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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 56}
\lfoot{\small 06343}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 56 Terminale technologique ~\decofourright}}

\smallskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\smallskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

Pour chacune des questions suivantes, déterminer \textbf{la} bonne réponse.

\medskip

\begin{tabular}{|c|p{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Après une baisse de 10\,\%, un article coûte $180$~\euro. L'ancien prix est :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} 170~\euro &\textbf{b.~} 190~\euro &\textbf{c.~}  198~\euro &\textbf{d.~}  200~\euro\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{2.} &$\dfrac{5^{1,5}}{5^2}$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $5^{0,75}$&\textbf{b.~} $5^{-3}$ &\textbf{c.~} $5^{-0,5}$&\textbf{d.~} $5^{0,5}$ \\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{3.} &On donne les points A$(0~;~- 5)$ et B$(- 3~;~2)$.

Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $- \dfrac37$&\textbf{b.~} $- \dfrac73$&\textbf{c.~} $1$&\textbf{d.~} $- 1$\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{4.} &La fonction $f$ définie par sur $\R$ par $f(x) = 2\times 0,75^x$ est:
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~}croissante sur $\R$&\textbf{b.~} décroissante sur $\R$&\textbf{c.~} constante sur $\R$\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{5.} &Soit la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par

$g(x) = -3 + \dfrac 1x$.

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$- 3$&\textbf{b.~} $- \infty$&\textbf{c.~} 0&\textbf{d.~} $+ \infty$\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{6.} &$A$ et $B$ sont deux évènements tels que $P(A \cap B)= \dfrac25$ et
$P(A) = \dfrac23$.

Pour que $A$ et $B$ soient indépendants, $P(B)$ doit prendre la valeur :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\dfrac35$&\textbf{b.~}$\dfrac{4}{15}$&\textbf{c.~}$1$&\textbf{d.~} $\dfrac53$\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{tabular}{|c|p{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{7.} &La suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_1 = 10$
 et de raison $q = 0,3$ a pour terme général, pour tout entier $n \geqslant 1$

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $v_n = 0,3 \times 10^n$&\textbf{b.~} $v_n = 10 \times 0,3^n$\\
\textbf{c.~} $v_n = 10 \times 0,3^{n-1}$ &\textbf{d.~} $v_n = 0,3 \times 10^{n-1}$\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{8.} &La somme $S = \displaystyle\sum_{k=0}^7 u_i = u_0 + u_1 + u_7$ compte:
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} 3 termes&\textbf{b.~} c. 4 termes\\
\textbf{c.~} 7 termes&8 termes\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{9.} &La valeur que l'on doit donner à $x$ pour que les nombres 14, $x$ et 56 soient les termes consécutifs d'une suite arithmétique est:
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}  4 &\textbf{b.~}  28 &\textbf{c.~} 35 &\textbf{d.~} 224\\
\end{tabularx}&\\ \hline
\textbf{10.} &Voici une fonction écrite en langage Python :

\begin{center}\begin{tabular}{|>{\small}l|}\hline
def terme(n) :\\
\qquad u = 5\\
\qquad for i in range(1,n+1):\\
\qquad \qquad u = u-3\\
\qquad return u\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Que renvoie l'appel terme(6) ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$- 13$&\textbf{b.~} $- 16$& \textbf{c.~} $- 19$& \textbf{d.~} $-22$
\end{tabularx}&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large Mathématiques: PARTIE II}\end{center}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée}

\textbf{Durée: 1 h 30}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points}

\medskip

Depuis son inscription au patrimoine mondial de l'Unesco le 2 juillet 2018, la chaîne des Puys attire des visiteurs de plus en plus nombreux.

Le 20 août 2020, un groupe de touristes a participé à une excursion sur le site avec ascension au sommet du Puy de Dôme, soit à pied par le sentier des muletiers, soit en train panoramique, suivie d'une entrée soit à Vulcania (parc d'attraction autour du volcanisme), soit à Lemptégy (exploration des entrailles d'un volcan).

