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\chapter{Académie de Créteil}
\newcommand{\quotient}[2]{\text{quotient}(#1;#2)}
\newcommand{\reste}[2]{\text{reste}(#1;#2)}
\begin{Enonce}[Le jeu du pinto]{}
  
  Lors d’un voyage scolaire, un groupe d’amis invente un jeu pour
  passer le temps dans le bus. La règle de ce jeu est simple, les
  participants doivent énumérer à tour de rôle les entiers dans
  l’ordre croissant en démarrant à $1$. Lorsque le nombre à énumérer se
  termine par un $7$ ou s’il est un multiple de $7$, alors le participant
  doit le remplacer par le mot « pinto ». On appelle ces nombres les
  « nombres pintos ». Un « tour de jeu » correspond à l’énumération
  d’un entier ou au fait de prononcer le mot « pinto ». Une partie
  s’interrompt lorsqu’une erreur est commise. Exemple :

  \begin{itemize}
  \item La liste de tours de jeu (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; pinto)
    correspond aux 7 premiers tours d’une partie au cours de laquelle
    personne ne s’est encore trompé.
  \item  La liste de tours de jeu (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7)
    correspond à une partie s’interrompant au 7\ieme
    tour.
  \end{itemize}

  \begin{enumerate}
  \item Écrire une liste de tours de jeu correspondant à une partie
    s’interrompant au 42\ieme tour.

  \item
    \begin{enumerate}
    \item On suppose que Hugo joue seul et qu’il ne peut se tromper
      que lorsqu’il tombe sur un nombre pinto. Il a
      $\SI{10}{\percent}$ de chance de se tromper si le nombre termine
      par 7 et $\SI{30}{\percent}$ de chance de se tromper si c’est un
      multiple de 7. À partir de quel nombre de pintos la probabilité
      que Hugo se soit déjà trompé est supérieure à $0,75$ ?

    \item Hugo joue maintenant avec Anne et Arthur. Hugo est le
      premier joueur, Anne la deuxième et Arthur le troisième. Leurs
      chances de se tromper sont identiques et correspondent à celles
      données à la question précédente. Qui est le plus avantagé si
      l’on ne considère que les $50$ premiers tours ?
    \end{enumerate}
    \begin{olympAlert}{Définition} La division euclidienne d’un entier
      naturel $a$ par un entier naturel $b$ non nul leur fait
      correspondre deux entiers naturels $q$ et $r$ uniques tels que
      $a=qb+r$ et $r<b$.

      On note $q=\quotient{a}{b}$ et $r=\reste{a}{b}$.
    \end{olympAlert}

  \item Compléter le squelette de la fonction ci-contre (à recopier
    sur sa feuille de copie) afin que celle-ci permette de déterminer
    si un entier $n$ testé est un nombre pinto (résultat Vrai) ou pas
    (résultat Faux).

    \begin{algorithm}[!h]
      \SetKwFunction{TestPinto}{TestPinto{}}
      \SetKwFunction{rest}{reste{}} \TestPinto{$n$}
          
      Résultat $\leftarrow $ Faux
          
      \If {\rest{$\ldots\,;\,\ldots$}$ = \ldots $} { Résultat
        $\leftarrow $ Vrai }

      \If {\rest{$\ldots\,;\,\ldots$} $= \ldots $} { Résultat
        $\leftarrow $ Vrai }
    \end{algorithm}

    
    On considère la suite de nombres définie par :
    \begin{center}
      $u_1=7$, $u_2=14$, $u_3=17$, \ldots
    \end{center}
    qui permet d’obtenir la liste des nombres pintos.

    $u_1$ est le premier nombre pinto, $u_2$ le deuxième nombre pinto,
    $u_3$ le troisième nombre pinto, etc. Pour tout entier strictement
    positif $n$, $u_n$ est le $n$\ieme nombre pinto rencontré au
    cours du jeu.

      \item Pour tout entier strictement positif $n$, on pose
    $r_n=\reste{u_n}{7}$ et $s_n=\reste{u_n}{10}$.

