2\cos(t)$  donc $f'(0)= -\sin(0) +2\cos(0) = 2$ 
\end{list}

\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{tabular}

 \bigskip

\textbf{Question 5 :}

On considère le nombre complexe $z = \dfrac{2 - \text{i}}{1 - 3\text{i}}$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 5 :\\
\og Le nombre complexe $z^4$ est un nombre réel négatif. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$z = \dfrac{2 - \text{i}}{1 - 3\text{i}}
= \dfrac{(2-\i)(1+3\i)}{(1-3\i)(1+3\i)}
= \dfrac{2-\i+6\i -3\i^2}{1-(3\i)^2}
= \dfrac{5+5\i}{10}
= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\i$

$\left |z\right | = \ds\sqrt{\left (\dfrac{1}{2}\right )^2 + \left (\dfrac{1}{2}\right )^2} 
=\ds\sqrt{\dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{4}}
= \ds\sqrt{\dfrac{2}{4}}
= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$z = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \i\right )
= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left ( \cos \dfrac{\pi}{4} + \i \sin \dfrac{\pi}{4}\right )
= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \e^{\i\frac{\pi}{4}}$

$z^4 = \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^4 \e^{4\times \i\frac{\pi}{4}}
= \dfrac{1}{4} \e^{\i \pi }= -\dfrac{1}{4}$

\textbf{Affirmation 5 vraie}
\end{tabular}
 
 \bigskip
 
\textbf{Question 6 :}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On considère
les points A, B et C d'affixes respectives:

\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 4 + 2\text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - 4\text{i}.\]

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 6 :\\
\og Le triangle ABC est rectangle et isocèle. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-5}   \def\ymax {3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}%
                               (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon[showpoints,linecolor=blue](-1,1)(4,2)(0,-4)
{\blue
\uput[ul](-1,1){A} \uput[ur](4,2){B} \uput[dr](0,-4){C} 
}
\end{pspicture*}
\end{center}

$\text{AB}^2 = \left (x_{\text{B}}-x_{\text{A}}\right )^2 + \left (y_{\text{B}}-y_{\text{A}}\right )^2
= \left (4-(-1)\right )^2 + \left (2-1\right)^2
= 25+1=26$

$\text{AC}^2 = \left (x_{\text{C}}-x_{\text{A}}\right )^2 + \left (y_{\text{C}}-y_{\text{A}}\right )^2
= \left (0-(-1)\right )^2 + \left (-4-1\right)^2
= 1+25=26$

On peut donc dire que le triangle ABC est isocèle en A.

$\text{BC}^2 = \left (x_{\text{C}}-x_{\text{B}}\right )^2 + \left (y_{\text{C}}-y_{\text{B}}\right )^2
= \left (0-4\right )^2 + \left (-4-2\right)^2
= 16+36=52$

Or $52=26+26$ donc $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$ donc, d'après la récirpoque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

On peut donc dire que le triangle ABC est isocèle rectangle en A.

\textbf{Affirmation 6 vraie}
\end{tabular}

\end{document}