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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 38}
\lfoot{\small 06319}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 38 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. 

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
%\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabular}{|c|m{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Le prix d'un article subit une baisse de 10\,\% suivie d'une baisse de 20\,\%.

Quelle est la baisse globale du prix de l'article à l'issue des deux évolutions ?&\\ \hline
\textbf{2.} &Le prix d'un article passe de $120$~\euro{} à $150$~\euro.

Quelle est l'évolution en pourcentage du prix de cet article ?&\\ \hline
\textbf{3.} &Comparer $\dfrac{10}{7}$ et $\dfrac{11}{8}$.\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&\\ \hline
\textbf{4.} &Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[f(x) = 5x^3 - 6x^2 + 5x - 2.\]&\\ \hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|m{14.35cm}|}\hline
On considère la courbe représentative dans un repère du plan de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
\[g(x) = - 2x^2 + 5x + 3.\]

On note A le point de la courbe de $g$ d'abscisse 2.

\textbf{Les questions 5 et 6 concernent cette fonction $g$ et ce point A}.\\ 
\end{tabular}


\begin{tabular}{|c|m{9cm}|m{4.2cm}|}\hline
\textbf{5.} &Quelles sont les coordonnées du point A ?&\\ \hline
\textbf{6.} &Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $g$ au point A ?&\\ \hline
\textbf{7.} &Développer et réduire l'expression:
\[E = x - (x - 3)(x + 4).\]&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{tabular}{|c|m{9cm}|m{4.2cm}|}\hline
\textbf{8.} &Résoudre dans $\R$ l'inéquation:
\[2x+3 < 7- x.\]\\ \hline
\textbf{9.} &On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction dérivable $h$. On a tracé la tangente à cette courbe au point B.

\psset{unit=1cm,algebraic}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.6,-1.5)(3.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.6,-1.5)(3.2,3.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.2}{2}{2.1-7*(x-0.9)^2}
\psplotTangent[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1}{5}{2.2-5*(x-0.8)^2}
\psdots(1,2)\uput[ur](1,2){B}
\end{pspicture*}
\end{center}
Déterminer graphiquement $h'(1)$.  \\ \hline
\textbf{10.} &Le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $r$
est donné par : $V = \dfrac13 r^2h$.

Exprimer $h$ en fonction de $V$ et de $r$.\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large PARTIE II}
 \end{center}

Cette partie est composée de trois exercices indépendants.

La calculatrice est autorisée selon la règlementation en vigueur.

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un fournisseur d'accès à internet décide d'étudier l'évolution de 2014 à 2020 du nombre de ses abonnés en milieu urbain.

Il dispose des éléments suivants :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
Nombre d'abonnés en millions: $y_i$& 0,7 &2,9 &6 &8,4 &12,1 &15 &18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans un repère orthogonal, le nuage des points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$.

Unités graphiques :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]axe des abscisses: $2$ cm pour $1$ unité
\item[$\bullet~$]axe des ordonnées: $1$ cm pour $2$ millions d'abonnés
\end{itemize}

\item Déterminer l'équation d'une droite $D$ réalisant un ajustement affine du nuage de points, en précisant la méthode utilisée.

Tracer cette droite sur le graphique précédent.
\item À l'aide de cet ajustement affine, estimer le nombre d'abonnés que ce fournisseur d'accès à internet devrait avoir en 2022.
\item Déterminer à partir de quelle année, selon le modèle de cet ajustement affine, le nombre d'abonnés du fournisseur d'accès internet dépassera $32$~millions.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un moulin artisanal peut produire chaque jour entre $0,3$ tonne et $6$~tonnes de farine biologique.
Pour tout nombre $q$ appartenant à l'intervalle [0,3~;~6], on note $C(q)$ le coût de production d'une tonne de farine, exprimé en centaines d'euros, si on produit $q$ tonnes de farine par jour.
On considère, dans cet exercice, que: 
\[C(q) = 4q + \dfrac 9q\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production d'une tonne de farine pour une fabrication
journalière de $3$ tonnes de farine ?
\item Démontrer que pour tout réel $q$ appartenant à l'intervalle [0,3~;~6] :
\[C'(q) = \dfrac{4(q - 1,5)(q + 1,5)}{q^2}.\]
\item Déterminer le signe de $C'(q)$ sur l'intervalle [0,3~;~6].
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ sur l'intervalle [0,3~;~6].
\item En déduire la quantité de farine à produire pour que le coût de production d'une tonne de farine soit minimal et déterminer ce coût minimal en euros.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

En 2017, des scientifiques ont estimé la masse totale de déchets plastiques dans les océans à $300$~millions de tonnes et ont prévu une augmentation de 5,8\,\% par an au cours des prochaines années.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon les prévisions des scientifiques, quelle masse de déchets plastiques aurait-on observée dans les océans en 2018 ? en 2019 ? Arrondir les réponses au million de tonnes.
\end{enumerate}

On modélise par une suite $\left(u_n\right)$ la masse totale de déchets plastiques dans les océans, exprimée en millions de tonnes, durant l'année $(2017 + n)$. Ainsi $u_0 = 300$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme. 
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_{13}$. Arrondir à l'unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Si la masse totale des déchets plastiques dans les océans continue d'augmenter de 5,8\,\% par an, en quelle année dépassera-t-elle $1$~milliard de tonnes ? 

Expliquer la démarche suivie.
\end{enumerate}
\end{document}