    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif,
    on a :
    \[
      u_{n+1}=u_n+7-r_n \text{ ou } u_{n+1}=u_n+7-s_n
    \]
    puis compléter
    le squelette de la fonction ci-dessous (à recopier sur la feuille
    de copie) afin qu’elle permette de déterminer la valeur de $u_n$.
    \begin{algorithm}[!h]
      \SetKwFunction{CalcPinto}{CalcPinto{}}
      \SetKwFunction{rest}{reste{}}
      \SetKwFunction{quot}{quotient{}} 

      \CalcPinto{$n$}

      $u\leftarrow 0$,\\
      $a\leftarrow 0$,\\
      $b\leftarrow 0$

      \For{$i$ de $1$ à $n$}
      {
        \If{$b<a< \dots $}
        {
          $u \leftarrow u+7-a$
        }
        \Else
        {
          $u \leftarrow u+7-b$
        }

        $a\leftarrow \rest{u;\ldots}$

        $b\leftarrow \rest{u;\ldots}$
      }
    \end{algorithm}
    
  \item On considère la suite de nombres définie par $v_1=7$ et, pour tout
    entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, par $v_n=u_n-u_{n-1}$ ,
    représentant la différence entre le $n$\ieme et le $(n-1)$\ieme
    pinto.

    Démontrer que les $18$ premiers termes de cette suite de nombres
    forment un \emph{palindrome}, c’est-à-dire que la liste de ces
    termes obtenue en partant du début est la même que celle obtenue
    en partant de la fin.

  \item
    \begin{enumerate}
    \item Soit $k$ un entier naturel et $l$ un entier naturel
      non nul.

      Démontrer que $70k+l$ est un nombre pinto si et seulement si $l$
      est un nombre pinto.

      Justifier que $70$ est le plus petit entier naturel non nul
      vérifiant cette propriété.

    \item Pour tout entier strictement positif $n$, conjecturer
      l’expression de $u_n$ en fonction de $q_n$ et $u_{R_n}$, où
      $q_n=\quotient{n}{16}$ et $R_n=\reste{n}{16}$.

    \item Déterminer la valeur du \num{9 231}\ieme nombre pinto.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  \begin{Corrige}
    \begin{enumerate}
    \item On obtient la suite suivante :
      1, 2, 3, 4, 5, 6, pinto, 8, 9, 10,
      11, 12, 13, pinto, 15, 16, pinto, 18, 19, 20,
      pinto, 22, 23, 24, 25, 26, pinto, pinto, 29, 30,
      31, 32, 33, 34, pinto, 36, pinto, 38, 39, 40, 41, pinto.
    \item On va calculer la probabilité de ne pas se tromper, jusqu'à
      ce que l'on arrive à une probabilité inférieure à $0,25$.

      Trois cas d'interprétation de l'énoncé sont possibles. 
      \begin{itemize}
      \item $7$ se termine par un $7$ donc la probabilité de se
        tromper est de $0,9$.
        
        \setlength{\tabcolsep}{5pt}
        \begin{tabular}{|l|*{7}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          Nombre & 7 & 14 & 17 & 21 & 27 & 28 & 35 \\
          \hline
          P  &0,9&0,7&0,9&0,7&0,9&0,7&0,7 \\
          \hline
          P cumulée  & 0,9 & 0,63 &0,567&0,3969&0,35721&0,250047&0,17\\
          \hline
        \end{tabular}

        Dans ce cas la probabilité de perdre est supérieure à $0,75$ à
        partie de $35$.
      \item $7$ est un multiple de $7$ donc la probabilité de se
        tromper est de $0,7$.
        
        \setlength{\tabcolsep}{5pt}
        \begin{tabular}{|l|*{6}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          Nombre & 7 & 14 & 17 & 21 & 27 & 28  \\
          \hline
          P  &0,7&0,7&0,9&0,7&0,9&0,7 \\
          \hline
          P cumulée  & 0,7 & 0,49 &0,441&0,3087&0,27783&0,19\\
          \hline
        \end{tabular}

        Dans ce cas la probabilité de perdre est supérieure à $0,75$ à
        partie de $28$.
      \item $7$ est un multiple de $7$ et se termine par $7$ donc la probabilité de se
        tromper est de $0,4$.
        
        \setlength{\tabcolsep}{5pt}
        \begin{tabular}{|l|*{5}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          Nombre & 7 & 14 & 17 & 21 & 27  \\
          \hline
          P  &0,6&0,7&0,9&0,7&0,9 \\
          \hline
          P cumulée  & 0,6 & 0,42 &0,378&0,2646&0,23\\
          \hline
        \end{tabular}
        
        Dans ce cas la probabilité de perdre est supérieure à $0,75$ à
        partie de $27$.
      \end{itemize}
      
    \item
      \begin{itemize}
      \item Hugo jouera sur les nombres : 1, 4, \grascoll{7}, 10, 13,
        16, 19, 22, 25, \grascoll{28}, 31, 34, \grascoll{37}, 40, 43,
        46, \grascoll{49}.

