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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small 06298}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 11 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\emph{Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. Aucune justification n'est demandée}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac47 \times \dfrac{7}{16} - \dfrac18$.&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\textbf{2.} &Écrire sous la forme d'une seule puissance de 5 : 
\begin{center}$\dfrac{5^7 \times \left(5^{-1}\right)^2 \times 25}{5^4}.$\end{center}&\\ \hline
\textbf{3.} &Le prix d'un article subit une baisse de $10$\,\%puis une hausse de 20\,\%.

Calculer le taux d'évolution global de ce prix.&\\ \hline
\textbf{4.} &On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\begin{center}$f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1.$\end{center}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(x)$.&\\ \hline
\textbf{5.} &On injecte à un patient une dose de 4~ml d'un médicament.

La quantité de ce médicament présente dans le sang diminue de 15\,\% toutes les heures.

Préciser la nature de la suite modélisant cette situation et donner sa raison.&\\ \hline
\textbf{6.} &On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\begin{center}$f(x) = -2(x - 1)(x + 4)$.\end{center}
Compléter le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$.&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1)
\psframe(5,1)\psline(0,0.5)(5,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.4){$x$}\uput[u](0.5,-0.1){$f(x)$}
\uput[u](1.4,0.5){$- \infty$}\uput[u](4.6,0.5){$+ \infty$}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~3,5]$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

La tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $-1$ est également tracée. Elle passe par le point de coordonnées (0~;~2,5).

\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3,comma=true,algebraic}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.25)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-2.5,-1.25)(4,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{3.5}{0.25*(x^3-2*x^2-5*x+6)}
%\psplotTangent{-1}{2}{0.25*(x^3-2*x^2-5*x+6)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{0.5}{0.5*x+2.5}
\uput[l](3.5,1.75){\red $\mathcal{C}_f$}\uput[d](0.5,2.75){$(T)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Répondre aux questions 7. à 10. avec la précision permise par le graphique.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{7.} &Donner l'image de 2 par la fonction $f$.&\\ \hline
\textbf{8.} &Résoudre sur l'intervalle $[-2~;~3,5]$ l'équation $f(x) = 1$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Résoudre sur l'intervalle $[-2~;~3,5]$ l'inéquation $f(x) < 0$.&\\ \hline
\textbf{10.} & Déterminer $f'(-1)$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

En fin d’année 2018, on comptait en France métropolitaine $75,6$~millions de cartes SIM en
service (carte électronique permettant d’utiliser un réseau de téléphonie mobile avec un
téléphone mobile).

\medskip 
On suppose qu’à partir de l’année 2019 le nombre de cartes SIM en service augmente
chaque semestre (six mois) de 1,5\,\%.

\medskip
On modélise le nombre de cartes SIM en service à l’aide d’une suite $\left(u_n\right)$. On pose $u_0= 75,6$
et pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de cartes SIM en service, exprimé en
million, à la fin du $n$-ième semestre à partir du début de l’année 2019.

Ainsi $u_1$ représente le nombre de cartes SIM en service à la fin du 1er semestre de l’année
2019, c’est-à-dire fin juin 2019.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_1$.
\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de cartes SIM en service fin décembre 2021, arrondi au million près.
\item L’ARCEP (Autorité de régulation des communications électroniques, des postes et de la
distribution de la presse) souhaite connaître l’année à partir de laquelle le nombre de
cartes SIM en service dépassera les 85 millions.

Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution la variable
n contienne le nombre de semestres pour atteindre le seuil des $85$~millions de cartes SIM
en service.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
\cellcolor{lightgray}1 & $u=75.6$\\

\cellcolor{lightgray}2 & $n=0$\\

\cellcolor{lightgray}3 & while $\cdots$ :\\

\cellcolor{lightgray}4 & \hspace{0.5cm} $u=1.015*u$\\

\cellcolor{lightgray}5 &\hspace{0.5cm} $n=n+1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip
La téléconsultation consiste à réaliser des consultations à distance avec un médecin, par
opposition aux consultations classiques, réalisées dans un cabinet médical.

