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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small }
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C 40 Terminale technologique \decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\quad Sans calculatrice \quad Durée : 20 minutes}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\hline
&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.}&Donner l'expression de $f'(x)$ définissant la
dérivée de la fonction

$f : x \longmapsto 4x^3 - 5x^2 + x + 3$.&\\ \hline
\textbf{2.}& \og  Dans le plan muni d'un repère, le point A$(-1~;~0)$
appartient à la courbe représentative de la fonction $f$ :\: $x \longmapsto  x^2 + 5x + 4$.\fg

Vrai ou faux? Justifier.&\\ \hline
\textbf{3.}&Factoriser l'expression $4x^2 - 9$.&\\ \hline
\textbf{4.}& Résoudre dans $\R$ l'équation:
\begin{center}$2x - 5 = 5x + 2$.\end{center}&\\ \hline
\textbf{5.}&Pour le Black Friday, le prix d'un appareil passe de $80$~\euro{} à $60$~\euro.

Indiquer le taux d'évolution, en pourcentage, du prix de cet objet.&\\ \hline
\textbf{6.}&Dans un lycée, les trois quarts des élèves pratiquent un sport.

40\,\% des élèves pratiquant un sport jouent au football.

Quel pourcentage d'élèves du lycée pratiquent le football ?&\\ \hline
\textbf{7.}&Loi des gaz parfaits : $\dfrac{PV}{T} = nR$.

Exprimer $T$ en fonction de $P, V, n$ et $R$.&\\ \hline
\textbf{8.}&$\dfrac{22}{7} > 3$.

\textbf{Vrai ou faux?} Justifier.&\\ \hline
\textbf{9.}&Convertir un débit de 2 mL.min$^{-1}$ en cL.h$^{-1}$.&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\textbf{10.}&\vspace{-2cm}Dans le repère ci-contre, tracer la droite passant par le point A$(-3~;~1)$
et ayant pour coefficient directeur $\dfrac12$.&
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}

\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

\smallskip

Cette partie est constituée de 3 exercices indépendants.

L'utilisation de la calculatrice est autorisée selon la règlementation en vigueur.

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Suite à l'explosion des nouveaux cas de Covid-19, le chef de l'État annonçait le 28 octobre 2020 aux Français un nouveau confinement avec pour objectif de réduire le nombre de nouveaux cas à moins de \np{5000} par jour.

Le graphique suivant synthétise les données qui étaient disponibles sur Santé publique France le 25 novembre 2020 :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(10.5,6)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\pscurve[linewidth=1.25pt](0,0.7)(0.4,0.6)(0.8,0.6)(0.85,0.8)(1.2,0.7)(2,0.9)(2.3,1)(3,1.6)(3.7,1.6)(4,2.4)(5,3.4)(5.6,2.5)(5.9,2.9)(6.4,4.8)(6.9,4.7)(7.2,3.5)(7.9,1.9)
\psline(7.9,1.9)(7.9,0)(0,0)}
\multido{\n=6+1,\na=0.6+1.2}{4}{\uput[d](\na,0){01/0\n}}
\uput[d](5.4,0){01/10}\uput[d](6.6,0){01/11}\uput[d](7.8,0){01/12}
\pscurve[linewidth=1.8pt](0,0)(2,0)(3.2,0.15)(4,0.5)(5,0.9)(5.6,0.8)(6,1.8)(6.2,3)(6.7,4.8)(6.9,4.5)(7.2,4)(7.75,1.4)(7.9,1)
\rput(6.6,5.1){confinement}
\psline[linewidth=1.75pt,linestyle=dotted](0,0.5)(9,0.5)\uput[d](9,0.5){objectif}
%\psgrid
\rput(2.,4){Estimations au 25/11 :}
\rput(2.,3){\np{10632} nouveaux cas}
\rput(2.,2.5){ positifs ce jour-là}
\rput(2,2){$- 48\,\%$ environ en 7 j.}
\psline(3.6,2.5)(7.9,1)
\rput{15}(1.6,1){\footnotesize Tests réalisés}\rput{19}(4,0.7){\footnotesize Cas positifs (moyenne 7 j.}
\multido{\n=0.0+0.9,\na=0+10000}{6}{\rput(10,\n){\np{\na}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Le tableau ci-dessous donne, pour chaque jour de la période du 15 au 25 novembre 2020, le nombre estimé de nouveaux cas positifs :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Date&15/11&16/11&17/11&18/11&19/11&20/11&21/11&22/11&23/11&24/11&25/11 \\ \hline
Cas&\np{23827}&\np{21169}&\np{18790}&\np{20320}&\np{17363}&\np{15342}&\np{14635}&\np{14483}&\np{12636}&\np{11426}&\np{10632}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier la mention \og  $-48\,\%$ environ en 7 jours \fg{} figurant sur le graphique.