        Soit une probabilité de ne pas se tromper de $p \times 0,7
        \times 0,7 \times 0,7 $. Comme $p$ peut valoir $0,9$, $0,7$ ou
        $0,6$, on a les probabilités de ne pas se tromper : $0,3087$,
        $0,2401$ et $0,2058$.
      \item Anne jouera les nombres : 2, 5, 8, 11, \grascoll{14},
        \grascoll{17}, 20, 23, 26, 29, 32, \grascoll{35}, 38, 41, 44,
        \grascoll{47}, 30.

        Soit une probabilité de ne pas se tromper de $0,7 \times 0,9
        \times 0,7 \times 0,7 = 0,3969$.
      \item Arthur jouera les nombres 3, 6, 9, 12, 15, 18,
        \grascoll{21}, 24, \grascoll{27}, 30, 33, 36, 39,
        \grascoll{42}, 45, 48.

        Soit une probabilité de ne pas se tromper de $0,7 \times 0,9
        \times 0,7  = 0,567$.
      \end{itemize}
      Dans tous les cas, c'est Arthur qui est le favorisé.
      
    \item On obtient l'algorithme \ref{algo_Cre19_01a}
      \begin{algorithm}[!h]
      \SetKwFunction{TestPinto}{TestPinto{}}
      \SetKwFunction{rest}{reste{}} \TestPinto{$n$}
          
      Résultat $\leftarrow $ Faux
          
      \If {\rest{$n\,;\,10$}$ = 7 $} { Résultat
        $\leftarrow $ Vrai }

      \If {\rest{$n\,;\,7$} $= 0 $} { Résultat
        $\leftarrow $ Vrai }
      \caption{Algorithme de test d'un nombre pinto}\label{algo_Cre19_01a}
    \end{algorithm}

  \item $u_n -r_7$ est un multiple de $7$ et $u_n -s_n$ est lui un
    multiple de $10$. On en déduit que $u_n + 7 -r_n$ est le premier
    multiple de $7$ après $u_n$ et $u_n + 7 - s_n$ est le premier
    nombre se terminant par $7$. Le choix étant le plus petit des deux
    nombres $r_n$ et $s_n$.

    On obtient alors l'algorithme \ref{algo_Cre19_01b}.
    \begin{algorithm}[!h]
      \SetKwFunction{CalcPinto}{CalcPinto{}}
      \SetKwFunction{rest}{reste{}}
      \SetKwFunction{quot}{quotient{}} 

      \CalcPinto{$n$}

      $u\leftarrow 0$,\\
      $a\leftarrow 0$,\\
      $b\leftarrow 0$

      \For{$i$ de $1$ à $n$}
      {
        \If{$b<a<7$}
        {
          $u \leftarrow u+7-a$
        }
        \Else
        {
          $u \leftarrow u+7-b$
        }

        $a\leftarrow \rest{u;10}$

        $b\leftarrow \rest{u;7}$
      }
      \caption{Algorithme de construction des nombres pinto}\label{algo_Cre19_01b}
    \end{algorithm}
    
  \item Les $18$ premiers nombres de la  suite $u_n$ sont :
    \[
      07,14,17,21,27,28,35,37,42,47,49,56,57,63,67,70,77,84.
    \]
    La suite $v_n$ est donc :
    \[
      7, 7, 3, 4, 6, 1, 7, 2, 5, 5, 2, 7, 1, 6, 4, 3, 7, 7
    \]
    qui est bien un palindrome.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Supposons que $l$ soit un pinto. Alors soit $l$ est un
      multiple de $7$ et $70k+l$ est aussi un multiple de $7$, soit
      $l$ se termine par un $7$ et $70k+l$ se termine aussi par un
      $7$.

      Réciproquement, supposons que $70k+l$ soit un nombre
      pinto. Alors soit $70k+l$ est un multiple de $7$ est donc $l$
      doit être un multiple de $7$. Soit $70k+l$ se termine par $7$
      et $l$ se termine forcément par $7$.

