\begin{CORRIGE}{1}
    \begin{enumerate}
    \item On obtient la suite suivante :
      1, 2, 3, 4, 5, 6, pinto, 8, 9, 10,
      11, 12, 13, pinto, 15, 16, pinto, 18, 19, 20,
      pinto, 22, 23, 24, 25, 26, pinto, pinto, 29, 30,
      31, 32, 33, 34, pinto, 36, pinto, 38, 39, 40, 41, pinto.
    \item On va calculer la probabilité de ne pas se tromper, jusqu'à
      ce que l'on arrive à une probabilité inférieure à $0,25$.

      Trois cas d'interprétation de l'énoncé sont possibles.
      \begin{itemize}
      \item $7$ se termine par un $7$ donc la probabilité de se
        tromper est de $0,9$.

        \setlength{\tabcolsep}{5pt}
        \begin{tabular}{|l|*{7}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          Nombre & 7 & 14 & 17 & 21 & 27 & 28 & 35 \\
          \hline
          P  &0,9&0,7&0,9&0,7&0,9&0,7&0,7 \\
          \hline
          P cumulée  & 0,9 & 0,63 &0,567&0,3969&0,35721&0,250047&0,17\\
          \hline
        \end{tabular}

        Dans ce cas la probabilité de perdre est supérieure à $0,75$ à
        partie de $35$.
      \item $7$ est un multiple de $7$ donc la probabilité de se
        tromper est de $0,7$.

        \setlength{\tabcolsep}{5pt}
        \begin{tabular}{|l|*{6}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          Nombre & 7 & 14 & 17 & 21 & 27 & 28  \\
          \hline
          P  &0,7&0,7&0,9&0,7&0,9&0,7 \\
          \hline
          P cumulée  & 0,7 & 0,49 &0,441&0,3087&0,27783&0,19\\
          \hline
        \end{tabular}

        Dans ce cas la probabilité de perdre est supérieure à $0,75$ à
        partie de $28$.
      \item $7$ est un multiple de $7$ et se termine par $7$ donc la probabilité de se
        tromper est de $0,4$.

        \setlength{\tabcolsep}{5pt}
        \begin{tabular}{|l|*{5}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          Nombre & 7 & 14 & 17 & 21 & 27  \\
          \hline
          P  &0,6&0,7&0,9&0,7&0,9 \\
          \hline
          P cumulée  & 0,6 & 0,42 &0,378&0,2646&0,23\\
          \hline
        \end{tabular}

        Dans ce cas la probabilité de perdre est supérieure à $0,75$ à
        partie de $27$.
      \end{itemize}

    \item
      \begin{itemize}
      \item Hugo jouera sur les nombres : 1, 4, \grascoll{7}, 10, 13,
        16, 19, 22, 25, \grascoll{28}, 31, 34, \grascoll{37}, 40, 43,
        46, \grascoll{49}.

        Soit une probabilité de ne pas se tromper de $p \times 0,7
        \times 0,7 \times 0,7 $. Comme $p$ peut valoir $0,9$, $0,7$ ou
        $0,6$, on a les probabilités de ne pas se tromper : $0,3087$,
        $0,2401$ et $0,2058$.
      \item Anne jouera les nombres : 2, 5, 8, 11, \grascoll{14},
        \grascoll{17}, 20, 23, 26, 29, 32, \grascoll{35}, 38, 41, 44,
        \grascoll{47}, 30.

        Soit une probabilité de ne pas se tromper de $0,7 \times 0,9
        \times 0,7 \times 0,7 = 0,3969$.
      \item Arthur jouera les nombres 3, 6, 9, 12, 15, 18,
        \grascoll{21}, 24, \grascoll{27}, 30, 33, 36, 39,
        \grascoll{42}, 45, 48.

        Soit une probabilité de ne pas se tromper de $0,7 \times 0,9
        \times 0,7  = 0,567$.
      \end{itemize}
      Dans tous les cas, c'est Arthur qui est le favorisé.

