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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 37}
\lfoot{\small 06318}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 37 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. 

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\vspace{-0.4cm}\[f(x) = 7x^3 - 5x^2 + x - 1,3.\]\vspace{-0.4cm}

Donner l'expression développée et réduite de
$f'(x)$.&\\ \hline
\textbf{2.} &Donner les solutions dans $\R$ de l'équation : \vspace{-0.5cm}\[x^2 = 5.\]\vspace{-0.5cm}&\\ \hline
\textbf{3.} &Donner le coefficient directeur de la droite du plan passant par les points A$(-1~;~2)$ et B(1~;~5).&\\ \hline
\textbf{4.} &Factoriser, pour $x$ réel, l'expression: \vspace{-0.4cm}\[5x^2 + 20x\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{5.} &Résoudre dans $\R$ l'inéquation : \vspace{-0.4cm}\[2x - 3 \geqslant7 + 15x.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{6.} &Une intensité $I$ de $3.10^{-2}$ ampères traverse une résistance de valeur $R = 20$~ohms.

La tension $U$, en volts, aux bornes de la résistance est donnée par la relation :
$U= RI$.

Donner l'écriture scientifique de la valeur de la tension $U$ en volts.&\\ \hline
\textbf{7.} &Pour un \og gaz parfait \fg{} la relation $PV = nRT$ lie la pression $P$, le volume $V$, la quantité de matière $n$,la constante des gaz parfaits $R$ et la température $T$, exprimés dans les unités appropriées.

Exprimer la quantité de matière $n$ en fonction des autres grandeurs.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{8.} &Parmi les 200 spectateurs d'une salle de cinéma, 12\,\% ont bénéficié d'un tarif réduit, parmi lesquels 25\,\% sont des étudiants. 

Combien d'étudiants ont bénéficié d'une réduction ?&\\ \hline
\multicolumn{3}{|m{13cm}|}{On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ et la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1,7.

\begin{center}
\psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-0.6,-1.3)(3,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.6,-1.3)(3,1.4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2.2}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 2 x mul add 3 mul}
\psplotTangent[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.7}{5}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 2 x mul add 3 mul}
\uput[r](0.1,0.3){\red $\mathcal{C}_f$}\psdots(1.7,-1.071)\uput[dr](1.7,-1.071){\red A}
\end{pspicture*}
\end{center}

Répondre par lecture graphique aux questions 9 et 10 suivantes.}
\\ \hline
\textbf{9.} &Résoudre graphiquement sur [0~;~2,2] l'inéquation 
\vspace{-0.4cm}\[f(x) < 0.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{10.} &Estimer graphiquement la valeur de $f'(1,7)$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de produits chimiques par jour.

Ses dirigeants ont demandé une étude du coût de production.

Il a été établi que le coût journalier moyen de production, en millier d'euros, pour $x$ tonnes de produits chimiques est donné par:
\[C(x) = 1,7x + \dfrac{29,988}{x} + 0,5.\]
Dans la suite, on arrondira les coûts au dixième de millier d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût journalier moyen de production de l'entreprise pour 5 tonnes de produits chimiques?
\item Déterminer une expression de $C'(x)$ en fonction de $x$.
\item Montrer que, pour $x \in [1~;~15]$, on a :
\[C'(x) = \dfrac{1,7(x - 4,2)((x + 4,2)}{x^2}.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de C' sur l'intervalle [1~;~15].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $C$ sur [1~;~15].
	\end{enumerate}
\item Quel coût de production journalier moyen minimal l'entreprise peut-elle espérer atteindre ? 

À quelle quantité de produits chimiques fabriquée ce coût minimal correspond-il ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une étude de l'I,N.S.E.E: conduit à la classification suivante de la population non scolarisée de 15 ans ou plus, en France, en 2017, par diplôme le plus élevé obtenu:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]95\,\% de cette population a 25 ans ou plus ;
\item[$\bullet~~$]28,5\,\% de cette population a 25 ans ou plus et un diplôme de l'enseignement
supérieur de niveau bac + 2 ou plus;
\item[$\bullet~~$]Parmi les personnes qui ont entre 15 et 24 ans, 23\,\% n'ont pas un diplôme de
l'enseignement supérieur de niveau bac + 2 ou plus.
\end{itemize}

\medskip

En 2017, en France, on interroge au hasard un individu non scolarisé qui a 15 ans ou plus. 

Chaque individu a la même probabilité d'être choisi.

On note $E$ et $D$ les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$E$ : « l'individu interrogé a entre 15 et 24 ans »,
\item[$\bullet~~$]$D$ : « l'individu interrogé a un diplôme de l'enseignement supérieur de niveau
bac+2 ou plus ».
\end{itemize}

On note $\overline{E}$ et $\overline{D}$ les évènements contraires respectifs des évènements $E$ et $D$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $p\left(\overline{E} \cap D\right)$ ; $p\left(\overline{E}\right)$ et $p_E\left(\overline{D}\right)$.
\item Justifier que $p_{\overline{E}}(D) = 0,3$.
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~~}\naput{}}
	{\TR{$D$}\naput{}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{0,23}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E}$~~}\nbput{0,95}}
	{\TR{$D$}\naput{}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{}
	}
}
\end{center}

\item Montrer que $p(E \cap D) = \np{0,0385}$.
\item Montrer que $p(D) = \np{0,3235}$.
\item L'individu interrogé a un diplôme de l'enseignement supérieur de niveau
bac + 2 ou plus.

Quelle est la probabilité que cet individu ait 25 ans ou plus ?

Arrondir le résultat au centième.

\hfill \emph{*Source: Insee, RP$2017$ exploitation principale, géographie au }01/01/2020.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une version simplifiée de la première loi de Moore indique que le nombre de transistors dans les microprocesseurs augmente de 41\,\% tous les ans.

Le premier microprocesseur, commercialisé en 1971, contenait \np{2300}~transistors.

On modélise par une suite $\left(u_n\right)$ le nombre de transistors par microprocesseur prévu par la loi de Moore pour l'année $(1971 + n)$, où $n$ désigne l'entier naturel correspondant à l'année considérée.
On a ainsi $u_0 = \np{2300}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après la loi de Moore, combien de transistors contenait un microprocesseur en 1972 ?
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,41$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Combien la loi de Moore prévoyait-elle de transistors par microprocesseur en
2020 ?

Arrondir le résultat à la précision permise par la calculatrice.
\item En 2020, une entreprise américaine a lancé sa nouvelle génération de circuits logiques programmables, assimilables à des microprocesseurs. Ils contiennent environ \np{15217391} fois plus de transistors que le premier microprocesseur commercialisé en 1971.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le taux moyen d'évolution annuelle du nombre de transistors par microprocesseur, sur les $49$~années qui séparent le premier microprocesseur en 1971 et le microprocesseur américain de 2020, est d'environ \np{0,4015}.
		\item Peut-on dire que l'évolution du nombre de transistors par microprocesseur entre 1971 et 2020 est cohérente avec la loi de Moore ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}