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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 35}
\lfoot{\small 06316}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 35 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. 

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Le prix d'un forfait téléphonique à $5$~\euro{} vient de passer à $9$~\euro. Calculer le taux d'évolution du prix en pourcentage.&\\ \hline
\textbf{2.} &Le débit d'un fleuve est de 200 m$^3$/s.

Combien de litres d'eau s'écoulent en 1 heure ?&\\ \hline
\textbf{3.} &Écrire l'expression $A$ sous la forme $10^n$, où $n$ est un nombre entier relatif:
\[A= 10^{-4} \times \left(10^2\right)^3.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{4.} &Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[f(x) = 4x^3 - 2x^2 +100.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{5.} &Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{11}{10} +  \dfrac 56$.&\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\textbf{6.} &Donner les solutions réelles de l'équation 
\vspace{-0.5cm}\[(2x + 4)(5x - 3) = 0.\]\vspace{-0.5cm}&\\ \hline
\textbf{7.} &Résoudre l'inéquation 
\vspace{-0.5cm}\[3x - 4 \geqslant 11.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\hline
\textbf{8.} &
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-3,5~;~4]$. Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4,-1.5)(4.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4.5,2.5)
\pscurve[linewidth=1.5pt](-3.5,0.5)(-3,-0.75)(-2.4,0)(-1.5,1)(-0.5,1.85)(0.5,1.5)(1,1)(2,0.4)(2.5,0.5)(3,1)(3.4,1.25)(4,0.2)
\uput[u](4.2,0.5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Par lecture graphique, résoudre l'équation 

$f(x) = 1$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Une population de \np{10000} bactéries est mise en culture. Après
une heure, le nombre de bactéries est passé à \np{12000}. On
estime que d'heure en heure le nombre de bactéries est
toujours multiplié par le même nombre.
Pour tout entier naturel $n$, on nomme $u_n$ le nombre de bactéries
en culture après $n$ heures écoulées. 

On a donc en particulier $u_0= \np{10000}$ et $u_1 = \np{12000}$.

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et donner la raison de la suite.&Pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = \ldots\ldots \times u_n$.

La raison de cette suite est:

$q = \ldots$.\\ \hline
\textbf{10.} &Lors d'un sondage réalisé auprès de $200$~élèves de séries technologiques, on a recueilli la durée des études que chacun envisageait après le baccalauréat. 

Le diagramme en barres ci- dessous présente les résultats de cette enquête.

Indiquer le pourcentage d'élèves interrogés qui envisagent une poursuite d'étude d'au moins 3 ans.
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(7.5,120)
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(7.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=20,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(7.5,100)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1,0)(1.5,90)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3,0)(3.5,40)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5,0)(5.5,40)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](7,0)(7.5,30)
\uput[d](1.25,0){\footnotesize 2 ans}
\uput[d](3.25,0){\footnotesize 3 ans}
\uput[d](5.25,0){\footnotesize 4 ans}
\uput[d](7.25,0){\footnotesize 5 ans ou plus}
\rput(3.75,110){\small Effectifs des réponses au sondage}
\end{pspicture}
\end{center}&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.43\linewidth}
Le bruit est une vibration de l'air qui se propage dans toutes les directions à partir de la source sonore. Le niveau sonore se mesure en décibel (dB), il correspond à une grandeur liée à la puissance sonore. Voici quelques exemples de niveaux sonores ainsi que les différents seuils (audibilité, confort, danger et douleur).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Bruit&Niveau sonore en dB\\ \hline
Avion au décollage &130 dB\\ \hline
Seuil de douleur&120 dB\\ \hline
Concert&110 dB\\ \hline
Seuil de danger&90 dB\\ \hline
Restaurant scolaire&85 dB\\ \hline
Seuil de confort&80 dB\\ \hline
Aspirateur &70 dB\\ \hline
Chuchotements & 20 dB\\ \hline
Seuil d'audibilité&0 dB\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\medskip

À l'aide d'un sonomètre, on a mesuré le niveau sonore d'une certaine fréquence lors d'un concert en plein air. Pour cela, on a placé le sonomètre à différentes distances de la scène sur laquelle se trouvent les haut-parleurs qui diffusent la musique.

Ces mesures ont montré que le niveau sonore $f(x)$, en décibel (dB), obtenu pour une distance de $x$ mètres, est donné par la relation:
\begin{center}$f(x) =100 + 10\log \left(\dfrac{100}{x^2}\right)$, où $x \in  [1~;~250]$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ dans [1~;~250],\: $f(x) = 120 - 20\log (x)$.
\item Quelle est le niveau sonore à 1 mètre de la scène? Ce niveau sonore est-il
acceptable pour une personne non protégée?
\item Pour ne pas endommager son audition, il est souhaitable que le niveau sonore reste inférieur à 80 dB. À quelle distance minimale de la scène doit-on se placer pour profiter de ce concert en toute sécurité?
\item Une famille avec un jeune enfant souhaite profiter du spectacle. Les parents savent qu'ils ne doivent pas exposer leur enfant à un niveau sonore supérieur à $70$~dB. Dans ce but, ils disposent de bouchons d'oreilles anti-bruit qui atténuent de $15$~dB le niveau sonore. 

La famille commence à s'installer à $50$~mètres de la scène. 

Justifier que cette distance est insuffisante et calculer de combien de mètres ils doivent reculer.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Le jour de la naissance de Léo, le 1\up{er} janvier 2020, ses grands-parents décident de
placer une somme de \np{2000}~\euro{} sur un compte à son intention.

Le 1\up{er} janvier de chaque année, le capital de ce compte est augmenté de 3\,\% du
capital de l'année précédente.

On modélise le capital en euro disponible le 1\up{er} janvier de l'année $2020 + n$ par le
terme général d'une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = \np{2000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?

Préciser ses éléments caractéristiques.
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer, pour un entier $n$ quelconque, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Quel sera le capital de Léo, arrondi à l'euro près, le jour de ses 18 ans?
\item On considère la fonction écrite ci-dessous en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{defcapital}() :\\
\qquad n=0\\
\qquad u = \np{2000}\\
\qquad \textbf{while} u$<$\np{4000} :\\
\qquad \qquad n = n+1\\
\qquad \qquad u = 1.03*u \\
\qquad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour traiter cet exercice, on peut utiliser un arbre probabiliste pondéré}

\medskip

Une grande enseigne de distribution vend sous sa propre marque des yaourts. 

Ces yaourts sont produits dans deux usines : l'usine A et l'usine B. 

Un contrôle de la qualité de la production a montré que 1\,\% des yaourts de l'usine A et 0,4\,\% des yaourts de l'usine B sont impropres à la vente.

Dans un des magasins de l'enseigne, 40\,\% des yaourts proviennent de l'usine A et 60\,\% des yaourts proviennent de l'usine B.

On prélève au hasard dans ce magasin un de ces yaourts. 

On définit les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og le yaourt provient de l'usine A \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$: \og le yaourt provient de l'usine B \fg{};
\item[$\bullet~~$] $I$: \og le yaourt est impropre à la vente \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, les probabilités $p(A),\: p(B),\: p_B(I)$ et $p_A(I)$.
\item Calculer la probabilité que le yaourt prélevé provienne de l'usine B et soit impropre
à la vente.
\item Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $B \cup I$ et calculer la probabilité de cet
évènement.
\item Démontrer que la probabilité que le yaourt prélevé soit impropre à la vente vaut
\np{0,0064}.
\item La directrice du magasin constate que le yaourt prélevé est impropre à la vente et
déclare qu'il y a 40\,\% de chances pour que ce yaourt provienne de l'usine A.

A-t-elle raison ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}