    \item On obtient l'algorithme \ref{algo_Cre19_01a}
      \begin{algorithm}[!h]
      \SetKwFunction{TestPinto}{TestPinto{}}
      \SetKwFunction{rest}{reste{}} \TestPinto{$n$}

      Résultat $\leftarrow $ Faux

      \If {\rest{$n\,;\,10$}$ = 7 $} { Résultat
        $\leftarrow $ Vrai }

      \If {\rest{$n\,;\,7$} $= 0 $} { Résultat
        $\leftarrow $ Vrai }
      \caption{Algorithme de test d'un nombre pinto}\label{algo_Cre19_01a}
    \end{algorithm}

  \item $u_n -r_7$ est un multiple de $7$ et $u_n -s_n$ est lui un
    multiple de $10$. On en déduit que $u_n + 7 -r_n$ est le premier
    multiple de $7$ après $u_n$ et $u_n + 7 - s_n$ est le premier
    nombre se terminant par $7$. Le choix étant le plus petit des deux
    nombres $r_n$ et $s_n$.

    On obtient alors l'algorithme \ref{algo_Cre19_01b}.
    \begin{algorithm}[!h]
      \SetKwFunction{CalcPinto}{CalcPinto{}}
      \SetKwFunction{rest}{reste{}}
      \SetKwFunction{quot}{quotient{}}

      \CalcPinto{$n$}

      $u\leftarrow 0$,\\
      $a\leftarrow 0$,\\
      $b\leftarrow 0$

      \For{$i$ de $1$ à $n$}
      {
        \If{$b<a<7$}
        {
          $u \leftarrow u+7-a$
        }
        \Else
        {
          $u \leftarrow u+7-b$
        }

        $a\leftarrow \rest{u;10}$

        $b\leftarrow \rest{u;7}$
      }
      \caption{Algorithme de construction des nombres pinto}\label{algo_Cre19_01b}
    \end{algorithm}

  \item Les $18$ premiers nombres de la  suite $u_n$ sont :
    \[
      07,14,17,21,27,28,35,37,42,47,49,56,57,63,67,70,77,84.
    \]
    La suite $v_n$ est donc :
    \[
      7, 7, 3, 4, 6, 1, 7, 2, 5, 5, 2, 7, 1, 6, 4, 3, 7, 7
    \]
    qui est bien un palindrome.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Supposons que $l$ soit un pinto. Alors soit $l$ est un
      multiple de $7$ et $70k+l$ est aussi un multiple de $7$, soit
      $l$ se termine par un $7$ et $70k+l$ se termine aussi par un
      $7$.

      Réciproquement, supposons que $70k+l$ soit un nombre
      pinto. Alors soit $70k+l$ est un multiple de $7$ est donc $l$
      doit être un multiple de $7$. Soit $70k+l$ se termine par $7$
      et $l$ se termine forcément par $7$.

      Donc $70k+l$ est un pinto si et seulement si $l$ est un pinto.

      Pour que $k+l$, avec $k$ un entier et $l$ un pinto soit un
      pinto, il faut que $k+l$ soit un multiple de $7$ ou se termine
      par un $7$ et alors $k$ et un multiple de $10$. Donc, le plus
      petit nombre, non nul, ayant cette propriété est $70$.

    \item On considère le tableau suivant :

      \begin{center}
        \begin{tabular}{|*{5}{>{$}c<{$}|}}
          \hline
          n & U_n& q_n& R_n& u_{R_n} \\
          \hline
          1&7&0&1& u_1 \\
          \hline
          2&14&0&2& u_2 \\
          \hline
          3&17&0&3& u_3 \\
          \hline
          4&21&0&4& u_4 \\
          \hline
          5&27&0&5& u_5 \\
          \hline
          6&28&0&6& u_6 \\
          \hline
          7&35&0&7& u_7 \\
          \hline
          8&37&0&8& u_8 \\
          \hline
          9&42&0&9& u_9 \\
          \hline
          10&47&0&10& u_{10} \\
          \hline
          11&49&0&11& u_{11} \\
          \hline
          12&56&0&12& u_{12} \\
          \hline
          13&57&0&13& u_{13} \\
          \hline
          14&63&0&14& u_{14} \\
          \hline
          15&67&0&15& u_{15} \\
          \hline
          16&70&1&0& u_{0} \\
          \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    En posant $u_0= 0$, on conjecture que $u_n = 70q_n + u_{R_n}$.
  \item $\num{9231} =  16 \times 576 + 15$, on en déduit d'après la
    question précédente que $u_{\num{9231}} = 576 \times 70 + u_{15} =
   576 \times 70 + 67 = \num{40387}$.
  \end{enumerate}