      Donc $70k+l$ est un pinto si et seulement si $l$ est un pinto.

      Pour que $k+l$, avec $k$ un entier et $l$ un pinto soit un
      pinto, il faut que $k+l$ soit un multiple de $7$ ou se termine
      par un $7$ et alors $k$ et un multiple de $10$. Donc, le plus
      petit nombre, non nul, ayant cette propriété est $70$.
      
    \item On considère le tableau suivant :
      
      \begin{center}
        \begin{tabular}{|*{5}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          n & U_n& q_n& R_n& u_{R_n} \\
          \hline
          1&7&0&1& u_1 \\
          \hline
          2&14&0&2& u_2 \\
          \hline
          3&17&0&3& u_3 \\
          \hline
          4&21&0&4& u_4 \\
          \hline
          5&27&0&5& u_5 \\
          \hline
          6&28&0&6& u_6 \\
          \hline
          7&35&0&7& u_7 \\
          \hline
          8&37&0&8& u_8 \\
          \hline
          9&42&0&9& u_9 \\
          \hline
          10&47&0&10& u_{10} \\
          \hline
          11&49&0&11& u_{11} \\
          \hline
          12&56&0&12& u_{12} \\
          \hline
          13&57&0&13& u_{13} \\
          \hline
          14&63&0&14& u_{14} \\
          \hline
          15&67&0&15& u_{15} \\
          \hline
          16&70&1&0& u_{0} \\
          \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    En posant $u_0= 0$, on conjecture que $u_n = 70q_n + u_{R_n}$. 
  \item $\num{9231} =  16 \times 576 + 15$, on en déduit d'après la
    question précédente que $u_{\num{9231}} = 576 \times 70 + u_{15} =
   576 \times 70 + 67 = \num{40387}$.
  \end{enumerate}

  \end{enumerate}
  \end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[Les Caméléons RGB]{}
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=1,rotate=-80]
      % \node[left,above] at (-0.5,-1)
      % {\includegraphics[width=4cm]{o_05}} ;
      % \draw (-2,0) grid[step=0.5] (1,4.5) ;
      % points de passages
      \coordinate (b) at (0.6,3.7) ; % extrémité de la bouche
      \coordinate (t1) at (-0.15,4.25) ; % sommet du crane
      \coordinate (t2) at (-1.1,3.95) ; % sommet du collerette
      \coordinate (g) at (0,3.1) ; % gorge
      \coordinate (p1) at (-0.55,2.45) ; % patte avant 1
      \coordinate (p2) at (-0.62,2.225) ; % patte avant 2
      \coordinate (p3) at (-0.1,2.45) ; % patte avant 3
      \coordinate (p4) at (-0.2,2.225) ; % patte avant 4
      \coordinate (d1) at (0.1,2.65) ; % doigt 1
      \coordinate (d2) at (0.15,2.05) ; % doigt 2
      \coordinate (m1) at (0.025,2.3) ; % main 1
      \coordinate (P1) at (-0.67,1.65) ; % patte arriere 1
      \coordinate (P2) at (-0.37,1.5) ; % patte arriere 2
      \coordinate (P3) at (-0.75,1.35) ; % patte arriere 3
      \coordinate (d3) at (-0.05,1.45) ; % doigt 3
      \coordinate (d4) at (-0.37,1.1) ; % doigt 4
      \coordinate (m2) at (-0.275,1.3) ; % main 2
      \coordinate (q1) at (-0.95,1.12) ; % queue 1
      \coordinate (q2) at (0,0.25) ; % queue 2
      \coordinate (q3) at (0.375,0.5) ; % queue 3
      \coordinate (q4) at (0.25,0.65) ; % queue 4
      \coordinate (q5) at (0.1,0.45) ; % queue 5
      \coordinate (q6) at (-0.05,0.65) ; % queue 6
      \coordinate (q7) at (0.3,0.875) ; % queue 7
      \coordinate (q8) at (0.6,0.5) ; % queue 8
      \coordinate (q9) at (-0,0.075) ; % queue 9
      \coordinate (d) at (-2.05,2) ; % dos
      \coordinate (c1) at (-1.2,3.75) ; % cou

