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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c Sujet 0~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :

\begin{itemize}
\item un contrat \og Tous risques \fg dont le montant annuel est de 500~\euro{} ;
\item un contrat \og de base \fg dont le montant annuel est de 400~\euro.
\end{itemize}

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :

\begin{itemize}
\item 60\,\% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans). Les autres clients ont un véhicule ancien ;
\item  parmi les clients possédant un véhicule récent, 70\,\% ont souscrit au contrat \og Tous risques \fg{} ;
\item  parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50\,\% ont souscrit au contrat \og Tous risques \fg.
\end{itemize}

On considère un client choisi au hasard.

D’une manière générale, la probabilité d’un évènement $A$
 est notée $P(A)$ et son évènement contraire est noté $\overline{A}$.

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $R$ : \og le client possède un véhicule récent \fg{} ;
\item  $T$ : \og le client a souscrit au contrat \og Tous risques \fg.
 \end{itemize}
 
On note $X$  la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
\item  Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat \og Tous risques \fg, c’est-à-dire calculer $P(R \cap T)$.
\item  Montrer que $P(T)=0,62$.
\item  La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$  et $b$.

Déterminer ces deux valeurs, les probabilités $P(X=a)$
 et $P(X=b)$, puis l’espérance de $X$.
\end{enumerate}
\end{document}
.