  \end{enumerate}
  
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
    \Partie{Étude de configurations}
    \begin{enumerate}
    \item Comme pour changer de couleurs les caméléons doivent
      rencontrer un caméléon d'une autre couleur, les trois
      configurations sont stables, puisque constituées de population
      de même couleur.
    \item On part de $\coord(23,15,17)$, et un rouge rencontre un
      vert, ce qui donne $\coord(22,14,19)$, puis après la rencontre
      d'un rouge et d'un vert, $\coord(21,13,21)$.

      Puis après $21$ rencontre d'un rouge et d'un bleu, on obtient
      $\coord(0,55,0)$.
    \item À partir du moment ou deux catégories sont de même couleur,
      la rencontre systèmatique de caméléons de ces deux couleurs
      formera une population unique de la 3\ieme{} catégorie.
    \item Soit $\coord(r,v,b)$, avec $r+v+b = 55$. Quitte à changer les noms on raisonne
      avec $r$ et $v$.

      Supposons que $r-v = 3k$. Partons d'une configuration $\coord(v +
      3k,v,55 - 2v - 3k)$. On effectue $v$ rencontre entre rouges et
      bleus, ce qui donne : $\coord(3k,0,55-3k)$. Si $k$ est nul, on
      s'arrête. Sinon, on effectue une rencontre rouge et bleu, ce
      qui donne : $\coord(3k -1,2,55-3k-1)$. Puis deux rencontres
      rouge et vert, soit : $\coord(3k-3,0,55-3k+3) =
      \coord(3k',0,55-3k')$, avec $k' = k-1$.

      On a ainsi une suite d'entier positif, décroissant. On arrive
      alors nécessairement à une valeur de $k$ nulle. On aura alors
      une configuration $\coord(0,0,55)$.

      Réciproquement, on considère une configuration $\coord(r,v,b)$
      dans laquelle une égalisation des couleurs est possible après
      $k$ étapes. Soit $\coord(r,r,55-2r)$. Il faut dès lors partir de
      $\coord(r+k,r-2k,55-2r+k)$ ($k$ échanges de rouges et de
      bleus). Alors la différence des populations de rouges et de
      verts est un multiple de $3$.
    \item $23-15 = 8$ qui n'est pas multiple de $3$ ; $17-15 = 2 $ qui
      n'est pas multiple de $3$. On ne peut donc pas obtenir une
      configuration n'ayant que couleur la couleur rouge ou la couleur
      bleue de caméléons.
    \item Une proposition en python :
      \begin{tcblisting}{listing only,listing options={language=python,style=afdmpython}}
 liste = []

for r in range(0,56) :
    for v in range(0,56-r):
        b = 55 -r - v
        if abs(r -v) % 3  == 0 or abs(r-b) % 3 == 0 or abs(v-b) % 3 == 0 :
            liste.append((r,v,b))


print(len(liste))
\end{tcblisting}

Ce programme donne $\num{1596}$ triplets différents.
\end{enumerate}

\Partie{Une représentation géométrique}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u_1} = \coord(2,-1)$, il s'agit donc de la rencontre d'un
  vert et d'un bleu.

  $\vec{v_1} = \coord(-1,-1)$, il s'agit donc de la rencontre d'un
  rouge et d'un vert.

