\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {e3c}, %pdftitle = {06355} %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2021} \rfoot{\small \no 68} \lfoot{\small 06355} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 68 Terminale technologique ~\decofourright}} \medskip \textbf{PARTIE I} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes} \medskip Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. Aucune justification n'est demandée. \medskip \renewcommand\arraystretch{1} \newcommand\Th{\rule{0pt}{2.6ex}} % Top strut \newcommand\Bb{\rule[-1.2ex]{0pt}{0pt}} % Bottom strut \begin{tabular}[t]{|c|m{9cm}|m{4cm}|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline \textbf{1.} &On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^3$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$.&\\ \hline \textbf{2.} &Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 4x^2 - 3x + 2$.&\\ \hline \textbf{3.} &Factoriser l'expression suivante : \vspace*{-0.4cm}\[(x - 1)^2 - (x - 1)(2x + 4)\]\vspace*{-0.6cm}&\\ \hline \textbf{4.} &Résoudre, dans $\R$, l'inéquation suivante: \vspace*{-0.4cm}\[3x - 1 < 4(x + 2).\]\vspace*{-0.6cm}&\\ \hline \textbf{5.} &Une moto coute \np{7000}~\euro. Son prix augmente de 5\,\%. Calculer son nouveau prix.&\\ \hline \textbf{6.} &Recopier la proposition qui permet de compéter correctement la phrase suivante: \og Pour compenser une diminution de 3\,\%, il faut \fg \textbf{a.} \og...multiplier la valeur diminuée par 1,03.\fg \textbf{b.} \og...multiplier la valeur diminuée par 0,97.\fg \textbf{c.} \og...diviser la valeur diminuée par 1,09.\fg \textbf{d.} \og...diviser la valeur diminuée par 0,97.\fg&\\ \hline \textbf{7.} &Le prix d'un produit subit deux diminutions de 5\,\% puis trois augmentations de 4\,\%. Écrire le calcul qui permet d'obtenir le taux d'évolution équivalent à ces cinq évolutions successives.&\\ \hline \end{tabular} \medskip \begin{tabular}[t]{|c|m{9cm}|m{4cm}|}\hline \multicolumn{3}{|m{14.35cm}|}{Les questions 8., 9. et 10. portent sur le diagramme ci-dessous qui représente les résultats d'une équipe de rugby pendant une saison. \psset{unit=0.85cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.3)(15,12.2) \psaxes[linewidth=0pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(15,12) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-0.2,0)(0.2,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0.8,0)(1.2,11) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1.8,0)(2.2,6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](2.8,0)(3.2,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3.8,0)(4.2,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.8,0)(5.2,4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](7.8,0)(8.2,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](8.8,0)(9.2,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](11.8,0)(12.2,1) \uput[d](7.5,-0.8){Nombre d'essais}\rput{90}(-1.2,6){Nombre de matchs} \end{pspicture}}\\ \hline \textbf{8.}&Au cours de combien de matchs l'équipe a-t-elle marqué exactement 4 essais ?&\\ \hline \textbf{9.}&Combien de matchs l'équipe a-t-elle disputé pendant cette saison ?&\\ \hline \textbf{10.}&Quel est le nombre moyen d'essais marqués par match pendant cette saison ?&\\ \hline \end{tabular} \renewcommand\arraystretch{1} \newpage \textbf{\large Partie II} \medskip \textbf{Calculatrice autorisée} \textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Pour leur résidence principale, M. et M\up{me} Pecoud hésitent entre continuer à louer leur appartement ou en devenir propriétaire pour \np{230000~}.\euro. En 2020, leur loyer annuel est de \np{7500}~\euro. Ce loyer annuel augmente chaque année de 180~\euro. On modélise le prix des loyers par une suite arithmétique $\left(u_n\right)$. Ainsi, pour tout entier naturel $n,\: u_n$ désigne le loyer annuel pour l'année $2020 + n$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_0$ et $u_1$. \item Pour tout $n \geqslant 0$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Calculer le loyer annuel de l'appartement en 2027. \item Après $10$ années de location, quelle somme le couple aura-t-il dépensé pour payer ses loyers ? \end{enumerate} L'appartement est proposé à la vente au prix de \np{230000~}~\euro. De plus, la situation du couple lui permet de bénéficier d'un prêt à taux zéro (c'est-à-dire qu'il n'a pas à payer d'intérêts sur la somme empruntée pour l'achat de l'appartement). \begin{enumerate}[resume] \item Si le couple décide de rester locataire de cet appartement, en quelle année le montant total des loyers versés dépassera-t-il \np{230000~}.