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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 70}
\lfoot{\small 06357}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 70 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{\Large PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Développer puis réduire l'expression suivante:
\[A = 3\left(x^2 - 7\right) - \left(1- 2x^2\right).\]&\\ \hline
\textbf{2.} &Dériver la fonction $f$ définie sur $\ $ par:

$f(x) =- 2x^3+ 5x$&\\ \hline
\textbf{3.} &On considère les trois nombres A, B et C donnés ci-dessous. Lequel est le plus grand ?
\[A = \dfrac{10}{3} - \dfrac16\qquad B = \dfrac{15}{8} - \dfrac14\qquad  C = \dfrac52 + \dfrac18.\]&\\ \hline
\textbf{4.} &Convertir 0,012 kilomètres en centimètre.&\\ \hline
\textbf{5.} &Calculer 25\,\% de $56$~\euro.&\\ \hline
\textbf{6.} &À quel pourcentage correspond 40\,\% de 20\,\% ?&\\ \hline
\textbf{7.} &Exprimer $\dfrac58$ sous forme de pourcentage.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Pour les questions 8., 9. et 10., on considère une fonction $f$ définie sur $[-1,5~;~3,5]$.

Cette fonction est représentée graphiquement dans le repère ci-dessous par la courbe $\mathcal{C}_f$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(4,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt](-2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.9,-1.6)(4,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-1.5}{3.5}{x 4 exp 4 div x 3 exp sub x dup mul 0.04 mul sub 2.496 x mul add}\uput[r](3.5,2.75){\green $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\textbf{8.} &Combien 0 a-t-il d'antécédent(s) par la fonction $f$ ?&\\ \hline
\textbf{9.} &Compléter le tableau de signes ci-contre.

\emph{Les valeurs utiles dans le tableau seront données avec la précision permise par le graphique.}&\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(6,1)\psline(0,0.5)(6,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.4){$x$}\uput[u](1.5,0.4){$-1,5$}\uput[u](5.5,0.4){3,5}
\uput[u](0.5,-0.15){$f(x)$}
\end{pspicture}\\ \hline
\textbf{10.} & Quel est le maximum de la fonction $f$ sur [0~;~3,5] ?&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\Large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Les bénéfices annuels, en millions d'euros pour les années 2002 à 2010, d'une entreprise spécialisée dans la sécurité informatique sont donnés dans le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline
Rang $x_i$& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
Bénéfice annuel $y_i$ (en millions d'euros)&44 &52,5 &55,3 &61 &68,1 &71,5 &75,8 &85 &94\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En 2010, la direction de l'entreprise a décidé de modéliser l'évolution de ses bénéfices annuels par un ajustement affine. 

Dans le repère ci-dessous, sont représentés:

\begin{itemize}
\item le nuage de points associé à la série des bénéfices annuels de 2002 à 2010 ;
\item un ajustement affine de cette série à l'aide de la droite $\left(d_1\right)$ passant par les points
A et B de coordonnées respectives (0~;~44) et (8~;~94).
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.125cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-0.5,-5)(9.5,60)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Oy=40,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(9.5,60)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{9}{x 6.25 mul 4 add}
\uput[dr](9,60){$\left(d_1\right)$}
\psdots(0,4)(1,12.5)(2,15.3)(3,21)(4,28.1)(5,31.5)(6,35.8)(7,45)(8,54)
\uput[dr](0,4){A}\uput[ul](8,54){B}\uput[u](8.2,0){Rang de l'année $x_i$}\uput[r](0,58){Bénéfice annuel $y_i$ (en millions d'euros)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (dl).
		\item Estimer,à l'aide de ce modèle, le bénéfice annuel de l'entreprise en 2020.
	\end{enumerate}	
\item Modélisation par la méthode des moindres carrés : à l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $\left(d_2\right)$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 

Arrondir les coefficients au millième.
\end{enumerate}

Pour la suite, on admettra que la droite $\left(d_2\right)$ a pour équation $y = 5,82x + 44,2$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On appelle \og modèle 1 \fg{} la modélisation des bénéfices de l'entreprise par la droite
$\left(d_1\right)$ et \og modèle 2 \fg{} la modélisation de ces bénéfices par la droite $\left(d_2\right)$.

Sachant qu'en 2020, la multinationale a réalisé un bénéfice annuel de $147,9$~millions d'euros, quel modèle semble le plus pertinent ?

Justifier la réponse.
\item En utilisant le \og modèle 2 \fg, déterminer à partir de quelle année l'entreprise peut espérer un bénéfice annuel de plus de $200$ millions d'euros.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

L'équipe de tournage d'une série fait appel à une société de démarchage téléphonique afin de recruter des figurants bénévoles pour le dernier épisode de la saison de cette série.

La société de démarchage estime que lorsqu'une personne est contactée pour ce type de demande, la probabilité qu'elle accepte est de $0,04$.

En une heure, un conseiller de cette société peut contacter $30$~personnes différentes.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui acceptent la demande parmi celles contactées par un conseiller en une heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'en une heure, toutes les personnes appelées par un conseiller refusent la demande.
\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'en une heure, exactement une des personnes contactées par un conseiller accepte la demande.
\item Calculer $E(X)$ et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
\item Combien la société doit-elle prévoir d'heures de travail pour ses conseillers pour espérer recruter les 55 figurants dont l'équipe de tournage a besoin ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Le prix de vente moyen d'un téléphone vendu sur Internet évolue au fil des mois. Une étude sur 16 sites de vente en ligne a permis de modéliser le prix moyen en euros de ce téléphone par la fonction $f$ définie sur [0~;~30] par 
\[let) = 265 \times (0,948)^t,\]
où $t$ est le nombre de mois écoulés depuis la mise sur le marché de ce téléphone.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $f(0)$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\item Quel est le sens de variations de la fonction $f$ sur [0~;~30] ? Justifier la réponse.
\item Après combien de mois suivant sa mise sur le marché le prix moyen de ce téléphone sera-t-il inférieur à 180 € pour la première fois?
\item Quel est le pourcentage d'évolution entre le prix moyen à la mise sur le marché du téléphone et son prix moyen après deux ans ? Arrondir à 0,01\,\%.
\item On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def prix\_moyen(prix,reduc):\\
\quad t=0\\
\quad p=prix\\
\quad while p $>$prix*(1$-$reduc/100):\\
\quad \qquad t=t+1\\
\quad \qquad p=prix*0.948**t \\
\quad return(t)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Lorsque la commande prix\_moyen(265,75) est exécutée, ce programme renvoie le nombre 26.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{document}