      % remplissage
      \fill[upper left=colLogoFort, upper right=colLogoFort,lower left
      = colLogoTeinte, lower right=colLogoTeinte,shading angle=45]
      (t1) .. controls ++(0.4,0) and ++(0,0.4) .. (b) .. controls
      ++(-0.1,-0.2) and ++ (0.3,0) .. (g) .. controls ++(-0.3,0) and
      ++ (0,0.2) .. (p1) .. controls ++(0.2,0) and ++ (-0.2,0) .. (p3)
      .. controls ++(0.1,0.1) and ++ (-0.1,0) .. (d1) .. controls
      ++(0.1,0) and ++ (0,0.2) .. (m1) .. controls ++(0,-0.2) and ++
      (-0.1,0.1) .. (d2) .. controls ++(-0.2,0) and ++ (0.2,-0.2)
      .. (p4) -- (p2) -- (P1) -- (P2) .. controls ++(0.2,0) and ++
      (-0.1,0) .. (d3) .. controls ++(0,-0.1) and ++ (0.1,0.1) .. (m2)
      .. controls ++(-0.1,-0.1) and ++ (0,0.1) .. (d4) .. controls
      ++(-0.1,0) and ++ (0.2,0) .. (P3) .. controls ++(-0.1,0) and ++
      (0,0.15) .. (q1) .. controls ++(0,-0.2) and ++ (-0.7,0) .. (q2)
      .. controls ++(0.1,0) and ++ (0,-0.2) .. (q3) .. controls
      ++(0,0.2) and ++ (-0.2,0) .. (q4) .. controls ++(-0.1,0) and ++
      (0,0.1) .. (q5) .. controls ++(-0.1,0) and ++ (0,-0.2) .. (q6)
      .. controls ++(0,0.1) and ++ (-0.3,0) .. (q7) .. controls
      ++(0.2,0) and ++ (0,0.2) .. (q8) .. controls ++(0,-0.2) and ++
      (0.5,0) .. (q9) .. controls ++(-0.9,0) and ++ (0,-1.5) .. (d)
      .. controls ++(0,0.9) and ++ (-0.7,-0.7) .. (c1) .. controls
      ++(0.2,0.2) and ++ (0,-0.2) .. (t2) --++(0.05,0.05) .. controls
      ++(0.5,-0.02) and ++ (-0.4,0) .. cycle ;

      % les traits blancs
      \begin{scope}[white,ultra thick,line cap=round]
        % bouche
        \draw (b) --++(-155:0.9) --++(-0.05,0.01) ;
        % cou
        \draw (g) .. controls ++(-0.1,0.1) and ++ (0,-0.2)
        .. ++(-0.475,0.115) ;
        % pattes
        \draw (p1) +(0,1pt) .. controls ++(-0.1,0) and ++ (-0.2,-0.2)
        .. ++(0,0.55) .. controls ++(-0.05,0.05) and ++ (0.05,-0.05)
        .. ++(-0.1,0.1) ; \draw (p2) +(0,-1pt) .. controls ++(-0.3,0)
        and ++ (-0.2,-0.2) .. ++(-0.2,0.75) ; \draw (P1) .. controls
        ++(-0.6,0) and ++ (-0.1,0.5) .. ++(-0.55,-0.7) ;
    
        \draw (c1) +(2.75pt,1.75pt) --++(-47:0.7) ;
      \end{scope}

      % \fill (b) circle (1.5pt) ;
      % \fill (t1) circle (1.5pt) ;
      % \fill (t2) circle (1.5pt) ;
      % \fill (g) circle (1.5pt) ;
      % \fill (p1) circle (1.5pt) ;
      % \fill (p2) circle (1.5pt) ;
      % \fill (p3) circle (1.5pt) ;
      % \fill (p4) circle (1.5pt) ;
      % \fill (d1) circle (1.5pt) ;
      % \fill (m1) circle (1.5pt) ;
      % \fill (d2) circle (1.5pt) ;
      % \fill (P1) circle (1.5pt) ;
      % \fill (P2) circle (1.5pt) ;
      % \fill (P3) circle (1.5pt) ;
      % \fill (d3) circle (1.5pt) ;
      % \fill (m2) circle (1.5pt) ;
      % \fill (d4) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q1) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q2) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q3) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q4) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q5) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q6) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q7) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q8) circle (1.5pt) ;
      % \fill (q9) circle (1.5pt) ;
      % \fill (d) circle (1.5pt) ;
      % \fill (c1) circle (1.5pt) ;
      % oeil
      \draw[draw=white,ultra thick] (-0.15,3.9) circle (0.3) ;
      \fill[white] (-0.18,4) circle (0.0625) ;
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  
  Sur une île déserte habitent des caméléons Rouges, Verts et Bleus.

