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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 62}
\lfoot{\small 06349}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 62 Terminale technologique ~\decofourright}}

\smallskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\smallskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

Pour chacune des questions suivantes, déterminer \textbf{la} bonne réponse.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabular}{|c|p{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Factoriser $9x^2 - \dfrac{16}{25}$\rule[-5mm]{0mm}{11mm}&\dotfill\\ \hline
\textbf{2.} &Diminuer un prix de 10\,\% revient à le multiplier par:&\dotfill \\ \hline
\textbf{3.} &Écrire $\dfrac{4^3 \times 2^5}{8}$ sous forme de puissance de 2 :\rule[-5mm]{0mm}{11mm}&$2^{ \ldots}$\\ \hline
\textbf{4.} &Résoudre dans $\R$ l'inéquation $x^2 \leqslant 9$ :&$S = [\ldots~;~\ldots]$\\ \hline
\textbf{5.} &Dans un hôtel, 60\,\% de la clientèle est étrangère.

Parmi cette clientèle étrangère, 20\,\% des clients sont chinois.

Le pourcentage de clients chinois dans l'hôtel est:&\ldots\,\%\\ \hline
\textbf{5.} &La droite $\mathcal{D}$ passe par les points A et B tels
que A(0~;~3) et B(4~;~1). 

L'équation réduite de cette droite est:&$y = \ldots\ldots$\\ \hline
\end{tabular}
\renewcommand\arraystretch{1.4}

\newpage

\begin{tabular}{|c|p{8cm}|m{5.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{7.} &La courbe ci-après est la courbe représentative d'une fonction $A$ définie sur $[-10~;~10]$

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5,-6)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-6)(6,5)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{6}{4.5 x 1 sub dup mul 0.5 mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

À l'aide de cette courbe, compléter le tableau de signes:
&\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,1)\psframe(4,1)\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\psline(2,0.5)(2,0)\psline(3,0.5)(3,0)
\uput[u](0.5,0.4){$x$}\uput[u](1.2,0.4){$-3$}\uput[u](3.85,0.4){$5$}
\uput[u](0.5,-0.1){$A(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}\\ \hline
\textbf{8.} &Tracer dans le repère ci-contre la droite passant par le point A(1~;~3) et de coefficient directeur $-2$.&
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4,-3.1)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\end{pspicture*}
\end{center}\\ \hline
\textbf{9.} &Un prix a augmenté de 20\,\%, le pourcentage de diminution pour retrouver le prix initial est :&\ldots\ldots\,\%\\ \hline
\textbf{10.} &$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$ 
d'expression $f(x) = 4x^3 + 5x^2 + x - 1$.&$f'(x) = \dotfill$\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large Mathématiques: PARTIE II}\end{center}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée}

\textbf{Durée: 1 h 30}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points}

\medskip

La récupération du verre usagé est organisée dans une ville depuis de nombreuses années. 

La première année, $200$ tonnes de verre ont été récupérées, puis, chaque année suivante, la quantité de verre récupérée a augmenté de $30$ tonnes. 

Pour tout entier naturel $n$, avec $n :\geqslant 1$, on note $u_n$ la quantité de verre, en tonne, récupérée la $n$-ième année. Ainsi, on a $u_1 = 200$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$.
\item Déterminer la nature et la raison de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Quelle est la quantité de verre, en tonne, récupérée la dixième année ?
\item Quelle quantité totale de verre, en tonne, a été récupérée lors des $10$~premières années ?
\item Écrire, en langage Python, une fonction qui permet de calculer le nombre de tonnes de verre usagé récupérées la n-ième année.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 5 points}

\medskip

Un artisan fabrique des objets en bois d'olivier.

L'artisan estime que le coût de production mensuel, en euro, en fonction du nombre
$x$ d'objets fabriqués, est donné par la fonction $C$ définie sur [1~;~30] par : 
\[C(x) = x^2 + 60x + 121\quad \text{avec}\: 1 \leqslant x \leqslant 30.\]

On rappelle que le coût moyen mensuel correspondant à la production de $x$ objets est donné par la fonction $f$ définie sur [1~;~30] par :
\[f(x) = \dfrac{C(x)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x) = x + 60 + \dfrac{121}{x}$.
\item Pour tout réel $x$ de [1~;~30], calculer $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.
\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur [1~;~30].
\item Pour combien d'objets fabriqués le coût moyen mensuel est-il minimal ?
\item Dans ce cas, quel est le coût de production mensuel ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 : \hfill 5 points}

\medskip

Un magasin vend des appareils auditifs.

70\,\% des clients sont des personnes âgées de plus de 50 ans. 

Parmi celles-ci, 75\,\% souffrent de problèmes d'audition aux deux oreilles. 

Parmi les clients de 50 ans ou moins, 20\,\% souffrent d'un problème d'audition aux deux oreilles. 

On choisit au hasard un dossier médical d'un des clients de ce magasin. Chaque dossier a la même probabilité d'être choisi.

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire. 

Si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.

On note :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement: \og le client est âgé de plus de 50 ans \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement: \og le client souffre de problème d'audition aux deux oreilles \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'énoncé, donner $p_{\overline{A}}(D)$.
\item Construire un arbre pondéré de probabilités traduisant la situation.
\item Calculer la valeur exacte de la probabilité qu'un dossier choisi corresponde à un client de plus de 50 ans souffrant d'un problème d'audition aux deux oreilles.
\item Montrer que la probabilité d'obtenir un dossier d'un client souffrant des deux oreilles est égale à $0,585$.
\item Le client ne souffrant pas des deux oreilles, calculer la probabilité qu'il soit âgé de plus de 50 ans. 

On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
\end{enumerate}
\end{document}