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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole -- corrigé}}
\rfoot{\small{2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]Sujet 0 année 2021\\[10pt]Spécialité : physique-chimie et mathématiques}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

Dans l'épreuve Physique-Mathématiques un sujet de mathématiques et trois de Physique (4 points sur 20 ...)

\medskip

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 4 points}

\bigskip

\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six numérotées de 1 à 6 que
comporte l'exercice. Les questions sont indépendantes.}

%Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. Seules ces questions sont évaluées.\\[5pt]
%Chacune d'elles est notée sur un point.\\[5pt]
%Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.}

\medskip

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et
d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\bigskip

\textbf{Question 1.} On considère le nombre complexe $z_1 = \dfrac{2 - 6\text{i}}{2 - \text{i}}$.

On cherche la forme algébrique de $z_1$.

$z_1 = \dfrac{2 - 6\i}{2 - \text{i}}
= \dfrac{\left (2-6\i\right ) \left (2+\i\right )}{\left (2-\i\right ) \left (2+\i\right )}
=\dfrac{4+2\i -12\i -6 \i^2}{4 - \i^2}
= \dfrac{10 -10\i}{5} = \dfrac{5(2 - 2\i)}{5}
= 2 -2\i$

\bigskip

\textbf{Question 2.} Soit $z_2$ le nombre complexe défini par: $z_2 = - 2 - 2\i$.

\begin{enumerate}
\item On cherche la forme exponentielle de $z_2$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\left | z_2 \right | = \left | -2-2\i \right | = \ds\sqrt{(-2)^2+(-2)^2} = \ds\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

\item $z_2 = - 2 - 2\i = 2\sqrt{2}\left ( \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} - \dfrac{2}{2\sqrt{2}}\i\right )
= 2\sqrt{2} \left ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\i \right )$

On cherche $\theta$ tel que $\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Une valeur de $\theta$ est $-\dfrac{3\pi}{4}$.
\end{list}

$z_2$ a pour forme exponentielle $2\sqrt{2} \e^{-\i\frac{3\pi}{4}}$.

\item %Montrer que $z_2^4$ est un nombre réel que l'on déterminera.
$z_2^4 = \left (2\sqrt{2} \e^{-\i\frac{3\pi}{4}}\right )^4
= \left (2\sqrt{2}\right )^4 \e^{4\times\left (-\i\frac{3\pi}{4}\right )}
= 64 \e^{-3\i\pi}$

$\e^{-3\i\pi} = \e^{\i\pi}=-1$ donc $z_2^4=-64$ et donc $z_2^4$ est un nombre réel.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3.} Soient A, B et C  tels que:
$z_{\text{A}} = 2 - 2\i$, $z_{\text{B}} = - 2 - 2\i$ et $z_{\text{C}}=- 4\i$.

\begin{enumerate}
\item On place les points A, B et C dans un repère:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-5}   \def\ymax {2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect u$,-90][$\vect v$,180]
\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon[showpoints,linecolor=blue](2,-2)(-2,-2)(0,-4)
{\blue
\uput[ur](2,-2){A} \uput[ul](-2,-2){B} \uput[dr](0,-4){C} 
}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
On calcule les longueurs AB, BC et AC.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\text{AB} = \left | z_{\text B} - z_{\text A} \right | = \left | -2-2\i -2+2\i \right | = \left | -4 \right | = 4$
\item  $\text{BC} = \left | z_{\text C} - z_{\text B} \right | = \left | -4\i +2+2\i \right | = \left | 2-2\i \right | = \ds\sqrt{2^2 + (-2)^2} = \ds\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 
\item $\text{AC} = \left | z_{\text C} - z_{\text A} \right | = \left | -4\i -2+2\i \right | = \left | -2-2\i \right | = \ds\sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \ds\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 
\end{list}

$\text{BC} = \text{AC}$ donc le triangle ABC est isocèle.

$\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = 8 + 8 = 16 = 4^2 =  \text{AB}^2$ donc d'après la récirpoque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

Donc  le triangle ABC est isocèle rectangle en C.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4.} On considère l'équation différentielle  $y' + 5y = 7$.

%où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre cette équation différentielle.
D'après le cours on sait que pour $a\neq 0$, les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=b$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par: $f(t)=k \e^{-at} + \dfrac{b}{a}$ où $k\in\R$.

Les solutions de l'équation différentielle $y'+5y=7$ sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par: $f(t)=k \e^{-5t} + \dfrac{7}{5}$ où $k\in\R$.

\item $f(0) = 4 \iff k\e^{0}+\dfrac{7}{5}=4 \iff k= 4-\dfrac{7}{5} \iff k =\dfrac{13}{5}$

La solution cherchée est la fonction $f$ telle que: $f(t)=\dfrac{13}{5} \e^{-5t} + \dfrac{7}{5}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5.} Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
$g(x) = x \ln (x) - x + 4.$

\begin{enumerate}
\item On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, et on note $g'$ sa fonction dérivée. 

%Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$,\, $g'(x) = \ln (x)$. 

Pour tout $x>0$, $g'(x)=1\times \ln(x) + x\times \dfrac{1}{x}-1 - 0 = \ln(x) +1-1=\ln(x)$.

\item %En déduire le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\begin{list}{\textbullet}{On étudie les variations de $g$.}
\item Sur $]0~;~1[$, $\ln(x)<0$ donc $g'(x)<0$: la fonction $g$ est strictement décroissante.
\item Sur $]1~;~+\infty[$, $\ln(x)>0$ donc $g'(x)>0$: la fonction $g$ est strictement croissante.
\item Pour $x=1$, $\ln(x)=0$ donc $g'$ s'annule et passe de négative à positive: la fonction $g$ admet un minimum égal à $g(1)= 1\times\ln(1) - 1 + 4 = 3$.
\end{list}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6.} On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par  $h(x) = x^2\e^{-x}.$

\begin{enumerate}
\item Limite de $h$ en $-\infty$.

$\left.
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to -\infty} x^2 = +\infty\\
\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty
\end{array}
\right \}
\text{ donc par produit, } \ds\lim_{x\to -\infty} h(x) = +\infty$

\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  h(x) = \ds\lim_{x \to + \infty} x^2\e^{-x} = \ds\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{\e^{x}}$

D'après le cours, on sait que pour $n\geqslant 1$, on a $\ds\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^{x}}{x^n}=+\infty$ donc $\ds\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^{x}}{x^2}=+\infty$.

On en déduit que $\ds\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{\e^{x}}=0$ et donc que $\ds\lim_{x \to + \infty} h(x)=0$.
\end{enumerate}

\smallskip

On admet que $h$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$ et que l'équation 

$h(x) = 0,5$ admet une unique solution dans l'intervalle $[2~;~+ \infty[$ que l'on note $\alpha$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On complète le programme ci-dessous pour que la fonction \texttt{sol\_bal} détermine une valeur approchée à $10^{-n}$ près de $\alpha$ par balayage.

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{X}%\hline
from math import exp\\
~\\
def sol\_bal(n) \\
\qquad x = 2\\
\qquad while {\blue x**2*exp(-x)} > 0,5\\
\qquad\qquad x = {\blue x+10**(-n)}\\
\qquad return x\\ %\hline
\end{tabularx}
}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{document}