  On considère que le nombre total de caméléons ne change pas.

  Seule leur couleur peut changer au gré de leurs rencontres :

  \begin{itemize}
  \item Si deux caméléons de même couleur se rencontrent, rien ne
    se passe ;
  \item Si deux caméléons de couleur différente se rencontrent, alors
    ils prennent tous les deux la troisième couleur.
  \end{itemize}

  On appellera \emph{configuration} le triplet $(r;v;b)$ où $r$,
  $v$, et $b$ sont trois nombres entiers naturels correspondant
  respectivement au nombre de caméléons de couleur rouge, verte ou
  bleue.

  Par exemple, si un caméléon rouge rencontre un caméléon vert,
  alors ils deviennent tous les deux bleus et la configuration $(23,
  15, 17)$ devient $(22, 14, 19)$.
    
  
  \Partie{Étude des configurations}

  Dans cette partie, on considère qu’il y a 55
  caméléons. On a donc $r+v+b=55$.

  \begin{enumerate}
  \item Montrer que les configurations $(55\,;\,0\,;\,0)$, $(0\,;\,55\,;\,0)$ ou
    $(0\,;\,0\,;\,55)$ sont stables, c’est-à-dire qu’une fois atteinte, la
    situation ne changera plus.

  \item Montrer que la configuration initiale $(23\,;\,15\,;\,17)$ peut
    conduire à la configuration $(21\,;\,13\,;\,21)$ puis, après un certain
    nombre de rencontres, à obtenir les $55$ caméléons verts.

  \item Plus généralement, montrer que tous les caméléons pourront
    être de même couleur s’il est possible d’égaliser les effectifs
    des deux autres couleurs.

  \item Montrer que l’égalisation des effectifs de deux couleurs est
    possible si et seulement si la différence de ces deux effectifs
    dans la configuration initiale est un multiple de trois.

  \item Est-il possible qu’à partir de la configuration initiale
    $(23\,;\,15\,;\,17)$ tous les caméléons deviennent rouges ?  Bleus ?

  \item Proposer un algorithme donnant la liste des triplets entiers
    $(r\,;\,v\,;\,b)$ tels que $r+v+b=55$ et permettant d’aboutir à une
    configuration stable.
  \end{enumerate}

  \Partie{Une représentation géométrique}

  Dans un îlot non loin de notre île, se trouvent $14$ caméléons
  ayant les mêmes propriétés.

  À chaque configuration $(r\,;\,v\,;\,b)$, on associe le point $M$ de
  coordonnées $M \coord(r,v)$, $b$ étant déterminé par la
  relation $r+v+b=14$.
  
  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
      \draw[gray] (-1,-1) grid (15,15) ;
      \draw[->,>=stealth] (0,-1) -- (0,15) ;
      \draw[->,>=stealth] (-1,0) -- (15,0) ;
      \foreach \y in {0,1,...,13}
      {
        \def\nb{\inteval{14-\y}}
        \foreach \x in {0,1,...,\nb}%{\y, \y-1, ..., 0}
        {
          \fill[fill=colLogo] (\x,\y) circle[radius = 3pt] ;
        }
      }
      \fill[fill=colLogo] (0,14) circle[radius = 3pt] ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[above] {$\vec{v}_1$} (0,1) ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[above, near end] {$\vec{u}_1$} (3,1) ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[right, near end] {$\vec{w}_1$} (0,4) ;
      \node[above right] at (0,0) {$B$} ;
      \node[above right] at (0,14) {$V$} ;
      \node[above right] at (14,0) {$R$} ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{}\label{fig_Cre19_02a}
  \end{figure}
  Ainsi le point $B(0;0)$ correspond à la configuration $(0;0;14)$.
  
  On a représenté l’ensemble des points
  $M \coord(r,v)$ tels que $r \in N$, $v \in N$ et
  $r+v \leq 14$.
  
  Les trois vecteurs
  $\vec{u}_1$, $\vec{v}_1$ et $\vec{w}_1$ sont les vecteurs des translations
  correspondant à une rencontre entre deux caméléons. Ils sont
  représentés sur la figure donnée \ref{fig_Cre19_02a}.

  \begin{enumerate}
  \item Expliciter le type de rencontre représenté par chaque
    vecteur.

