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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 33}
\lfoot{\small 06314}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 33 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. 

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Dans une entreprise $30$\,\% des personnes employées sont des cadres. Parmi ceux-là, $70$\,\% ont plus de 50 ans.

Calculer le pourcentage de cadres de plus de $50$~ans dans cette entreprise.&\\ \hline
\textbf{2.} &Dans une boutique, le prix d'une chemise est passé de $50$~\euro{} à $30$~\euro.

Calculer le pourcentage de réduction appliqué.&\\ \hline
\textbf{3.} &Développer l'expression suivante :
\vspace{-0.4cm}\[\dfrac12(x - 2)(- 2x + 4)\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{4.} &Factoriser l'expression suivante:
\vspace{-0.4cm}\[\dfrac94 x^2 - \dfrac{25}{36}\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{5.} &Résoudre l'équation suivante : 
\vspace{-0.4cm}\[2x^2 = 18.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{6.} &Compléter le tableau de signe de l'expression suivante:
\vspace{-0.4cm}\[A(x)= -5x +10.\]\vspace{-0.4cm}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(6,1)\psline(0,0.5)(6,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.4){$x$}\uput[u](1.5,0.4){$- \infty$}\uput[u](5.5,0.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,-0.1){$A(x)$}
\end{pspicture}
\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|X|}\hline
\textbf{7.} &Compléter le tableau de signe de l'expression suivante, pour $x$ réel:
\[B(x) = -3(x - 3)(x +2)\]&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2)
\psframe(6,2)\psline(0,1.5)(6,1.5)\psline(1,0)(1,2)
\uput[u](0.5,1.4){$x$}\uput[u](1.5,1.4){$- \infty$}\uput[u](5.5,1.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,-0.1){$B(x)$}
\end{pspicture}\\ \hline
\textbf{8.} &Déterminer l'expression $f'(x)$ de la dérivée de la fonction $f$ définie sur 
 l'ensemble des réels par:
\vspace{-0.4cm}\[f(x) = \dfrac52 x^2- 40x + 200\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{9.}&On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$, définie et dérivable sur l'ensemble des réels, ainsi que sa tangente $T$ au point d'abscisse $0$.

\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.275cm}
\begin{pspicture*}(-6,-8.1)(6,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-8)(6,16)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{6}{x dup mul 6 sub}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x dup mul 6 sub}
\uput[u](-5,-6){\blue $T$}
\end{pspicture*}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(6,2)
\psframe(6,2)\psline(0,1.5)(6,1.5)\psline(1,0)(1,2)
\uput[u](0.5,1.4){$x$}\uput[u](1.5,1.4){$- 4$}\uput[u](5.5,1.4){$4$}
\uput[u](0.5,0.4){$f(x)$}
\end{pspicture*}\\ \cline{3-3}
\textbf{10.} &&On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Quelle est la valeur de $f'(0)$ ?\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \np{30000} \times 0,85^x\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le sens de variation de $f$ ? Justifier la réponse.
\item Montrer que, pour tout réel $x$,\: $f(x + 1) = 0,85f(x)$.
\item Résoudre l'équation $0,85^x = \dfrac12$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Monsieur A modélise la cote de sa voiture de la manière suivante : il estime que, suite à l'achat du véhicule neuf, la valeur de celui-ci diminuera de $15$\,\% par an. 

Le prix de la voiture neuve était de \np{30000}~\euro.

On admet que la fonction $f$ de la \textbf{partie 1} modélise la valeur de la voiture en fonction du temps, exprimé en années depuis l'achat du véhicule.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Avec le modèle proposé, déterminer le temps nécessaire pour que la voiture perde la moitié de sa valeur. Donner le résultat sous la forme d'une valeur exacte, puis d'une valeur approchée exprimée en années et mois. 
		\item  Le temps nécessaire pour que le véhicule perde la moitié de sa valeur dépend-il du prix de départ de celui-ci?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Madame T a récemment ouvert un commerce. Elle décide de mettre de l'argent de côté pour les futurs aménagements de son local. Comme elle prévoit que la clientèle va être de plus en plus nombreuse, elle envisage le plan suivant :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Elle ouvre un compte pour son épargne et y verse immédiatement $200$~euros;
\item[$\bullet~$] Un mois après l'ouverture du compte, elle verse $250$~euros ; le mois suivant,
elle y dépose $300$~euros et ainsi de suite : chaque mois, elle verse sur le compte $50$~euros de plus que ce qu'elle a déposé le mois précédent.
\end{itemize}

On note $u_n$ le montant, exprimé en euros, du $n$-ième versement mensuel de madame T et on convient que $u_0$ correspond au montant initial, c'est-à-dire $200$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
\item Calculer $u_{12}$ et $u_{24}$ et donner leur interprétation dans le contexte de l'exercice.
\item Supposons que madame T s'en tienne au plan qu'elle a choisi.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle somme devrait-elle déposer sur le compte 5 ans après son ouverture ?
		\item Quel sera le montant d'argent disponible à ce moment-là ?
	\end{enumerate}	
\item En réalité, madame T ne pourra pas épargner de la sorte pendant si
longtemps: elle ne pourra pas mettre de côté plus de \np{1500} ~\euro{} par mois. 

Au bout de combien de temps arrivera-t-elle à un tel versement ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient quinze boules blanches et cinq boules noires.

On tire au hasard, successivement et avec remise, trois boules de l'urne.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules blanches parmi les trois boules tirées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
\item Construire un arbre pondéré illustrant cette situation.
\item Déterminer l'espérance de $X$. En donner une interprétation.
\item On veut maintenant simuler un grand nombre de fois cette expérience avec un
programme écrit en langage Python.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la fonction tirage() ci-dessous permet de simuler
trois tirages successifs avec remise d'une boule de l'urne et indiquer à
quoi correspond la valeur renvoyée par cette fonction.
		\item Compléter la fonction moyenne(n) définie plus bas pour que la
commande \og moyenne(\np{10000}) \fg{} renvoie la moyenne du nombre de boules blanches tirées en simulant \np{10000} ~fois cette expérience.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabular}{|l|}\hline
from random import *\\
\\
def tirage() :\\
\qquad p = 0.75\\ 
\qquad nb\_blanches = 0\\
\qquad for i in range(3)\\
\qquad \qquad a = random()\\
\qquad \qquad if a < p :\\
\qquad \qquad \quad nb\_blanches = nb\_blanches + 1\\
\qquad  return(nb\_blanches)\\
\\
def moyenne(n) :\\
\qquad total = 0\\
\qquad for i in range(n) :\\
\qquad \quad total = total + tirage()\\
\qquad return \ldots\\ \hline
\end{tabular}


\end{center}
\end{document}