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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 65}
\lfoot{\small 06352}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 65 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les questions de cet exercice sont indépendantes.\\Aucune justification n'est attendue.}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Le chiffre d'affaires d'une start-up informatique a augmenté de $10$\,\% entre 2018 et 2019, puis de $20$\,\% entre 2019 et 2020.

Quel est le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires de cette entreprise entre 2018 et 2020 ?
&\\ \hline
\textbf{2.} &Résoudre l'équation : $3(x - 5) = -x + 8$.&\\ \hline
\textbf{3.} &Dresser le tableau de signes de l'expression :

$- 5(x + 1)(x - 4)$.&\\ \hline
\textbf{4.} &Le paquet de cookies qui coûtait initialement $3$~\euro{} est aujourd'hui au prix de $2,10$~\euro.

Quel est le pourcentage de la remise effectuée aujourd'hui en magasin sur ce paquet de cookies ?&\\ \hline
\textbf{5.} &$f$ est la fonction définie sur $\R$ par: $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - x + 5$.&L'image de $- 2$ par $f$ est :

 \dotfill\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{6.} &$f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.&Compléter :

$f'(x) = \dotfill$\\ \hline
\textbf{7.} &Après une baisse de prix de $20$\,\%, un article coûte $104$~\euro.

Quel était son prix initial avant réduction ?&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\hline
\textbf{8.} &Factoriser :

$4(3x + 1)- (x - 5)(3x +1)$.&\\ \hline
\textbf{9.} &On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $g$ dans un repère orthonormé.

La droite (AB) est la tangente à la courbe représentative de $g$ au point A d'abscisse $-3$.

\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-6,-6)(3,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-6)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-6,-6)(3,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-8.5}{-0.1}{x 3 exp x dup mul 5 mul add 4 x mul sub 20 sub 0.25 mul}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{-3}{8}{x 3 exp x dup mul 5 mul add 4 x mul sub 20 sub 0.25 mul}
\psdots[linecolor=blue](-3,2.5)(2,-5)\uput[d](-5.7,-4.5){\red$\mathcal{C}_g$}
\uput[ur](-3,2.5){\red A}\uput[ur](2,-5){\red B}
\end{pspicture*}&Compléter à l'aide d'une lecture
graphique :

$g'(-3) = \dotfill$\\ \hline
\textbf{10.} &\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-2)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-2)(4,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 2  mul 1 sub}
\psdots[linecolor=blue](1,1)(2,3)
\uput[dr](1,1){\blue C}\uput[dr](2,3){\blue D}
\end{pspicture*}&L'équation réduite de la droite (CD) tracée dans le repère orthonormé ci-contre est :

\dotfill \\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\Large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La mairie d'un petit village a organisé une fête locale: un certain nombre d'entrées gratuites ont été distribuées aux habitants et des stands ont été installés pour la vente de produits locaux.

\medskip

$40$\,\% des visiteurs de la fête ont eu une entrée gratuite, les autres ont payé leur entrée.

Parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite, $45$\,\% ont effectué un achat dans un des stands.

Parmi ceux ayant payé leur entrée, $65$\,\% n'ont rien acheté.

\medskip

On interroge au hasard un des visiteurs de la fête à la fin de la journée. 

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $G$ l'évènement: \og le visiteur a eu une entrée gratuite \fg,
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement: \og le visiteur a effectué un achat \fg.
\item[$\bullet~~$] $\overline{G}$ est l'évènement contraire de $G$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilité situé sur l'\textbf{annexe qui sera à rendre avec la copie}.
\item Calculer la probabilité de l'évènement suivant: \og le visiteur a eu une entrée gratuite et a effectué un achat \fg.
\item Montrer que la probabilité que le visiteur ait effectué un achat est égale à $0,39$.
\item Calculer la probabilité que le visiteur ait payé son entrée sachant qu'il a effectué un achat. On arrondira à $0,01$ près le résultat.
\item Les évènements $G$ et $A$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On estime à $294$ milliards le nombre d'e-mails envoyés et reçus chaque jour dans le monde en 2019.

On estime qu'à partir de 2019, le nombre d'e-mails échangés quotidiennement dans le monde augmente chaque année de $4,2$\,\%.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'e-mails échangés quotidiennement, exprimé en milliards, au cours de l'année $2019 + n$. On définit ainsi une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 294$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier $n$.
\item En déduire une estimation du nombre d'e-mails échangés chaque jour en 2023. 

On arrondira le résultat à $0,1$ milliard près.
\item On souhaite déterminer le rang de l'année à partir de laquelle le nombre quotidien d'e-mails échangés dans le monde sera supérieur à $400$~milliards. 

Compléter le programme écrit en langage Python, situé sur l'annexe qui est à rendre avec la copie, afin qu'il permette d'obtenir le rang cherché.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabular}{l}
def suite() : \\
\qquad n=0\\
\qquad u=294\\
\qquad while \\
\qquad \qquad n=n+1\\
\qquad \qquad u=\ldots\\
\qquad return (n)\\
\end{tabular}
\end{center}
\item Donner une estimation du nombre total de milliards d'e-mails échangés dans le monde entre 2019 et 2026 (on pourra considérer que chacune de ces années comprend $365$~jours).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

L'entreprise \emph{Bois Énergie} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

Cette entreprise produit entre $30$ et $100$~tonnes de granulés par jour.

Le coût moyen, exprimé en euros, de production d'une tonne de granulés de bois pour $x$ tonnes produites est modélisé par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie sur [30~;~100] par:
\[f(x) = 20x - \np{2300} + \dfrac{\np{72000}}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ puis montrer que pour tout réel $x$ de [30~;~100] :
\[f'(x) = \dfrac{20(x - 60)(x + 60)}{x^2}.\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [30~;~100] puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur [30 ; 100].
\item Pour quelle quantité de granulés de bois fabriqués par jour, le coût moyen de production d'une tonne est-il minimal? Quel est ce coût moyen minimal?
\item On estime que la demande en tonnes de granulés de bois par jour à compter du 1\up{er} janvier 2021 auprès de l'entreprise est modélisée par la fonction $g$ définie par 
\[g(t) = 50 \times 1,025^t\]
où $t$ correspond au temps écoulé en mois depuis le 1\up{er} janvier 2021.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ce modèle, estimer la demande en tonnes de granulés de bois au 1\up{er} juillet 2021.
		\item Sachant que la capacité maximale de production de cette entreprise est de $100$~tonnes de granulés de bois par jour, à quelle date l'entreprise \emph{Bois Énergie} ne sera plus en capacité de répondre à la totalité de la demande ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}
\\[15pt]
\textbf{Exercice 2 - Question 1}\end{center}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$~~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\begin{center}\textbf{Exercice 3 - Question 4}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabular}{l}
def suite() : \\
\qquad n=0\\
\qquad u=294\\
\qquad while \\
\qquad \qquad n=n+1\\
\qquad \qquad u=\ldots\\
\qquad return (n)\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}