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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 51}
\lfoot{\small 06332}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 51 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Résoudre dans $\R$, l'équation suivante: $x^2 = 3$.&\\ \hline
\textbf{2.} &Développer puis réduire: $- 3 (2x + 5)^2$.&$-3(2x +5)^2 = $\\ \hline
\textbf{3.} &Factoriser $x(x - 2) + x^2$.&$x(x - 2) + x^2$\\ \hline
\textbf{4.} &On donne la formule : $T = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}$.

Exprimer $V_f$ en fonction de $T$ et $V_i$.&$V_f = $\\ \hline
\textbf{5.} &Un élève a eu 2 contrôles. Sa première note est 15 et sa moyenne est 13,5.

Quelle est sa seconde note ?&\\ \hline
\textbf{6.} &Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2 + 4$.

Calculer $f(-2)$.&$f(-2) = $\\ \hline
\textbf{7.} &Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 2.\]&$f'(x) = $\\ \hline
\textbf{8.} &Déterminer l'équation réduite de la droite passant par les points A(4~;~1) et B$(-2~;~-17)$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Un prix passe de $160$ euros à $200$ euros.

Calculer le taux d'évolution de ce prix en pourcentage.&\\ \hline
\textbf{10.} &L'audience d'une émission baisse de 20\,\%.

Déterminer le pourcentage d'augmentation à appliquer pour
ramener cette audience à sa valeur initiale.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}\textbf{\large Partie II}\end{center}

\medskip

\textbf{La calculatrice est autorisée.\\ Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un industriel étudie l'évolution de la production de jouets par une machine de son entreprise. Durant l'année 2010, année de son achat, cette machine a pu produire \np{120000} jouets. À cause de l'usure, la production de cette machine diminue chaque année de 2\,\%.

\medskip

On modélise la production annuelle de jouets de cette machine par une suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante :  pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de jouets produits par cette machine au cours de l'année $(2010 + n)$. Ainsi $u_0 = \np{120000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ le nombre de jouets produits par cette machine en 2011.
\item Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison.

On admet que $u_n = \np{120000} \times 0,98^n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Calculer la production totale de jouets durant les 10 premières années de production de la
machine. (Arrondir à l'unité).
\end{enumerate}

Dans l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}, on a commencé l'écriture, en langage Python, d'une fonction permettant de déterminer, pour une valeur de $A$ donnée, le rang $n$ à partir duquel $u_n < A$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Compléter la fonction Python dans l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}.
\item Pour des raisons de rentabilité, la machine doit produire plus de \np{90000}~jouets par an.

Déterminer en quelle année le changement de machine sera nécessaire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une maladie touche 2\,\% de la population mondiale. Un laboratoire pharmaceutique conçoit un test pour diagnostiquer cette maladie. Différentes études sur la fiabilité du test, donne les résultats suivants:
\begin{itemize}
\item Pratiqué sur une personne malade, le test est positif dans 95\,\% des cas; 
\item Pratiqué sur une personne non malade, le test est positif dans 4\,\% des cas.
\end{itemize}

On choisit une personne au hasard dans la population.

On note 

\begin{itemize}
\item M l'évènement: \og la personne est malade \fg
\item T l'évènement: \og le test est positif \fg.
\end{itemize}

Si nécessaire, les résultats des calculs seront arrondis à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des informations de l'énoncé, donner les probabilités : $P(M)$ et $P_M(T)$.
\item Montrer que $P(T) = 0,058$.
\item Les évènements $M$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
Un service hospitalier de dépistage effectue $130$~tests par jour. On admet que la probabilité qu'un test soit positif est égal à $0,06$.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tests positifs par jour. On admet que $X$ suit une loi binomiale.
\item Donner les paramètres de cette loi.
\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip
Une entreprise produit chaque jour un volume de graviers compris entre $3$ et $30$m$^3$.

On note $x$ le volume de gravier fabriqué, exprimé en m$^3$.

Le coût moyen de production de ce gravier est modélisé par une fonction $f$ définie sur l'intervalle [3~;~30] par :
moyen minimal?

\[f(x) = x - 2 + \dfrac{225}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $[f10)$.
\item Montrer que l'expression de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ est:
\[f'(x) =  \dfrac{x^2 - 225}{x^2}.\]
\item Sachant que $x^2 - 225 = (x - 15)(x + 15)$, établir le signe de $f'(x)$ sur [3~;~30].
\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [3~;~30].

Compléter le tableau de variation donné dans l'annexe à rendre avec la copie.
\item Pour quel volume de gravier le coût moyen de production est-il minimal ? Quel est ce coût moyen minimal ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 1: Question 4.}

\medskip
\begin{tabular}{|l|}\hline
def production(A) :\\
\qquad n=0\\
\qquad u = \np{120000}\\
\qquad while u >= \ldots \ldots:\\
\qquad \quad n =n+1\\
\qquad \quad u=\ldots \ldots:\\
\qquad return (.....)\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3 : Question 4.}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,4)
\psframe(12,4)\psline(0,3)(12,3)\psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(2.6,0)(2.6,4)
\uput[u](1.3,3.4){$x$}\uput[u](2.8,3.4){3}\uput[u](10.7,3.4){30}
\uput[u](1.3,2.9){Signe de $f'(x)$}
\rput(1.3,1.5){Variations de $f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}