  \item Colorer en rouge le point R puis repasser en rouge toutes
    les configurations pouvant mener à la configuration $(14 ; 0 ;
    0)$.

  \item Faire de même avec le point $V$ en vert et le point $B$ en bleu.

  \item À partir de la figure obtenue, conjecturer les réponses aux
    questions suivantes :
    \begin{enumerate}
    \item  Toutes les configurations possibles pour $14$ caméléons
      peuvent-elles mener à une configuration stable ?

    \item Existe-t-il des configurations qui peuvent mener à deux
      configurations stables différentes ?
    \end{enumerate}

  \end{enumerate}



  \Partie{Étude du cas général}
  \begin{enumerate}
  \item  Peut-on toujours, quel que soit le nombre total de
    caméléons et quelle que soit la configuration initiale, faire
    disparaitre une des trois couleurs ?

  \item Peut-on toujours, quel que soit le nombre total de caméléons
    et quelle que soit la configuration initiale, aboutir à une
    situation où tous les caméléons sont de la même couleur ? Si non,
    proposer un contre-exemple.
  \end{enumerate}
  \begin{Corrige}
    \Partie{Étude de configurations}
    \begin{enumerate}
    \item Comme pour changer de couleurs les caméléons doivent
      rencontrer un caméléon d'une autre couleur, les trois
      configurations sont stables, puisque constituées de population
      de même couleur.
    \item On part de $\coord(23,15,17)$, et un rouge rencontre un
      vert, ce qui donne $\coord(22,14,19)$, puis après la rencontre
      d'un rouge et d'un vert, $\coord(21,13,21)$.

      Puis après $21$ rencontre d'un rouge et d'un bleu, on obtient
      $\coord(0,55,0)$. 
    \item À partir du moment ou deux catégories sont de même couleur,
      la rencontre systèmatique de caméléons de ces deux couleurs
      formera une population unique de la 3\ieme{} catégorie.
    \item Soit $\coord(r,v,b)$, avec $r+v+b = 55$. Quitte à changer les noms on raisonne
      avec $r$ et $v$.

      Supposons que $r-v = 3k$. Partons d'une configuration $\coord(v +
      3k,v,55 - 2v - 3k)$. On effectue $v$ rencontre entre rouges et
      bleus, ce qui donne : $\coord(3k,0,55-3k)$. Si $k$ est nul, on
      s'arrête. Sinon, on effectue une rencontre rouge et bleu, ce
      qui donne : $\coord(3k -1,2,55-3k-1)$. Puis deux rencontres
      rouge et vert, soit : $\coord(3k-3,0,55-3k+3) =
      \coord(3k',0,55-3k')$, avec $k' = k-1$.

      On a ainsi une suite d'entier positif, décroissant. On arrive
      alors nécessairement à une valeur de $k$ nulle. On aura alors
      une configuration $\coord(0,0,55)$.

      Réciproquement, on considère une configuration $\coord(r,v,b)$
      dans laquelle une égalisation des couleurs est possible après
      $k$ étapes. Soit $\coord(r,r,55-2r)$. Il faut dès lors partir de
      $\coord(r+k,r-2k,55-2r+k)$ ($k$ échanges de rouges et de
      bleus). Alors la différence des populations de rouges et de
      verts est un multiple de $3$. 
    \item $23-15 = 8$ qui n'est pas multiple de $3$ ; $17-15 = 2 $ qui
      n'est pas multiple de $3$. On ne peut donc pas obtenir une
      configuration n'ayant que couleur la couleur rouge ou la couleur
      bleue de caméléons.
    \item Une proposition en python :
      \begin{tcblisting}{listing only,listing options={language=python,style=afdmpython}}
 liste = []

for r in range(0,56) :
    for v in range(0,56-r):
        b = 55 -r - v
        if abs(r -v) % 3  == 0 or abs(r-b) % 3 == 0 or abs(v-b) % 3 == 0 :
            liste.append((r,v,b))


print(len(liste))
\end{tcblisting}

Ce programme donne $\num{1596}$ triplets différents.
\end{enumerate}

\Partie{Une représentation géométrique}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u_1} = \coord(2,-1)$, il s'agit donc de la rencontre d'un
  vert et d'un bleu.
  