\medskip
Une enquête concernant ces téléconsultations a été réalisée dans une grande ville.
Les résultats sont les suivants :

\medskip
$\bullet$ \parbox[t]{13.8cm}{25 \% des personnes interrogées ont moins de 25 ans. Parmi ces personnes, 60 \%
préfèrent une téléconsultation.}

\medskip
$\bullet$ \parbox[t]{13.8cm}{35 \% des personnes interrogées ont entre 25 et 50 ans. Parmi ces personnes, 50 \%
préfèrent une téléconsultation.}

\medskip
$\bullet$ \parbox[t]{13.8cm}{Le reste des personnes interrogées ont plus de 50 ans. Parmi ces personnes, 20 \%
préfèrent une téléconsultation.}

\medskip
On choisit au hasard une personne interrogée. On considère les évènements suivants :

\hspace{1cm} $J$ : \og La personne interrogée a moins de 25 ans \fg

\hspace{1cm} $M$ : \og La personne interrogée a entre 25 et 50 ans \fg

\hspace{1cm} $S$ : \og La personne interrogée a plus de 50 ans \fg

\hspace{1cm} $V$ : \og La personne interrogée préfère une téléconsultation \fg

L’évènement contraire de $V$ est noté $\overline{V}$.
\begin{enumerate}
\item À partir de ces informations, calculer :
	\begin{enumerate}
	\item la probabilité de l’évènement $S$, notée $P(S)$ ;
	\item la probabilité que la personne interrogée préfère une consultation classique sachant qu’elle a entre 25 et 50 ans.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous :

\begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$J$}\naput{$0,25$}}
{ 
\TR{$V$}\naput{$0,6$}
\TR{$\overline{V}$}\nbput{$\ldots$}
}
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$ $}}
{
\TR{$V$}\naput{$\ldots$}
\TR{$\overline{V}$}\nbput{$\ldots$} 
}
     \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$S$}\nbput{$\ldots$}}
{
\TR{$V$}\naput{$\ldots$}
\TR{$\overline{V}$}\nbput{$\ldots$} 
}
}

\end{center}
\item Définir par une phrase l’évènement $J\cap V$, puis calculer sa probabilité.
\item Montrer que $P(V)= 0,405$.
\item Calculer $P_V(J)$. Donner le résultat à $0,01$~près et l’interpréter dans le contexte de
l’exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

La qualité de l’eau d’une rivière est en permanence contrôlée en mesurant notamment la
concentration en nitrates.

\medskip
À la suite d’une forte averse, on modélise la concentration en nitrates de cette rivière,
exprimée en mg/L, par la fonction f définie sur l’intervalle $[1 ; 12]$ par
\[f(t)= 60 \times 0,89^t\]
où $t$ désigne le temps écoulé, en heure, depuis la forte averse, avec $1 \leqslant t\leqslant 12$.

\medskip
La courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1 ; 12]$ est fournie {\bf en annexe à
rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Avec la précision permise par le graphique, déterminer $f(3)$. Interpréter le résultat trouvé
dans le contexte de l’exercice.
\item La concentration en nitrates doit être inférieure ou égale à $40$~mg/L pour que l’eau de la
rivière soit potable.
Déterminer graphiquement à partir de quel instant l’eau redevient potable. On fera
apparaître les traits de construction utiles à la lecture sur {\bf la feuille annexe}.
\item On admet que la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $t\mapsto 0,89^t$  définie
sur $[1~;~12]$.

Déterminer le sens de variation de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate} 
	\item Résoudre par le calcul l’inéquation $f(t)\geqslant 20$.
	\item Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\Large Annexe à rendre avec la copie}

{\large Exercice 3}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-0.5,-5.5)(12,13.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-0.5,-0.5)(13.4,13.4)
\multido{\n=0.0+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,13.4)}
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(13.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,yunit=0.2,Dy=5]{->}(0,0)(-0.5,-5)(13.4,67)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,yunit=0.2,linecolor=blue]{1}{12}{60*0.89^x}
\uput[u](12,0){Temps en heures}
\uput[r](0,13.3){Concentration en nitrates en mg/L}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}