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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 13}
\lfoot{\small 06300}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 13 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justification.

Répondre à chaque énoncé dans la colonne de droite du tableau.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} & Calculer $\dfrac37 - \dfrac24$.&\\ \hline
\textbf{2.} & Mettre sous la forme d'une unique
puissance $10^{-2} \times 10^{-8}$.&\\ \hline
\textbf{3.} & Déterminer le coefficient multiplicateur associé à
deux baisses successives de 10\,\%.&\\ \hline
\textbf{4.} & Déterminer l'image de $- 2$ par la fonction $f$ définie
pour tout réel $x$ non nul par $f(x) = 7x^2- \dfrac 1x$.&\\ \hline
\textbf{5.} &\begin{minipage}{0.45\linewidth}
On donne ci-contre la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

Lire graphiquement un antécédent de 1 par la fonction $f$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-3.2)(2,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-3.2)(2,2.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x dup mul 2 mul 3 sub}
\psdots(1.225,0)(-1.225,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}&\\ \hline
\textbf{6.} &Développer et réduire l'expression $(5x + 1)^2$.&\\ \hline
\textbf{7.} &\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Déterminer l'équation réduite de la droite tracée
dans le repère ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.2,6.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,6.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,6.1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 4 mul 2 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{8.} &Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^3 - 2x + 12$.&\\ \hline
\textbf{9.} &On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par 

$h(x) = x^2- 7x + 9$.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d'abscisse $5$.&\\ \hline
\textbf{10.} &$V_D$ et $V_A$ désignent des nombres strictement positifs.

Si $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$, exprimer $V_D$ en fonction de $V_A$ et $t$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

On injecte une dose de 2 mL d’un médicament anti douleur à un patient.

\medskip
La quantité du médicament présente dans l’organisme diminue chaque heure de 4\%.

\medskip
La quantité de médicament présente dans l’organisme, exprimée en mL, est modélisée par la
fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~24]$ par $f(t) = 2 \times 0,96^t$ où $t$ désigne la durée écoulée, exprimée en heures, depuis l’injection.

\medskip
La courbe représentative de cette fonction est tracée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,yunit=4cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-2,-0.1)(25,2.1)
\multido{\n=0+2}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(25,2.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{24}{0.96 x exp 2 mul}
\uput[r](0,2.05){Volume du médicament (en mL)}
\uput[u](22,0){Durée (en heures)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Avec la précision permise par le graphique :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer la quantité de médicament présente dans l’organisme 6 heures après l’injection.
	\item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de médicament présente dans l’organisme après l’injection soit inférieure à 50\% de la quantité initiale.
	\end{enumerate}
\item Calculer la quantité, arrondie au centième près, de médicament présente dans l’organisme au bout de 24 heures.
\item On souhaite déterminer par le calcul la durée nécessaire pour que la quantité de médicament présente dans l’organisme soit inférieure à $1,2$~mL.
	\begin{enumerate}
	\item Traduire ce problème à l’aide d’une inéquation.
	\item En déduire la durée recherchée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage
\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip
Dans cet exercice, la fonction logarithme décimal est notée $x\mapsto\log(x)$. Sa courbe
représentative sur l’intervalle $]0~;~500]$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.2mm,yunit=2cm,algebraic=true,comma,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(550,2.8)
\multido{\n=0+50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2.8)}
\multido{\n=0.0+0.2}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(500,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,Dx=50]{->}(0,0)(0,0)(500,2.8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.7}{500}{log(x)}
\end{pspicture}
\end{center}

Un client place un capital $C$, exprimé en milliers d’euros, à intérêts composés.
Le taux annuel est noté $i$ et le capital acquis après $n$ annuités est noté $A_n$.

Les variables $A_n$, $C$, $n$ et $i$ sont liées par la relation suivante :
$$\log(A_n) = \log(C) + n\times \log(1 + i)$$
Dans tout l’exercice, on suppose que le taux annuel $i$ est de 5\,\%. On pourra alors considérer que 0,021 est une valeur approchée de $\log(1 + i)$.
\begin{enumerate}
\item Le client désire placer \np{100000}~\euro. Ainsi $C = 100$.
	\begin{enumerate}
	\item Calculer $\log(A_{30})$.
	\item Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée de $A_{30}$. On donnera le résultat arrondi à la centaine près.
	\item  Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\item Le client a pour objectif maintenant d’obtenir un capital de \np{300000}~\euro\ au bout de 30
ans. On a ainsi $\log(300) = \log(C) + 30 \times\log(1 + i)$.


En détaillant votre démarche, donner une estimation de $C$. En déduire le capital à placer initialement pour atteindre l’objectif du client, arrondi au millier d’euros près.
\item Le banquier affirme qu’il faut plus de 14 ans pour doubler le capital investi, quel que soit le capital initial.

Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier votre réponse en résolvant une
équation.
\end{enumerate}

\bigskip
\newpage
\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un parc zoologique propose une formule \og visite des coulisses \fg{} payante. Le gérant, cherchant
à estimer l’effet du prix de cette formule sur le nombre de clients, a régulièrement changé son
prix. Il a collecté les données dans le tableau suivant.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Prix de la formule en euro $x_i$&7	&9	&11&13&15\\ \hline
Nombre de clients $y_i$			&82	&78	&65&41&20\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans le repère donné en {\bf annexe 2 à rendre avec la copie}, le nuage de points
de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$
en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

\medskip
Dans toute la suite du problème, on prendra comme ajustement affine la droite $d$ d’équation \hskip3mm  $y=- 8x + 146$

\item Construire la droite $d$ dans le repère donné en {\bf annexe 2}.
\item  On suppose que le nombre de clients évolue en suivant cet ajustement.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer une estimation du nombre de clients si le gérant fixe le prix de la formule à 12 \euro.
	\item Déterminer par un calcul une estimation du prix maximal de la formule que doit fixer le gérant pour espérer attirer au moins $100$~clients.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage 


\begin{center}
\textbf{\Large Annexe  à rendre avec la copie\\[10pt]
Exercice 4}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(19,90)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=0](0,0)(0,0)(18,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,xunit=1,yunit=0.5,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(18,160)
\uput[u](16.5,-0.1){Prix en euros}
\uput[r](0,79){Nombre de clients}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}