  $\vec{v_1} = \coord(-1,-1)$, il s'agit donc de la rencontre d'un
  rouge et d'un vert.

  $\vec{w_1} = \coord(-1,2)$, il s'agit donc de la rencontre d'un
  rouge et d'un bleu.
\item On obtient la figure \ref{fig_Cre19_02aC}.
  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
      \draw[gray] (-1,-1) grid (15,15) ;
      \draw[->,>=stealth] (0,-1) -- (0,15) ;
      \draw[->,>=stealth] (-1,0) -- (15,0) ;
      \foreach \y in {0,1,...,13}
      {
        \def\nb{\inteval{14-\y}}
        \foreach \x in {0,1,...,\nb}%{\y, \y-1, ..., 0}
        {
          \fill[fill=colLogo] (\x,\y) circle[radius = 4pt] ;
        }
      }
      \fill[fill=colLogo] (0,14) circle[radius = 3pt] ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[above] {$\vec{v}_1$} (0,1) ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[above, near end] {$\vec{u}_1$} (3,1) ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[right, near end] {$\vec{w}_1$} (0,4) ;
      \node[above right] at (0,0) {$B$} ;
      \node[above right] at (0,14) {$V$} ;
      \node[above right] at (14,0) {$R$} ;
      % Point rouges
      \fill[fill=red] (14,0) circle[radius = 4pt] ;
      \foreach \x in {0,1}
      {
        \fill[fill=red] (\x+11,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,3}
      {
        \fill[fill=red] (\x+8,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,4}
      {
        \fill[fill=red] (\x+5,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,6}
      {
        \fill[fill=red] (\x+2,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,6}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+1) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,5}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+4) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,3}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+7) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,2}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+10) circle[radius = 4pt] ;
      }
        \fill[fill=red] (0,13) circle[radius = 4pt] ;
      % Points bleus
      \foreach \x in {0,1,...,7}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,5}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+3) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,4}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+6) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,2}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+9) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+12) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,5}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+3,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,4}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+6,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,2}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+9,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+12,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }

    \end{tikzpicture}
    \caption{}\label{fig_Cre19_02aC}
  \end{figure}
\item On obtient la figure \ref{fig_Cre19_02aC}.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Tous les points ont été colorié dans l'une des trois couleurs,
    donc tous les points mènent à une coonfiguration stable.
  \item Aucun point n'a été colorié deux fois, donc aucun point ne
    peut mener vers deux configuration.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Étude du cas général}

\begin{enumerate}
\item Soit une configuration $\coord(r,v,b)$, avec $r$ le plus petit
  des trois nombres (si non, on permute). Alors en faisant $r$
  rencontres rouges-verts, on obtient $\coord(0,v-r,b+2r)$.
\item Considérons une population à $6$ caméléons. On a colorié les
  points qui peuvent être mener à une configuration où il y a une
  seule couleur. Or des points restent en gris et les points vert et
  rouge mène au bleu.

  Par exemple $\coord(1,2,3)$ ne ménera pas à une configuration ayant
  une seule couleur.
  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
      \draw[gray] (-1,-1) grid (7,7) ;
      \draw[->,>=stealth] (0,-1) -- (0,7) ;
      \draw[->,>=stealth] (-1,0) -- (7,0) ;
      \foreach \y in {0,1,...,5}
      {
        \def\nb{\inteval{6-\y}}
        \foreach \x in {0,1,...,\nb}%{\y, \y-1, ..., 0}
        {
          \fill[fill=gray] (\x,\y) circle[radius = 4pt] ;
        }
      }
      \fill[fill=colLogo] (0,6) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (0,0) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=red] (6,0) circle[radius = 4pt] ;
      \node[above right] at (0,0) {$B$} ;
      \node[above right] at (0,6) {$V$} ;
      \node[above right] at (6,0) {$R$} ;
      % Bleu
      \fill[fill=blue] (1,1) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (2,2) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (3,3) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (0,3) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (1,4) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (0,6) circle[radius = 2pt] ;
      \fill[fill=blue] (3,0) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (4,1) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (6,0) circle[radius = 2pt] ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{}\label{fig_Cre19_02bC}
  \end{figure}

\end{enumerate}

  \end{Corrige}
\end{Enonce}

%%% Local Variables:
%%% TeX-master: t
%%% End:
