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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 12}
\lfoot{\small 06299}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 12 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justification. 

Répondre à chaque énoncé dans la colonne de droite du tableau.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Diminuer un prix de 20\,\% revient à le multiplier par:&\\ \hline
\textbf{2.} &Un chemisier coûte $60$~\euro.

Après réduction de 20\,\%, il coûtera :&\\ \hline
\textbf{3.} &Augmenter une quantité de 25\,\% puis de 10\,\% revient à l'augmenter de :&\\ \hline
\textbf{4.} &Un prix baisse de 50\,\%.

Quel doit être le pourcentage de hausse pour revenir au prix initial ?&\\ \hline
\textbf{5.} &Le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de 10\,\% par an depuis 2010. On modélise le chiffre d'affaires par une suite $\left(C_n\right)$.

Cette suite est-elle arithmétique, géométrique ou ni arithmétique, ni géométrique ?&\\ \hline
\textbf{6.} &Dresser sur $\R$ le tableau de signes de l'expression
$4x - 8$.&\\ \hline
\textbf{7.} &Dresser sur $\R$ le tableau de signes de l'expression factorisée $3(x - 1)(x + 2)$.&\\ \hline
\textbf{8.} &Déterminer la fonction dérivée de la fonction 

$x \longmapsto 3x^2 - 4x + 1$.&\\ \hline
\textbf{9.} &On considère la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto \dfrac 1x$. Calculer le coefficient  directeur de la tangente à cette courbe au point d'abscisse 1.&\\ \hline
\textbf{10.} &Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 = 100$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Deux sociétés A et B sont spécialisées dans la vente de matériels de sport sur Internet.

En 2014, le chiffre d’affaires de la société A est de 27 000 000 \euro\  et celui de la société B est de
20 000 000 \euro.

En 2016, le chiffre d’affaires de la société A est de 30 200 000 \euro\  et celui de la société B est de
23 762 000 \euro.

\medskip
On note $(a_n)$ la suite modélisant le chiffre d’affaires de la société A et $(b_n)$ celui de la société
B. Pour tout entier naturel $n$, $a_n$ représente donc le chiffre d’affaires, en millions d’euro, de
l’entreprise A l’année 2014+$n$ et $b_n$ représente celui de l’entreprise B l’année 2014+$n$.*

On a ainsi $a_0 = 27$ et $b_0= 20$.

On admet que la suite $(a_n)$ est arithmétique et que la suite $(b_n)$ est géométrique.
\begin{enumerate}
\item D’après les données de l’énoncé, préciser la valeur de $a_2$ et de $b_2$.
On a représenté ci-dessous les deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5mm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.5,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,
gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=0,yunit=0.5](0,0)(0,0)(8,24)
\psaxes[yunit=0.2,Dy=5](0,0)(0,0)(8,60)
\psdots[dotstyle=square*,linecolor=blue,linewidth=1.2pt](0,5.2)(1,5.72)(2,6.04)(3,6.36)(4,6.68)(5,7)(6,7.32)(7,7.64)(8,7.96)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=orange,linewidth=1.2pt](0,4)(1,4.36)(2,4.7524)(3,5.1801)(4,5.6463)(5,6.1545)(6,6.7084)(7,7.3122)(8,7.9703)

\end{pspicture}
\end{center}


\item L’une des deux suites est représentée par des points symbolisés par des carrés. Indiquer,
sans justification, s’il s’agit de la suite $(a_n)$ ou de la suite $(b_n)$.
\item  Déterminer, avec la précision permise par le graphique l’année, à partir de laquelle le
chiffre d’affaires de la société A deviendra supérieur à 35 millions d’euros et celle ou celui
de la société B deviendra supérieur à 35 millions d’euros.
\item On note $r$ la raison de la suite $(a_n)$.
En utilisant $a_0$ et $a_2$ , déterminer $r$.
\end{enumerate}

\medskip

Dans la suite de l’exercice, on admet que la raison de la suite $\left(b_n\right)$ vaut 1,09.

\begin{enumerate}[resume]
\item Voici un programme écrit dans le langage Python.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
\cellcolor{lightgray}1 & def Compare() : \\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}2 & \hspace{0.5cm} $a=27$\\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}3 & \hspace{0.5cm} $b=20$\\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}4 & \hspace{0.5cm} $n=0$\\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}5 & \hspace{0.5cm} while $a >=b$ :\\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}6 & \hspace{1cm} $a=a+1.6$\\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}7 & \hspace{1cm} $b=1.09*b$\\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}8 & \hspace{1cm} $n=n+1$\\[-2mm]
\cellcolor{lightgray}9 &\hspace{0.5cm} return($n$)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La fonction « Compare » renvoie la valeur 8 après son exécution. Interpréter cette valeur
dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}

\newpage

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l’évolution de la population d’un village entre 2012 et 2019.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année			&2012	&2013	&2014	&2015	&2016	&2017	&2018	&2019\\ \hline
Rang $x_i$		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Effectif $y_i$	&\np{1660}&\np{1810}&\np{1980}&\np{2170}&\np{2350}&\np{2480}&\np{2650}&\np{2850}\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner le pourcentage d’évolution, arrondi à l’entier le plus proche, de l’effectif du
village de 2012 à 2019.
		\item En déduire le taux d’évolution moyen sur cette période.
Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$, pour $i$ variant de
1 à 9, est donnée en annexe à rendre avec la copie.
	\end{enumerate}
\item  À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
\item On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $(D)$ d’équation :
\[y=169x + \np{1483}.\]

Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $(D)$ puis tracer cette droite dans le
repère donné en annexe.
\item Selon ce modèle, calculer l’effectif de la population prévu pour l’année 2022.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un placement est réalisé au taux annuel de 4,5\,\%. L’évolution de la valeur du capital placé,
exprimée en euros, peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$
par \mbox{$f(x)= 800 \times  1,045^x$} où $x$ désigne la durée du placement, exprimée en années.
Voici la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle $[0~;~20]$.

\begin{center}
\psset{xunit=5mm,yunit=8mm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(16.5,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,
gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=0,yunit=0.5](0,0)(0,0)(20,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,yunit=0.005,Dy=200]{->}(0,0)(-0.5,-5)(20,2200)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,yunit=0.005,linecolor=blue]{0}{20}{800*1.045^x}
\uput[u](19,0){Années}
\uput[r](0,10.8){euros}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur du capital initial.
\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le montant du capital au bout de 9
ans.
\item Calculer, au centime d’euro près, le capital dont on disposera au bout de 21 ans.
\item On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour doubler le capital initial.
	\begin{enumerate}
	\item Résoudre, pour $x\geqslant 0$, l’inéquation $800 \times 1,045^x\geqslant \np{1600}$.
	\item En déduire, le nombre d’années qu’il faut attendre pour doubler le capital initial.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE – Exercice 3 à rendre avec la copie}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10.5,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=0,yunit=0.5](0,0)(0,0)(10,26)
\psaxes[yunit=0.004,Dy=250](0,0)(0,0)(10,3250)
\psdots[dotstyle=+,linecolor=blue,linewidth=5pt,dotangle=45](1,6.64)(2,7.24)(3,7.92)(4,8.68)(5,9.4)(6,9.92)(7,10.6)(8,11.4)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}