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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]Sujet 0 année 2021}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

Dans l'épreuve Physique-Mathématiques un sujet de mathématiques et trois de Physique (4 points sur 20 ...)

\medskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 4 points}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

%\begin{center}\emph{Cet exercice est composé de quatre questions indépendantes}\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle
$(E) : \quad  y'+ 100y = 8.$

%Déterminer la solution $v$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ de cette équation différentielle, qui vérifie la condition initiale $v(0) = 0$.

D'après le cours on sait que les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=b$ (avec $a\neq 0$), sont les fonctions $v$ définies sur $\R$ par: $v(t)=k \e^{-at} + \dfrac{b}{a}$ où $k\in\R$.

Les solutions de l'équation différentielle $y'+100y=8$ sont donc les fonctions $v$ définies par: $v(t)=k \e^{-100t} + \dfrac{8}{100}$ où $k\in\R$.

$v(0)=0 \iff k \e^{0} + \dfrac{8}{100}=0 \iff k=-\dfrac{8}{100}$

La solution $v$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ de cette équation différentielle, qui vérifie la condition initiale $v(0) = 0$, est définie par $v(t)=0,08 -0,08\e^{-100t}$.

\item La fonction $v$ déterminée à la question précédente modélise la vitesse (exprimée en
m.s$^{-1}$) de chute d'une bille dans un liquide visqueux en fonction du temps $t$ écoulé depuis le début de la chute (exprimé en s).

$v(0,01) =0,08 - 0,08\e^{-1}\approx \np{0,05057}$

La vitesse de la bille après $0,01$ seconde de chute est de $0,051$~m.s$^{-1}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

%Rappel: Pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
%$\bullet~~\cos(a +b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$\\
%$\bullet~~\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)$\\
%$\bullet~~\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)$\\
%$\bullet~~\sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b)$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

La tension $u$ (exprimée en volt) aux bornes d'un dipôle en fonction du temps $t$ (exprimé en
seconde) est donnée par :
$u(t) = \dfrac{7\sqrt{3}}{4}\cos (100t) - \dfrac{7}{4}\sin (100t)$.

\begin{enumerate}
\item% Transformer l'écriture de $u$ sous la forme $u(t) = U_{\text{max}}\cos(\omega t + \varphi)$ où 
$u(t) = \dfrac{7\sqrt{3}}{4}\cos (100t) - \dfrac{7}{4}\sin (100t)
= \dfrac{7}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos (100t) - \dfrac{7}{2}\times \dfrac{1}{2}\sin(100t)\\
\phantom{u(t)}
=  \dfrac{7}{2} \left ( \cos (100t) \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} -\sin(100t)\times \dfrac{1}{2}\right )
$

Or $\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left (\dfrac{\pi}{6}\right )$ et $\dfrac{1}{2}= \sin \left (\dfrac{\pi}{6}\right )$.
Donc:

$u(t) = \dfrac{7}{2} \left ( \cos (100t) \cos \left (\dfrac{\pi}{6}\right ) -\sin(100t) \sin\left (\dfrac{\pi}{6}\right )\right )
= \dfrac{7}{2} \cos \left (100t+ \dfrac{\pi}{6}\right )$

%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$U_{\text{max}}$ représente la tension maximale (exprimée en V) ;
%\item[$\bullet~~$]$\omega$ représente la pulsation (exprimée en rad$\cdot \text{s}^{-1}$) ;
%\item[$\bullet~~$]$\varphi$ représente le déphasage (exprimé en rad).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

\item Le déphasage $\varphi$ de $u(t)$ est donc égal à $\dfrac{\pi}{6}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies et continues sur [0~;~9] respectivement par:

\hfill$f(x) = x^2 - 2x + 4$ et $g(x) = 7x+4$.\hfill{}

Les représentations graphiques des deux fonctions sont données ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(10,75)[$x$,-90][$y$,180]

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!50]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{9}{x dup mul x 2 mul sub 4 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{9}{0}{x 7 mul  4 add}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{9}{x dup mul x 2 mul sub 4 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{x 7 mul  4 add}
\uput[dr](8.5,56){\red $\mathcal{C}_f$}
\uput[ul](8.5,63){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}

$f(0)=g(0)=4$ et $f(9)=g(9)=67$ et sur l'intervalle $[0~;~9]$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$; donc la valeur  de l'aire, exprimée en unité d'aire, située entre les courbes représentatives de ces deux fonctions est:
$\ds\int_{0}^{9} \left ( g(x)-f(x)\right ) \d x$.

$g(x)-f(x) = \left (7x+4\right ) - \left ( x^2-2	x+4\right ) = 7x+4-x^2+2x-4 = -x^2+9x$

On cherche une fonction $H$ primitive de $g-f$: la fonction définie par $H(x)=-\dfrac{x^3}{3}+9\dfrac{x^2}{2}$ convient.

$\ds\int_{0}^{9} \left ( g(x)-f(x)\right ) \d x
= \left [ H(x) \strut\right ]_{0}^{9}
= H(9)-H(0)
= \left (-\dfrac{9^3}{3}+9\dfrac{9^2}{2} \right ) - \left ( -\dfrac{0^3}{3}+9\dfrac{0^2}{2} \right )
= \dfrac{243}{2} $

La valeur  de l'aire située entre les courbes représentatives de ces deux fonctions est $121,5$~U.A.

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

La tension $u_c(t)$ (exprimée en voit), aux bornes d'un condensateur lors de sa charge, est
modélisée par:
$u_c(t) = E\left(1 - \e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ où $t$ désigne le temps, exprimé en seconde.

Les caractéristiques du condensateur utilisé sont:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Tension maximale : $E = 4$ V 
\item[$\bullet~~$] Résistance : $R = 10^3$~$\Omega$ 
\item[$\bullet~~$] Capacité : $C = 2 \times 10^{-3}$ F
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On a donc $RC=2$ ce qui donne $u_c(t) = 4\left(1 - \e^{-\frac{t}{2}}\right)$.

Le temps de charge $t$  nécessaire pour obtenir une tension aux bornes du condensateur égale à la moitié de sa tension maximale est tel que $u_c(t)=\dfrac{E}{2}$ c'est-à-dire $u_c(t)=2$.

On résout cette équation.

$u_c(t)=2
\iff
4\left(1 - \e^{-\frac{t}{2}}\right) = 2
\iff
1 - \e^{-\frac{t}{2}}=\dfrac{1}{2}
\iff
\dfrac{1}{2} = \e^{-\frac{t}{2}}
\iff
\ln\left (\dfrac{1}{2} \right ) = -\dfrac{t}{2}\\
\phantom{u_c(t)=2}
\iff
t=-2\ln \left (\dfrac{1}{2}\right )$
soit environ $1,4$ seconde.
\end{document}