  $\vec{w_1} = \coord(-1,2)$, il s'agit donc de la rencontre d'un
  rouge et d'un bleu.
\item On obtient la figure \ref{fig_Cre19_02aC}.
  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
      \draw[gray] (-1,-1) grid (15,15) ;
      \draw[->,>=stealth] (0,-1) -- (0,15) ;
      \draw[->,>=stealth] (-1,0) -- (15,0) ;
      \foreach \y in {0,1,...,13}
      {
        \def\nb{\inteval{14-\y}}
        \foreach \x in {0,1,...,\nb}%{\y, \y-1, ..., 0}
        {
          \fill[fill=colLogo] (\x,\y) circle[radius = 4pt] ;
        }
      }
      \fill[fill=colLogo] (0,14) circle[radius = 3pt] ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[above] {$\vec{v}_1$} (0,1) ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[above, near end] {$\vec{u}_1$} (3,1) ;
      \draw [ultra thick,colLogoFort,->,>=stealth] (1,2) to
      node[right, near end] {$\vec{w}_1$} (0,4) ;
      \node[above right] at (0,0) {$B$} ;
      \node[above right] at (0,14) {$V$} ;
      \node[above right] at (14,0) {$R$} ;
      % Point rouges
      \fill[fill=red] (14,0) circle[radius = 4pt] ;
      \foreach \x in {0,1}
      {
        \fill[fill=red] (\x+11,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,3}
      {
        \fill[fill=red] (\x+8,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,4}
      {
        \fill[fill=red] (\x+5,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,6}
      {
        \fill[fill=red] (\x+2,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,6}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+1) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,5}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+4) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,3}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+7) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,2}
      {
        \fill[fill=red] (\x,\x+10) circle[radius = 4pt] ;
      }
        \fill[fill=red] (0,13) circle[radius = 4pt] ;
      % Points bleus
      \foreach \x in {0,1,...,7}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,5}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+3) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,4}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+6) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,2}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+9) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1}
      {
        \fill[fill=blue] (\x,\x+12) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,5}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+3,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,4}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+6,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1,...,2}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+9,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }
      \foreach \x in {0,1}
      {
        \fill[fill=blue] (\x+12,\x) circle[radius = 4pt] ;
      }

    \end{tikzpicture}
    \caption{}\label{fig_Cre19_02aC}
  \end{figure}
\item On obtient la figure \ref{fig_Cre19_02aC}.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Tous les points ont été colorié dans l'une des trois couleurs,
    donc tous les points mènent à une coonfiguration stable.
  \item Aucun point n'a été colorié deux fois, donc aucun point ne
    peut mener vers deux configuration.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Étude du cas général}

\begin{enumerate}
\item Soit une configuration $\coord(r,v,b)$, avec $r$ le plus petit
  des trois nombres (si non, on permute). Alors en faisant $r$
  rencontres rouges-verts, on obtient $\coord(0,v-r,b+2r)$.
\item Considérons une population à $6$ caméléons. On a colorié les
  points qui peuvent être mener à une configuration où il y a une
  seule couleur. Or des points restent en gris et les points vert et
  rouge mène au bleu.

  Par exemple $\coord(1,2,3)$ ne ménera pas à une configuration ayant
  une seule couleur.
  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
      \draw[gray] (-1,-1) grid (7,7) ;
      \draw[->,>=stealth] (0,-1) -- (0,7) ;
      \draw[->,>=stealth] (-1,0) -- (7,0) ;
      \foreach \y in {0,1,...,5}
      {
        \def\nb{\inteval{6-\y}}
        \foreach \x in {0,1,...,\nb}%{\y, \y-1, ..., 0}
        {
          \fill[fill=gray] (\x,\y) circle[radius = 4pt] ;
        }
      }
      \fill[fill=colLogo] (0,6) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (0,0) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=red] (6,0) circle[radius = 4pt] ;
      \node[above right] at (0,0) {$B$} ;
      \node[above right] at (0,6) {$V$} ;
      \node[above right] at (6,0) {$R$} ;
      % Bleu
      \fill[fill=blue] (1,1) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (2,2) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (3,3) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (0,3) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (1,4) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (0,6) circle[radius = 2pt] ;
      \fill[fill=blue] (3,0) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (4,1) circle[radius = 4pt] ;
      \fill[fill=blue] (6,0) circle[radius = 2pt] ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{}\label{fig_Cre19_02bC}
  \end{figure}

\end{enumerate}

  
\end{CORRIGE}
