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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 64}
\lfoot{\small 06351}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 64 Terminale technologique ~\decofourright}}

\smallskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\smallskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\emph{Les questions de cet exercice sont indépendantes.\\
Aucune justification n'est attendue.}

\bigskip

\begin{tabular}{|c|p{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Résoudre dans $\R$ l'inéquation $2x - 5 > 4x +3$.&\\ \hline
\textbf{2.} &Résoudre dans $\R$ l'équation : $x^2 = 81$.&\\ \hline
\textbf{3.} &Donner la forme développée et réduite de l'expression : 
\[A = (2x + 1)(3x - 2) + 5x - 4.\]&\\ \hline
\textbf{4.} &Écrire le nombre $1,024$ sous forme de fraction irréductible:&\\ \hline
\textbf{5.} &On passe de l'indice $120$ à l'indice $180$.

Déterminer le taux d'évolution sous forme de pourcentage.&\\ \hline
\textbf{6.} &À quelle évolution globale correspond une augmentation de30\,\%suivie d'une diminution de 20\,\% ?&\\ \hline
\textbf{7.} &Soit une courbe $C$ d'équation $y = - x^3 + 3x^2 - 2$.

Calculer l'ordonnée du point A d'abscisse 2 appartenant à la courbe $C$.&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{tabular}{|c|p{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{8.} &Les courbes respectives de la fonction $f$ et de la fonction $g$ définies sur $[-2~;~3]$ sont représentées ci-dessous.

Par lecture graphique, répondre aux questions a, b et c.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-5)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-5)(4,4)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2,-2)(-1,-3)(0,-3.5)(1,-3)(1.525,-2)(2,0)(2.4,2)(3,3)\uput[l](2.4,2.5){$\red \mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1.25pt](-2,-4)(3,1)\uput[dr](-1.9,-3.9){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{a.~} Résoudre graphiquement $f(x) \leqslant g(x)$.&\\ \hline
&\textbf{b.~} Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\phantom{\frame(1.5,1.5)}
\vspace*{2cm}&\vspace*{4cm}\\ \hline
&\textbf{c.~} La courbe représentative de la fonction $g$ est la droite. Déterminer l'expression de $g(x)$.&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large Mathématiques: PARTIE II}\end{center}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée}

\textbf{Durée : 1 h 30}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise produit quotidiennement entre une et vingt tonnes de peinture.

Le coût total de production, en milliers d'euros, de $x$ tonnes de peinture est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par : 
\[C(x) = 0,05x^2 - 0,1x + 2,45.\]

Pour une production de $x$ tonnes de peinture, on appelle coût unitaire, $f(x)$, le coût 
de production, en milliers d'euros, d'une tonne de peinture.

Ainsi, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~20] :
\[f(x) = \dfrac{C(x)}{ x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x$ de [1~;~20],
\[f(x) = 0,05x - 0,1 + \dfrac{2,45}{x}.\]
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de fonction $f$. 

Calculer $f'(x)$ puis démontrer que pout tout réel $x$ de [1~; 20]:
\[f'(x) = 0,05\left(x^2 - 49\right).\]

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [1~;~20].

En déduire le coût unitaire minimal et la quantité de peinture pour lequel il est atteint.

L'entreprise fixe le prix de vente d'une tonne de peinture à $670$~\euro.
\item On définit la fonction bénéfice $B$ (exprimé en milliers d'euros) comme différence entre la recette obtenue en milliers d'euros pour $x$ tonnes de peinture et le montant des coûts générés en milliers d'euros par la fabrication de ces $x$ tonnes de peinture.

Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ tonnes de peinture produites et vendues est donné par la fonction $B$ définie sur [1~;~20] par 
\[B(x) = -0,05x^2 + 0,77x - 2,45.\]

\item Calculer $B'(x)$ et en déduire le tableau de variation de $B$.

Pour quelle quantité de peinture produite et vendue le bénéfice est-il maximal ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise familiale fabrique de la confiture de fraises biologiques. 

Elle achète ses fruits auprès de deux fournisseurs locaux A et B.

25\,\% des fruits proviennent du fournisseur A et les autres du fournisseur B.

95\,\% des fruits provenant du fournisseur A sont retenus pour la fabrication de la confiture.

80\,\% des fruits provenant du fournisseur B sont retenus pour la fabrication de la confiture.

On choisit un pot de confiture au hasard dans la production.

On note $A, B$ et $C$ les évènements:
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og les fruits utilisés proviennent du fournisseur A \fg
\item[ ] $B$ : \og les fruits utilisés proviennent du fournisseur B \fg
\item[ ] $C$ : \og les fruits sont retenus pour la fabrication de la confiture\fg
\end{description}

Les résultats seront arrondis au centième près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilité décrivant la situation sur l'annexe qui est à rendre avec la copie.
\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap C$, puis calculer $p(A \cap C)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $p(C)$, arrondie au centième, est égale à $0,84$.
		\item Les évènements $A$ et $C$ sont-ils indépendants? 
	\end{enumerate}
Justifier la réponse.
\item Calculer $p_C(A)$. Interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 : \hfill 5 points}

\medskip

Depuis sa création au 1\up{er} janvier 2019, une start-up a vu son chiffre d'affaires augmenter de 5\,\% par mois sachant que ce chiffre d'affaires était de \np{32000}~\euro{} pour le mois de janvier 2019.

On fait l'hypothèse que cette évolution va se poursuivre dans les mois à venir.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $C_n$ le chiffre d'affaires en euros du $n$-ième mois
après la création de la start-up. On a ainsi $C_0 = \np{32000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\item Quel sera le chiffre d'affaires de la start-up pour toute l'année 2019 ?
\item L'entreprise pourra s'agrandir et embaucher de nouveaux collaborateurs si son chiffre d'affaires mensuel dépasse \np{70000}~\euro.

Le programme écrit en langage Python ci-dessous détermine le rang $n_0$ du mois à partir duquel cet agrandissement est possible.

Compléter ce programme sur l'annexe qui est à rendre avec la copie afin qu'il renvoie
le rang du mois à partir 
duquel cet agrandissement est possible.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def CA( ) :\\
\qquad n=0\\
\qquad C = \np{3200}\\
\qquad while \ldots\\
\qquad \qquad n= n+1\\
\qquad \qquad C= \ldots\\
\qquad return (n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Après exécution de ce programme, on obtient l'affichage suivant : >>> 17.

 Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3 - question 1}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$~~}\naput{$\ldots\ldots$}}
	{
\TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$}
\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\ldots\ldots$}
	}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$~~}\nbput{$\ldots\ldots$}}
	{
\TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$}
\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\ldots\ldots$}
	}
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 4 - question 4}

\bigskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
def CA( ) :\\
\qquad n=0\\
\qquad C = \np{3200}\\
\qquad while \ldots\\
\qquad \qquad n= n+1\\
\qquad \qquad C= \ldots\\
\qquad return (n)\\ \hline
\end{tabular}



\end{center}
\end{document}