On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on note:

\begin{description}
\item[ ] $M$ : « le touriste est monté au sommet du Puy de Dôme à pied ) 
\item[ ] $T$ : « le touriste est monté au sommet du Puy de Dôme en train ) 
\item[ ] $V$ : « le touriste a pris une entrée à Vulcania )
\item[ ] $L$ : « le touriste a pris une entrée à Lemptégy )
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré en précisant les probabilités $P(T),\: P_M(L)$ et $P_T(V)$.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}\taput{0,4}}
	{\TR{$V$}\taput{0,45}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$T$~~}\tbput{}}
	{\TR{$V$}\taput{}
	\TR{$L$}\tbput{0,25}
	}
}
\end{center}

\item Vérifier que la probabilité que le touriste ait pris une entrée à Vulcania est $P(V) = 0,63$.
\item Déterminer la probabilité que le touriste soit monté en train au sommet du Puy de Dôme sachant qu'il a pris une entrée à Lemptégy.

On donnera d'abord la valeur exacte puis on arrondira au millième.
\item Le prix du ticket de train est fixé à $11,50$~\euro, l'entrée à Lemptégy à $12$~\euro{} et l'entrée à Vulcania à $25$~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la dépense en euros d'un participant à cette excursion.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Dépense $x_i$&12 &23,50& 25& 36,50\\ \hline
Probabilité&0,22&&&0,45\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Calculer la dépense moyenne par participant en euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 5 points}

\medskip

Dans le but de développer une commercialisation raisonnée en utilisant les circuits courts, la mairie d'une petite commune a regroupé les producteurs locaux favorables au projet et mis en place une distribution hebdomadaire centralisée. 

Chaque semaine, les habitants peuvent passer leur commande jusqu'au mardi 18~h et la retirer le vendredi de 18~h à 20~h à la mairie.

Le tableau suivant indique le nombre de commandes passées les premières semaines.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de la semaine $x_i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
Nombre de commandes $y_i$& 12 &15 &20 &27 &35 &48\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 1 à 6 est représenté dans le repère orthogonal ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-10)(8,60)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,60)
\psdots(1,12)(2,15)(3,20)(4,27)(5,35)(6,48)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On pose $z = \log y_i$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe, en arrondissant à $10^{-2}$
près.
		\item Représenter dans le repère orthogonal donné en annexe le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~z_i\right)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira à $10^{-2}$ près.
		\item Tracer la droite dans le repère précédent.
		\item En déduire une estimation du nombre de commandes passées la 7\up{e} semaine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 : \hfill 5 points}

\medskip

Un restaurateur prépare chaque jour $x$ repas avec $x$ compris entre 5 et 50. Le coût total quotidien de préparation de $x$ repas est, en euros:

\[C(x) = 3 x^2 - 110 x + \np{1200}.\]

 Chaque repas préparé est vendu au prix de $40$~\euro.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le bénéfice dégagé chaque jour par le restaurateur, pour $x$ repas préparés et vendus, est : 
\[B(x) = - 3x^2 + 150x - \np{1200}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $B'(x)$ et étudier son signe sur [5~;~50].
		\item En déduire le nombre de repas à préparer et à vendre chaque jour pour que le bénéfice soit maximal. Préciser ce bénéfice maximal.
	\end{enumerate}
\item Le coût moyen unitaire de préparation de $x$ repas compris entre 5 et 50, exprimé en euros, est donné par \[f(x) = \dfrac{C(x)}{x} = 3x - 110 + \dfrac{\np{1200}}{x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ de [5~;~50],
\[f'(x) = \dfrac{3(x - 20)(x + 20)}{x}.\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur [5~;~50].
		\item En déduire déterminer le nombre de repas qui donne le coût moyen unitaire minimal et préciser ce coût.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}