\euro, prix auquel il aurait pu acheter l'appartement ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \medskip Un agriculteur du Cantal produit des yaourts et des fromages. Certains sont produits selon les normes de l'Agriculture Raisonnée et d'autres selon celles de l'Agriculture Biologique. En moyenne, l'agriculteur produit chaque mois $936$ yaourts, dont $351$ selon les normes de l'Agriculture Biologique, et $264$ fromages, dont $198$ selon les normes de l'Agriculture Raisonnée. L'agriculteur effectue chaque mois un contrôle de qualité sur un produit choisi au hasard parmi les \np{1200} de sa production mensuelle. Chaque produit a la même probabilité d'être choisi. On considère les évènements suivants: \begin{itemize} \item $Y$ : \og Le produit choisi est un yaourt. \fg. \item $F$ : \og Le produit choisi est un fromage. \fg. \item $B$ : \og Le produit respecte le cahier des charges de l'Agriculture Biologique. \fg. \item $R$ : \og Le produit respecte le cahier des charges de l'Agriculture Raisonnée. \fg. \end{itemize} Dans les questions suivantes, on donnera les valeurs exactes des probabilités demandées. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $p(y) = 0,78$. \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous. \end{enumerate} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$Y$~~}\taput{}} {\TR{$B$}\taput{} \TR{$R$}\tbput{} } \pstree{\TR{$F$~~}\tbput{}} {\TR{$B$}\taput{} \TR{$R$}\tbput{} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Décrire par une phrase l'évènement $Y \cap B$, puis calculer $p(Y \cap B)$. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à \np{0,3475}. \item Les évènements $Y$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip Une entreprise investit, au 1\up{er} janvier 2020, dans un équipement industriel coûtant \np{40000}~\euro, et sa dirigeante souhaite souscrire une assurance sur cet équipement. \medskip \begin{enumerate} \item La compagnie d'assurance contactée estime que, chaque année, la valeur de cet équipement industriel va baisser de 14\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur estimée de cet équipement au 1\up{er} janvier 2021, puis au 1er janvier 2022. \item Pour tout entier $n \geqslant 0$, justifier que la valeur de l'équipement industriel au 1\up{er} janvier de l'année $2020 + n$ peut s'écrire : $\np{40000} \times 0,86^n$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par \[f(t) = \np{40000} \times 0,86^n.\] \begin{enumerate} \item Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur [0~;~20] ?Justifier la réponse. \item Résoudre par le calcul l'inéquation $f(t) \leqslant \np{10000}$ et en déduire l'année à partir de laquelle la valeur de l'équipement industriel sera inférieure au quart de sa valeur initiale. \end{enumerate} \end{enumerate} La compagnie d'assurance propose à l'entreprise un contrat qui coûte chaque année 15\,\% de la valeur estimée cette année-là pour l'équipement industriel. Ainsi, pour tout entier $n \geqslant 0$, le coût de l'assurance pour l'année $2020 + n$ est: $\np{40000} \times 0,86^n \times \dfrac{15}{100}$ soit $\np{6000} \times 0,86^n$. \begin{enumerate}[resume] \item La dirigeante se demande en combien d'années le coût total de l'assurance aura dépassé la valeur initiale de l'équipement. Recopier et compléter l'algorithme ci- dessous pour qu'à la fin de son exécution, il renvoie le nombre souhaité. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline def nombre\_d\_années():\\ \qquad n=1\\ \qquad a=\np{6000}\\ \qquad while \hfill\\ \qquad \qquad a= \ldots\\ \qquad \qquad n=n+1\\ \qquad return( )\\ \hline \end{tabular} \end{center} . \end{document} \newcommand\T{\rule{0pt}{2.6ex}} % Top strut \newcommand\B{\rule[-1.2ex]{0pt}{0pt}} % Bottom strut \begin{tabular}[t]{|c|c|l|} \hline \multicolumn{3}{|c|}{Laplace transforms\T\B}\\\hline $f(t)$ \T & $(p)$ \B & with struts \\\hline $\delta(t)$ & $1$ \T & optional arg.\\[.5ex] $\cos\omega_0t$ & $\frac{p}{p^2+\omega_0^2\B}$ & \\\hline \end{tabular}