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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 58}
\lfoot{\small 06345}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 58 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Trouver la fraction irréductible égale à $\dfrac25 - \dfrac32 \times \dfrac{1}{15}$.&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\textbf{2.} &Développer $(2x + 3)^2$.&\\ \hline
\textbf{3.} &Factoriser $x^2 - 49$.&\\ \hline
\textbf{4.} &Résoudre l'inéquation : $3 - 2x \geqslant x + 1$.&\\ \hline
\textbf{5.} &Exprimer le nombre $\log (24)$ en fonction de $\log (2)$ et de $\log (3)$.&\\ \hline
\textbf{6.} &On considère l'expression $y = x^2 + \dfrac1t$.

Exprimer $t$ en fonction de $y$ et $x$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
Les questions 7. à 10. portent sur la même fonction $f$ définie sur 
$]- \infty~;~0[$ par $f(x) = \dfrac 2x + 3$.

La courbe de la fonction $f$ est tracée ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-8.5,-4.1)(1.2,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8.5,-4)(1.2,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-8.5,-4)(1.2,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-8.5}{-0.1}{2 x div 3 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-8.5}{1}{0.6 x mul 1 add}
\psdots[linecolor=blue](-5,-2)(0,1)\uput[d](-7.5,2.6){\red$\mathcal{C}_f$}
\uput[ul](-5,-2){\blue A}\uput[dr](0,1){\blue B}
\end{pspicture*}
\psset{unit=1cm}
\end{minipage}\\ 
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\hline
\textbf{7.} &L'image de $- 2$ par $f$ est:&\\ \hline
\textbf{8.} &Résoudre graphiquement $f(x) < 1$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Le nombre de solution(s) de l'équation
$f(x) = 0$ est:&\\ \hline
\textbf{10.} &Une équation réduite de la droite (AB) est :&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise produit des pièces de précision pour l'horlogerie et pour l'automobile. 

Chaque pièce est calibrée et doit satisfaire des normes très précises sans quoi elle est déclarée non conforme et renvoyée à l'entrepôt pour être retravaillée par les décolleteuses.

On constate que:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% des pièces sont destinées pour le secteur automobile parmi lesquelles 15\,\% sont
déclarées non conformes.
\item[$\bullet~~$]Parmi les pièces destinées à l'horlogerie, 12\,\% des pièces sont déclarées non
conformes.
\end{itemize}

On considère les évènements suivants:

\begin{description}
\item[ ] $A$ : La pièce est destinée au secteur automobile 
\item[ ] $C$ : La pièce est conforme
\end{description}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis au millième près.
}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $p(A) = 0,60$
\item Recopier et compléter l'arbre ci-contre:
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$A$~~}\taput{}}
	{
	\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}}
	{
	\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}



\begin{enumerate}[start=3]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $A \cap C$. Calculer $p(A \cap C)$.
		\item Montrer que $P(C) = 0,828$.
		\item Les évènements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ? 
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

L'étude proposée par un bureau de recherche présente l'évolution du nombre de ventes de trottinettes mécaniques et électriques enregistrées en France en 2017 et 2018.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.0025cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-100)(7,1500)
\rput(6,1400){\emph{Source: fr.statista.com}}
\psaxes[linewidth=0.1pt,Dx=10,Dy=20000](0,0)(4.5,1400)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red](1,0)(2,1330)\uput[u](1.5,1330){\small 1330000}\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](2.5,0)(3.5,102)\uput[u](3,102){\small 102000}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red](4.5,0)(5.5,1064.480)\uput[u](5,1064.480){\small 1064480}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](6,0)(7,232.749)\uput[u](6.5,232.749){\small 232749}
\uput[d](2.25,0){\footnotesize 2017}\uput[d](5.75,0){\footnotesize 2018}
\uput[d](2.25,-100){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red](0.1,50)\:\: \footnotesize Trottinettes mécaniques}\uput[d](5.75,-100){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0.1,50)\:\: \footnotesize Trottinettes électriques}
\multido{\n=0+200,\na=0+200000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

En 2018, la vente de trottinettes électriques à des particuliers a explosé par rapport à l'année précédente passant de \np{102000} à plus de \np{230000}~trottinettes vendues.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution du nombre de trottinettes vendues en France entre 2017 et 2018
\item On souhaite modéliser l'évolution des ventes de trottinettes électriques à l'aide d'une suite géométrique de raison $2,28$. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de trottinettes électriques vendues pendant l'année $(2018 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de l'entier $n$.
		\item Déterminer, d'après ce modèle, une estimation du nombre de trottinettes électriques vendues en 2022.
		\item Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^4 u(k)$. Interpréter ce résultat.
		\item On souhaite déterminer, si ce modèle se poursuit, en quelle année la vente de trottinettes électriques dépassera 2 millions d'unités vendus. 
		
Pour cela, on donne l'algorithme suivant:

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Recopier et compléter le programme.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabular}{|l|}\hline
n=2017\\ 
u=\np{232749}\\
while u$<\np{2000000}$ :\\
\quad n= \ldots\\
\quad u= \ldots\\
print(\ldots)\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une marque automobile japonaise à vocation écologique souhaite réduire la consommation de la prochaine voiture qu'ils mettront sur le marché.

Pour modéliser la consommation, on a défini la fonction $f$ sur [0~;~200] par:
\[f(x) = 0,4 \times 1,02^x,\]
où $x$ désigne la vitesse en km.h$^{-1}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(50) ; f(100)$.
		\item Interpréter les résultats.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la vitesse à partir de laquelle la consommation est supérieure à 4~L.
\item Sachant que la consommation moyenne pour un véhicule est de 7,18~L pour $100$~km parcourus, pensez-vous que la voiture a réussi sa vocation d'être plus écologique que ses concurrentes ? Justifier.
\item Après plusieurs essais, il se révèle que la consommation réelle est supérieure de 2\,\% à ce qui avait été prévu au départ.

Par quelle nouvelle fonction $f$  peut-on modéliser la consommation réelle ?
\end{enumerate}
\end{document}