À quelle évolution journalière moyenne cela correspond-il ? Arrondir au dixième de pourcentage.
\end{enumerate}

Par la suite, on étudie un modèle selon lequel le nombre de nouveaux cas positifs baisse de 9\,\% par jour à partir du 25 novembre 2020.

On considère la suite dont le terme général $u_n$ donne le nombre de nouveaux cas positifs prévus en France $n$ jour(s) après le 25 novembre 2020 selon ce modèle.

Ainsi, $u_0 = \np{10632}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,91 \times u_n$.
		\item Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et indiquer sa raison $q$.
	\end{enumerate}
\item Selon le modèle étudié, à quelle date, l'objectif du chef de l'état aurait-il dû être atteint ? Justifier.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item \textbf{Recopier et compléter} la fonction écrite ci-contre en langage Python pour qu'elle renvoie le nombre de jours au bout desquels, selon le modèle étudié, l'objectif du chef de l'état aurait dû être atteint.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def objectif$_{~}$ atteint() :\\
\quad u = ...\\
\quad n= ...\\
\quad while u>=5000: \\
\quad\quad u= ...\\
\quad\quad n= ...\\
return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer la somme $u_0 + u_1 + u_2 + \ldots + u_{21}$.

Arrondir le résultat à l'unité.

Interpréter ce résultat par rapport aux prévisions sur l'épidémie de Covid-19 en France.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un patient « grand brûlé» doit bénéficier d'une greffe de peau. Pour recouvrir la brûlure, le chirurgien estime qu'un greffon de peau d'une surface de 8 cm$^2$ est nécessaire.
Un échantillon de 20 cm$^2$ de peau saine est prélevé sur le patient et mis en culture. Ainsi cet échantillon augmente, par division cellulaire, de 15\,\% par jour.

La fonction S définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[ = I$ par 
\[S(t) = 0,2 \times 1,15t\]
 donne la mesure en cm$^2$ de la surface de peau qui devrait être obtenue à partir de l'échantillon, au bout de $t$ jour(s) de culture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $S(0)$.

Pourquoi ce résultat est-il cohérent avec les données de l'énoncé ?
\item Déterminer la surface de peau qui devrait être obtenue à partir de l'échantillon après $17,5$ jours de mise en culture. Donner le résultat au cm$^2$ près.
\item Justifier que la fonction $S : t \longmapsto 0,2 \times 1,15t$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
\item On cherche le temps $t_{\text{greffe}}$ à partir duquel la surface de peau à greffer devrait être suffisante, c'est-à-dire supérieure ou égale à 8 cm$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $t_{\text{greffe}}$ à un jour près.
		\item Le chirurgien souhaite davantage de précision pour programmer l'opération. Déterminer un encadrement de $t_{\text{greffe}}$ à 1 heure près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Afin de mettre en œuvre une campagne de sensibilisation à destination des jeunes femmes fumeuses, un maire commande une étude auprès des 15-25 ans de la commune sous la forme d'un questionnaire à compléter.
L'étude révèle que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]28\,\% des 15-25 ans sont fumeurs.
\item[$\bullet~~$]Les femmes représentent 30\,\% des 15-25 ans fumeurs.
\item[$\bullet~~$]2 non-fumeurs sur 5, parmi les 15-25 ans, est un homme.
\end{itemize}

On choisit au hasard un questionnaire de l'enquête.

On considère alors les évènements $A$ et $B$ définis par:

$A$ : \og Le questionnaire choisi est celui d'une personne qui fume \fg{} ; 

$B$ : \og Le questionnaire choisi est celui d'une femme \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A~~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$B$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}~~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$B$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Vérifier que la probabilité $P(A \cap B)$ est égale à $0,084$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\item En détaillant le(s) calcul(s), déterminer la probabilité $P(B)$.
\item Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'une personne qui fume, sachant que c'est le questionnaire d'une femme.
\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}