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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 47}
\lfoot{\small 06328 }
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 47  Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes \hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 \hfill 5 points}

\medskip

\renewcommand \arraystretch {1.4}

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante.

Cet exercice comprend 10 questions. Aucune justification n'est demandée.

\begin{tabular}{|c|m{9cm}|m{5cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline
\textbf{1.}& Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[ f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7.\]
Quelle est l'ordonnée du point d'abscisse $-1$ de
la courbe représentative de $f$ ?&\\\hline
\textbf{2.}& Écrire $\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 +1$ sous la forme d'une fraction irréductible&\\\hline
\textbf{3.}& Soit la fonction $f$ définie sur [0 ; 10] par:
\[f(x) = 4x^3 - 5x^2 + x + 7.\]
Déterminer $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de $f$,&\\\hline
\textbf{4.}& Soit la fonction $g$ définie sur [0 ; 20] par:
\[g(x) = 4x^2 + 7x + 8.\]
Quel est le coefficient directeur de la tangente
à la courbe représentative de $g$ au point
d'abscisse 2 ?&\\\hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{tabular}{|c|m{9cm}|m{5cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline
\textbf{5.}& Pour $x$ dans $[-5 ; 5]$, construire le tableau de
signes de : \[(x -1)(x + 3)\] & \\ \hline
\textbf{6.}& On donne $y = 3x + z$.

Exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$.&\\\hline
\textbf{7.}& Lequel de ces pourcentages vaut $\dfrac{18}{60}$ :

$30\,\%,\qquad 40\,\%\quad \text{ou }  \quad 60\,\% $? &\\\hline
\textbf{8.}& Dans un repère, on considère les points

 A(0 ; 5) et B (2 ; $-1$).
 
Donner l'équation réduite de la droite (AB).&\\\hline
\textbf{9.}& Quel est le taux d'évolution équivalent à une
baisse de 10\,\% suivie d'une baisse de 20\,\% ?&\\\hline
\textbf{10.}&
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(x) = x^2 + 3x.\]
 Parmi les 3 nombres ci-dessous, lequel est le
plus proche de $f(\np{1002})$ ?

$10^5\qquad 10^6\qquad 10^7$&\\\hline
\end{tabular}



\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 5 points}

Le tableau ci-dessous donne la taille moyenne des Français entre 1900 et 1980.

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{4cm}|*{5}{c|}}\hline
Année &1900 &1920& 1940 &1960 &1980\\\hline
Rang de l'année $x_i$&0 &20& 40& 60& 80\\\hline
Taille en cm $y_i$ &165,8 &167,4& 170& 172,6 &174,9\\\hline
\end{tabular}
\end{center}


Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au dixième.

\begin{enumerate}
\item  On pose $z_i = 100 \log (y_i)$.

Compléter le tableau de l'\textbf{annexe (page \pageref{annexe} )}.
\item En utilisant le repère de l'\textbf{annexe}, représenter le nuage de points $M_i ( x_i ; z_i)$

Qu'observe-t-on ?
\item Un ajustement de ce nuage de points est donné par la droite $\mathcal{D}$ d'équation :
\[z = 0,03x + 222.\]
Compléter le graphique précédent en traçant cette droite $\mathcal{D}$.

Justifier la construction.
\item \begin{enumerate}
\item  Sachant que $z_i = 100 \log(y_i)$, exprimer $y_i$ en fonction de $z_i$.
\item Estimer quelle serait, selon cet ajustement, la taille moyenne des
Français en 2025.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill(5 points)}
\medskip

Deux restaurateurs décident d'acheter le même modèle de fourneau.

Comme ils ne disposent pas immédiatement de la somme nécessaire, le vendeur
leur propose des facilités de paiement.

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Pour le premier restaurateur}

La facilité de paiement prévoit une première mensualité de 168~\euro{} tandis que les
mensualités suivantes sont toutes égales à 200~\euro.

On modélise cette situation en utilisant la suite $\left(U_n\right)$ où, pour tout entier non nul $n$,
$U_n$ est la somme totale versée en euros après le paiement de la $n$-ième mensualité.

On a donc $U_1 = 168$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $U_3 = 568$ puis donner la nature de la suite $\left(U_n\right)$.
\item En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de l'entier non nul $n$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Pour le deuxième restaurateur}

La facilité de paiement prévoit une première mensualité de 150~\euro{} tandis que les
mensualités suivantes augmentent d'un mois sur l'autre de 4\,\%.

On modélise cette situation en utilisant la suite $\left(V_n\right)$ où, pour tout entier non nul $n$, $V_n$
est le montant en euros de la $n$-ième mensualité.

On a donc $V_1 = 150$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $V_3 = 162,24$ puis donner la nature de la suite $\left(V_n\right)$.
\item En déduire, pour tout entier non nul $n$, l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Comparaison}

Le vendeur propose à chaque restaurateur un paiement en 11 mensualités.

Quel est celui des deux restaurateurs qui dépensera le plus pour l'achat de son
fourneau?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill(5 points)}

\medskip

Dans un restaurant, le coût de production unitaire d'un repas, en euros, si l'on en
produit $x$, est modélisé par la fonction $P$ définie sur $[5~;~65]$ par:

\[P(x) = 0,1 x + 3 + \dfrac{8,1}{x}.\] 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que si on produit 10 repas, le coût unitaire d'un repas est de 4,81~\euro.
\item Justifier que pour tout réel de $[5~;~65]$, on a $P'(x) = \dfrac{0,1(x - 9)(x + 9)}{x^2}$ où $P'$ désigne la fonction dérivée de $P$.
\item Étudier le signe de $P'(x)$ sur l'intervalle $[5~;~65]$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $P$ sur l'intervalle $[5~;~65]$.
\item Déterminer le nombre de repas que doivent produire les cuisiniers pour que le
coût de production unitaire d'un repas soit minimal. Indiquer ce coût.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\textbf{à rendre avec la copie.}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}~2 question 1}

\renewcommand \arraystretch {2}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.85cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x_i$&0	&20	&40	&60	&80\\\hline
$y_i$&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}

\label{annexe}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 question 2}
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-1)(150,7.5)
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-0.1)(\n,7.2)}
\multido{\n=0+5}{30}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.1)(\n,7.2)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,](-5,\n)(150,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{37}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray,](-5,\n)(150,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=20,Oy=219,Dy=1]{->}(0,0)(-0.9,-0.1)(150,7.5)
\uput[l](-2,0){\scriptsize $219$}\uput[d](0,-0.1){$\scriptstyle 0$}
\uput[l](-2,7.7){ $z$}\uput[d](150,-0.1){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
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