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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 41}
\lfoot{\small 06322}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C 41 Terminale technologique \decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\quad Sans calculatrice \quad Durée : 20 minutes}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{9cm}|X|}\hline
&Énoncé&Réponse\\ \hline
\textbf{1.}& Calculer et donner le résultat sous forme irréductible:
\[\dfrac45 \times \dfrac{25}{3} - \dfrac17.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{2.}& Exprimer sous la forme d'une puissance de 3 le nombre:\vspace{-0.4cm}
\[\dfrac{\left(3^2\right)^3}{9}\]&\\ \hline
\textbf{3.}& 
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Donner l'équation réduite de la droite représentée dans le
repère ci-contre :
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-3)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-3)(4,5)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{4}{1.5 x mul 1 sub}
\end{pspicture}
\end{minipage}
&\\ \hline
\textbf{4.}& Une pharmacie dispose de $200$~boîtes d'un médicament donné. Ce nombre augmente de 20\,\% après une livraison puis, en raison des ventes, baisse de 20\,\%.

Déterminer le nombre de boîtes de ce médicament disponibles suite à ces deux évolutions.&\\ \hline
\textbf{5.}& Déterminer $f'$, dérivée  de la fonction $f$ définie par: $f : x \longmapsto \dfrac16 x^3 - 2x +1$.&\\ \hline
\textbf{6.}& Le volume $V$ d'une pyramide s'exprime en fonction de sa hauteur $h$ et de l'aire $a$ de sa base par $V = \dfrac{a \times h}{3}$.

Exprimer $h$ en fonction de $a$ et de $V$.

&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{9cm}|X|}\hline
\textbf{7.}& 
\begin{minipage}{0.45\linewidth}Par lecture graphique, donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$, tracée ci- contre en pointillés.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2.75)(4,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-2.5)(4,3)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{4}{ x 2 mul x dup mul sub x 3 exp sub}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{-1}{6}{x 2 mul x dup mul sub x 3 exp sub}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
&\\ \hline
\textbf{8.}& 
Déterminer l'image de $\left(-\sqrt 3\right)$ par la fonction:
\[g : x  \longmapsto \dfrac13 x^2 - 6x + 4.\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{9.}& 
Un tiers des $120$ voitures que possède un loueur de voitures sont européennes. Parmi celles-ci, $\dfrac18$ sont françaises.

Déterminer le nombre de voitures françaises que possède le loueur.
&\\ \hline
\textbf{10.}&Déterminer, selon les valeurs de $x$, le signe de : 
\[2(3 - x)(x + 5).\]&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large Partie II}\end{center}

Cette partie est constituée de 3 exercices indépendants.

L'utilisation de la calculatrice est autorisée selon la règlementation en vigueur.

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. L'eau provient de deux sources (source A et source B).

70\,\% des bouteilles produites chaque jour contiennent de l'eau de la source A. Les autres bouteilles contiennent de l'eau de la source B.

Lorsque le taux de calcium de l'eau contenue dans une bouteille dépasse $6,5$~mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est calcaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $9$\,\% des bouteilles de la source A contiennent de l'eau calcaire et que $7$\,\% des bouteilles de la source B contiennent de l'eau calcaire.

On prélève au hasard une bouteille dans la production d'une journée.

On note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement : \og la bouteille contient de l'eau de la source A \fg, 
\item $B$ l'évènement : \og la bouteille contient de l'eau de la source B \fg, 
\item $C$ l'évènement : \og la bouteille contient de l'eau calcaire \fg,
\item $\overline{C}$ l'évènement contraire de l'évènement C.
\end{itemize}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs des probabilités $p(A),\: p(B),\:p_A(C)$ et $p_B(C)$.
		\item Représenter la situation aléatoire par un arbre de probabilités.
		\item Calculer la probabilité que la bouteille prélevée contienne de l'eau calcaire.

Écrire le détail des calculs.
	\end{enumerate}
\item Dans un stock important de bouteilles produites, 8\,\% des bouteilles contiennent de l'eau calcaire. 

On prélève au hasard $40$ bouteilles dans le stock. Le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $40$~bouteilles.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de $40$~bouteilles le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l'eau calcaire.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? On ne demande pas de justification.
		\item Calculer $p(X \leqslant 4)$. Arrondir au millième.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Lors d'une épidémie, afin d'apporter des réponses sanitaires adéquates, les autorités commandent une étude de l'évolution du nombre de malades infectés.

\smallskip

Dans la feuille de calcul ci-après, on a reporté les relevés effectués tous les $5$~jours du nombre de personnes infectées, du début de l'épidémie jusqu'au 25\up{e} jour, et calculé les taux d'évolution entre les relevés consécutifs.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A			&B	&C	&D	&E	&F	&G\\ \hline
1&Relevé $n$&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
2&Durée écoulée en jours: $x(n)$&0 &5 &10 &15 &20 &25\\ \hline
3&Nombre de personnes infectées: $y(n)$&228 &\np{1374} &\np{2038} &\np{3539} &\np{4129} &\np{4555}\\ \hline
4&Taux d'évolution sur 5 jours, en \%&&502,53& 48,33&73,65& 16,67 &12,74\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Détailler le calcul du taux d'évolution entre le deuxième et le troisième relevé.
		\item Quelle formule a pu être saisie dans la cellule C4 du tableur afin d'obtenir, en étirant vers la droite, les différents taux d'évolution du nombre de personnes infectées ?
	\end{enumerate}
\item Les représentations graphiques sont à faire sur l'\textbf{annexe (à rendre avec la copie)} avec la précision permise par les choix d'unités.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points de coordonnées $(x(n)~;~ y(n))$ pour $n$ entier variant de 1 à 6.
		\item Donner les coordonnées du point moyen noté G de ce nuage de points et placer le point G dans le même repère.
		\item Donner une équation d'une droite d'ajustement de $y$ par rapport à $x$, en précisant le principe d'ajustement choisi. Représenter cette droite sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item Estimer à l'aide de cette droite le nombre de personnes malades $50$ jours après le début de l'épidémie.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une chaîne de messages sur Internet fonctionne selon le principe suivant : une personne, appelée \og l'initiateur \fg, envoie un message à un certain nombre de personnes. C'est l'étape~1.

Ce message promet un lot à la condition que celui qui le reçoit le renvoie à exactement $q$ autres personnes ne l'ayant pas encore reçu.

On suppose que les personnes ayant reçu le message à l'étape 1 l'envoient chacune à $q$ personnes, toutes différentes, ne l'ayant pas encore reçu. C'est l'étape 2.

Et ainsi de suite.

\smallskip

On note $u_1$ le nombre de messages envoyés par l'initiateur de la chaine et, pour tout entier $n \geqslant 2$, $u_n$ le nombre de messages envoyés à l'étape $n$ de la chaine par
l'ensemble des personnes ayant reçu le message à l'étape précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, exprimer $u_n$ en fonction de $u_1$, de $q$ et de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que \np{5120} messages sont envoyés à la 5\up{e} étape de la chaine et que \np{327680}~messages le sont à la 8\up{e} étape, montrer que $u_1$ et $q$ vérifient :
\begin{center}$u_1q^4 = \np{5120}$\quad  et \quad $u_1q^7 = \np{327680}$ \end{center}
		\item En remarquant que $u_1q^7 = u_1q^4 \times q^3$, expliquer pourquoi $q = 4$.
		\item En déduire que: $u_1 = 20$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre total de messages envoyés durant les 11 premières étapes de
la chaine.
\end{enumerate}
\end{document}